egzamin z rachunku prawdopodobie ´nstwa i statystyki imi ˛ei

EGZAMIN Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIE ŃSTWA I STATYSTYKI
1
2
3
4
5
egz.
ćw.
suma
I MI E˛ I NAZWISKO ......................................... GRUPA ........
1. Postanowiono zbadać, czy istnieje zwiazek
˛
mi˛edzy ilościa˛ wypalanych przez urz˛edników w pracy papierosów, a liczba˛ obsłużonych petentów. W tym celu wylosowano prób˛e 10-osobowa˛ urz˛edników. Niech
X - liczba papierosów wypalanych w pracy w ciagu
˛ dnia; Y - liczba obsłużonych w ciagu
˛ dnia petentów.
Otrzymano wyniki:
X : 10 0 5 5 6 5 2 2 10 15
.
Y : 5 20 10 15 9 1 10 15 10 5
Wiadomo, że
10
10
10
X
X
X
(xi − x̄)2 = 184,
(yi − ȳ)2 = 282,
(xi − x̄)yi = −141.
i=1
i=1
i=1
(a) Na podstawie wylosowanej próby wyznaczyć prosta˛ regresji liniowej Y wzgl˛edem X oraz oszacować,
ilu petentów obsługuje urz˛ednik wypalajacy
˛ w ciagu
˛ dnia pracy 7 papierosów; (b) Czy dla cechy X
istnieja˛ obserwacje odstajace?
˛
(odpowiedź uzasadnić).
2. Rzucamy 100 razy kostka,˛ na której jest 1 ściana niebieska, 2 czerwone i 3 zielone. Za każde wypadni˛ecie
ściany niebieskiej tracimy 6zł, za każde wypadni˛ecie czerwonej dostajemy 30zł, za każde wypadni˛ecie
zielonej dostajemy 10zł. Korzystajac
˛ z twierdzenia granicznego obliczyć prawdopodobieństwo, że po 100
rzutach nasza całkowita wygrana przekroczy 1500zł.

0,
x<0
∨
y<0




1/4,
x
∈
[0;
2)
∧
y
∈ [0; 1)

1/2, x ∈ [0; 2) ∧
y > 1 . (a) Wyz3. Wektor (X, Y ) ma rozkład o dystrybuancie F (x, y) =


3/4,
x
>
2
∧
y
∈ [0; 1)



1,
x>2
∧
y>1
naczyć dystrybuanty brzegowe; (b) Wyznaczyć macierz kowariancji wektora (Z, T ) = (2X + Y, X − Y );
(c) Obliczyć P (|Y − X| 6 1).

 a cos x, x ∈ [− π2 ; π2 ]
5π
b cos x, x ∈ [ 3π
4. Zmienna losowa X ma rozkład ciagły
˛ o g˛estości f (x) =
2 ; 2 ] , gdzie a, b ∈ R sa˛

0,
w p.p.
pewnymi stałymi. (a) Znaleźć a i b wiedzac,
˛ że P (X < π|X > 0) = 12 ; (b) Wyznaczyć dystrybuant˛e
zmiennej losowej X.
5. Wektor (X, Y ) ma rozkład jednostajny w obszarze
D = {(x, y) : (−1 6 x 6 0 ∧ 0 6 y 6 x + 1) ∨ (0 6 x 6 1 ∧ x − 1 6 y 6 0)}.
(a) Wyznaczyć g˛estość brzegowa˛ zmiennej
losowej X;
(b) Sprawdzić, czy X i Y sa˛ nieskorelowane;
1
(c) Obliczyć E(X 2 + XY ) oraz P X 2 + Y 2 >
.
4