Charakterystyki geometryczne figur płaskich

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH
2.1. Definicje podstawowych charakterystyk geometrycznych
Podczas zajęć z wytrzymałości materiałów spotkamy się z następującymi charakterystykami
geometrycznymi figur płaskich:
• pole powierzchni figury,
• moment statyczny figury względem danej osi,
• moment bezwładności figury względem danej osi,
• moment dewiacji (odśrodkowy) względem danych osi,
• biegunowy moment bezwładności,
• promień bezwładności,
• wskaźnik wytrzymałości,
• rdzeń przekroju.
Omówimy teraz pierwszych sześć, pozostałe w toku dalszych wykładów i ćwiczeń.
Rozważmy figurę płaską, pokazaną na rys.2.1, stanowiącą obszar A, określony w
kartezjańskim układzie osi ( X, Y)
Y
Y1
a
A
dA
x
x1
y1
y
X1
b
X
Rys. 2.1
Polem powierzchni tej figury nazywamy:
A = ∫∫ dA
[m2 ]
( > 0).
A
Momentem statycznym figury płaskiej o polu A względem osi X nazywamy :
S x = ∫∫ y dA
[m3 ]
( >, =, < 0).
A
Momentem statycznym figury płaskiej o polu A względem osi Y nazywamy :
S y = ∫∫ x dA
[m3 ]
( >, =, < 0).
A
Obliczamy momenty statyczne tej figury względem nowych osi (X1, Y1) przesuniętych o a i b
względem osi (X, Y). Ponieważ:
y1 = y − b
i
x1 = x − a ,
to:
11
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
S x1 =
∫∫ y1 dA = ∫∫ ( y − b )dA = S x − b A ,
A
S y1 =
A
∫∫ x1 dA = ∫∫ (x − a )dA = S y − a A .
A
A
S x1 = S x − b A , S y1 = S y − a A
(2.1)
gdzie: a i b współrzędne początku nowego układu w starym.
Postawmy teraz takie zadanie: mając osie (X,Y) znaleść położenie nowych osi (Xc,Yc)
względem których momenty statyczne będą równe zero.
Z równania (2.1) łatwo otrzymujemy współrzędne początku nowego układu osi (Xc,Yc)
względem których momenty statyczne są równe zero:
xc =
Sy
A
;
yc =
Sx
A
(2.2)
Punkt C o współrzędnych określonych wzorami (2.2) nazywać będziemy środkiem ciężkości
figury płaskiej, a osie, które przechodzą przez środek ciężkości nazywamy osiami
centralnymi.
Osie centralne figury płaskiej to osie względem których jej momenty statyczne są równe zero.
A
Wzory (2.2) pozwalają wyznaczyć moment
statyczny figury względem dowolnej osi, bez
konieczności całkowania, jeśli tylko znamy
jej pole powierzchni A i położenie jej środka
ciężkości C.
C
z
h
S z = hA
Zdefiniujemy teraz kolejno momenty bezwładności, moment dewiacji i biegunowy moment
bezwładności.
Y
Y1
x1
A
dA
a
x
ρ
y1
y
X
O
b
X1
Rys. 2.2
Momentem bezwładności figury płaskiej o polu A (rys.2.2) względem osi X nazywamy:
J x = ∫∫ y 2 dA
[m4 ]
( > 0).
A
Momentem bezwładności figury płaskiej o polu A względem osi Y nazywamy:
J y = ∫∫ x 2 dA
[m4 ]
( > 0).
A
12
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
Momentem dewiacji figury płaskiej o polu A względem układu osi (X,Y) nazywamy:
J xy = ∫∫ xy dA
[m4 ] ( >, =, < 0).
A
Biegunowym momentem bezwładności figury płaskiej o polu A względem bieguna O nazywamy:
J 0 = ∫∫ ρ 2 dA
[m4 ]
( > 0).
A
Ponieważ: ρ 2 = x 2 + y 2 , to łatwo zobaczyć, że: J 0 = J x + J y co pozwala stwierdzić, że:
biegunowy moment bezwładności względem dowolnego punktu równa się sumie
momentów bezwładności względem dwóch do siebie prostopadłych osi przechodzących
przez ten punkt.
Obliczmy momenty bezwładności i dewiacji tej figury względem nowych osi (X1, Y1)
przesuniętych o a i b względem osi (X, Y). Ponieważ:
y1 = y + b
J x1 =
i
x1 = x + a , to:
∫∫ y1 dA = ∫∫ ( y + b)
2
2
A
J y1 =
A
∫∫
x12
dA =
A
J x1 y1 =
dA =
∫∫ (y
)
2
+ 2by + b 2 dA = J x + 2 b S x + b 2 A ,
2
+ 2ax + a 2 dA = J y + 2 a S y + a 2 A ,
A
∫∫ (x + a )
A
2
dA =
∫∫ (x
)
A
∫∫ x1 y1 dA = ∫∫ (x + a )( y + b) dA = J xy + aS x + bS y + abA .
A
A
Jeśli stare osie (X,Y) są osiami centralnymi to
S x = 0 oraz S y = 0 i otrzymujemy wzory
stanowiące treść twierdzenia Steinera:
J x1 = J xc + b 2 A
J y1 = J yc + a 2 A
(2.3)
J x1 y1 = J xcyc + ab A
gdzie: J xc , J yc , J xcyc , momenty bezwładności i dewiacji względem osi centralnych zgodnie
równoległych z osiami (X1,Y1), a i b współrzędne środka ciężkości figury w układzie (X1, Y1).
Wyznaczymy teraz momenty bezwładności i dewiacji względem układu osi (ξ,η) obróconego
względem początku układu (X,Y) o kąt α, jak to pokazane jest na rys.2.3 .
η
Y
A
dA
x
ξ
y
α η
ξ
X
α
Rys. 2.3
13
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
Łatwo zobaczyć, że współrzędne punktu w nowym układzie związane są ze współrzędnymi w
starym układzie poprzez zależności:
ξ = x cos α + y sin α ; η = − x sin α + y cos α ,
co można zapisać w postaci macierzowej:
 ξ   cos α , sin α   x 
   ,
  = 
η   − sin α , cos α   y 
 cos α , sin α 

