V - elka.pw

EGZAMIN Z ANALIZY 2.02.2007
Grupa A
1. Obliczyć całkę nieoznaczoną:
∫x
dx
1 + x3 + x6
2. Zbadać istnienie i ciągłość pochodnych cząstkowych funkcji w punkcie (0,0):
 2 x2 − y 2
(x, y ) ≠ (0,0)
x 2
 x + y2

0 (x, y ) = (0,0 )
3. Wyznaczyć ekstrema funkcji:
f ( x, y ) = x 3 + xy 2 + 6 xy
4. Obliczyć korzystając z całki podwójnej objętość bryły, ograniczonej płaszczyznami
układu współrzędnych oraz płaszczyznami 4 x + 4 y + 3 z = 12 , 2 x − y = 0 , która
zawiera odcinek dodatniej półosi OY.
5. Obliczyć całkę potrójną
∫∫∫ x
V
2
2
zdxdydz
gdzie V – bryła ograniczona sferą x 2 + y + z 2 = 9 oraz płaszczyzną z = 1
6. Sprawdzić tezę twierdzenia Greena dla całki:
3
∫ x dx + xydy
K
gdzie K – krzywa zorientowana dodatnio względem swojego wnętrza będąca brzegiem
obszaru ograniczonego krzywymi x 2 + y 2 + z 2 = 9 dla y ≥ 0 , y = − x − 1 , y = x − 1 .
EGZAMIN Z ANALIZY 2.02.2007
Grupa B
1. Obliczyć całkę nieoznaczoną:
∫x
dx
3x 4 − 2 x 2 − 1
2. Zbadać istnienie i ciągłość pochodnych cząstkowych funkcji w punkcie (0,0):
 2 x2 − y2
(x, y ) ≠ (0,0)
y 2
 x + y2

0 (x, y ) = (0,0 )
3. Wyznaczyć ekstrema funkcji:
f ( x, y ) = x 3 + xy 2 − 6 xy
4. Obliczyć korzystając z całki podwójnej objętość bryły, ograniczonej płaszczyznami
układu współrzędnych oraz płaszczyznami 3 x + 3 y + 4 z = 12 , 3 x − y = 0 , która
zawiera odcinek dodatniej półosi OY.
5. Obliczyć całkę potrójną
∫∫∫ y
V
2
2
zdxdydz
gdzie V – bryła ograniczona sferą x 2 + y + z 2 = 16 oraz płaszczyzną z = 2
6. Sprawdzić tezę twierdzenia Greena dla całki:
3
∫ x dx + xydy
K
gdzie K – krzywa zorientowana dodatnio względem swojego wnętrza będąca brzegiem
obszaru ograniczonego krzywymi x 2 + y 2 = 1 dla y ≤ 0 , y = − x + 1 , y = x + 1 .