MATEMATYKA lista zadan nr 11 1. Wyznaczyc czesc rzeczywista i

MATEMATYKA
lista zadań nr 11
1. Wyznaczyć czȩść rzeczywista̧ i urojona̧ funkcji zespolonych:
a) f (z) = 5z 2 + 2jz,
b) f (z) = z(3 + zj),
c) f (z) =
Re z
,
z
d) f (z) =
z−j
.
z+j
2. Obliczyć wartości funkcji ez , jeżeli:
a) z = 2 + 2j,
√
c) z = −3 + j 3,
b) z = 1 − πj,
d) z = 2 + π2 j.
3. Obliczyć:
a) cos j,
b) sin(π + j),
c) tg
π
j
4
,
d) ctg (−π + 2j).
4. Obliczyć logarytm glówny oraz znaleźć zbiór wszystkich logarytmów podanych liczb zespolonych:
a) 1,
b) −4,
c) −j,
d)
√
√
e) 1 − j 3.
3 + j,
5. Obliczyć granice podanych cia̧gów:
a) zn =
n+2
n
n
+ j 1−3
,
3n +1
b) zn =
ejn
,
n
c) zn = (−j)n ,
d) zn =
n−3nj
.
n+1
6. Czy podane cia̧gi:
a) zn = (1 + j)n ,
b) zn = (−1)n ,
c) zn = n2 [ (−j)n + j n ] .
maja̧ granicȩ niewlaściwa̧?
7. Korzystaja̧c z twierdzenia o arytmetyce granic obliczyć granice podanych cia̧gów:
a) zn =
n2 +3nj
,
jn2 −1
2
b) zn =
8. Obliczyć granice:
3
a) lim
2z +
,
z→1−j
z
3n+2+nj
,
n+4j
b) lim
z→j
(1+ nj )
c) zn =
3.
(2− nj )
z2 + 1
,
z+j
c) lim
z→−j
z2 + 1
,
z+j
9. Zbadać cia̧glość podanych funkcji w punkcie z = 0:

 z dla z 6= 0
z
2
a) f (z) = z − 2z, b) f (z) =
,
 0 dla z = 0
d) lim
z→0
c) f (z) =
z
,
z


z2
z
e) lim
z→0
Re z
.
z
dla z 6= 0
 0 dla z = 0
.