 − sin α , cos α 
gdzie: 
- macierz przejścia od układu starego do nowego, jej wiersze to
współrzędne wersorów kierunkowych nowych osi w starym układzie.
Zgodnie z definicjami momentów bezwładności i dewiacji otrzymujemy:
Jξ =
∫∫η
2
dA =
∫∫ (− x sin α + y cosα )
A
Jη =
2
dA = J x cos 2 α + J y sin 2 α − 2 J xy sin α cos α ,
A
∫∫ ξ
2
dA =
2
∫∫ ( x cos α + y sin α )
A
dA = J x sin 2 α + J y cos 2 α + 2 J xy sin α cos α ,
A
J ξη = ∫∫ ξ η dA = ∫∫ ( x cos α + y sin α ) (− x sin α + y cos α ) dA =
A
A
2
= J xy cos α − J xy sin 2 α + J x sin α cos α − J y sin α cos α .
Po wykorzystaniu zależności trygonometrycznych:
sin 2α = 2 sin α cos α , cos 2α = cos 2 α − sin 2 α ,
cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2 ,
sin 2 α = (1 − cos 2α ) 2 ,
mamy ostatecznie:
Jξ =
Jη =
Jx + Jy
2
Jx + Jy
J ξη =
2
+
−
Jx −Jy
2
Jx −Jy
2
Jx −Jy
2
cos 2α − J xy sin 2α ,
cos 2α + J xy sin 2α ,
(2.4)
sin 2α + J xy cos 2α .
Warto zapamiętać te zależności. Wzory o identycznej strukturze jeszcze nie raz pojawią się w
wytrzymałości materiałów.
Bez trudu można stwierdzić, że:
J ξ + Jη = J x + J y ,
czyli, że suma momentów bezwładności figury płaskiej względem dwóch dowolnych ale
prostopadłych do siebie osi o wspólnym początku jest wielkością stałą i co możemy dodać
równa się jej biegunowemu momentowi bezwładności względem punktu początkowego.
14
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
2.2. Główne osie i momenty bezwładności
Postawimy, teraz ważne pytanie: o jaki kąt α należy obrócić układ osi (X,Y) aby momenty
bezwładności w nowym układzie osiągnęły wartości ekstremalne.
Jest to proste zadanie poszukiwania ekstremum funkcji jednej zmiennej.
Warunki zerowania się pochodnych momentów bezwładności J ξ i J η względem kąta α:
dJ ξ
dα
dJ η
dα
= −2
= 2
Jx −Jy
2
Jx −Jy
2
sin 2α − 2 J xy cos 2α = 0,
sin 2α + 2 J xy cos 2α = 0 ,
dają jedno równanie:
Jx − Jy
2
sin 2α + J xy cos 2α = 0 .
Z powyższego równania, którego lewa strona to moment dewiacji J ξη względem nowych osi
otrzymujemy:
tg 2α =
2 J xy
Jy − Jx
→ α=
2 J xy
1
π
arc tg
+n
Jy − Jx
2
2
(2.5)
co dowodzi, że osie względem których momenty bezwładności osiągają wartości ekstremalne,
a moment dewiacji jest równy zero są do siebie prostopadłe. Tworzą one układ osi, który
nazywać będziemy układem głównych osi bezwładności. Zatem:
główne osie bezwładności figury płaskiej w dowolnym punkcie to dwie prostopadłe osie
względem których jej moment dewiacji jest równy zero a momenty bezwładności są
ekstremalne (główne momenty bezwładności).
Policzmy wartości głównych momentów bezwładności.
Wykorzystując wzory trygonometryczne:
sin 2α =
tg 2α
± 1 + tg 2 2α
; cos 2α =
1
± 1 + tg 2 2α
w których za tg 2α wstawiamy wzór (2.5), podstawiamy je do wzorów na J ξ oraz J η i
otrzymujemy:
15
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
J=
Jx + Jy
2
±
Jx − Jy
1
2
1 + tg 2 2α
tg 2α
± J xy
1 + tg 2 2α
=
Jx + Jy
2
±
(J y − J x )2
(J y − J x )2
2 J xy
± J xy
= ,
2
2
2
2
−
2
J
J
y
x
(J y − J x ) + 4 J xy
(J y − J x ) + 4 J xy
2

2 
J x + J y 1  (J x − J y )2 + 4 J xy
Jx + Jy
 Jx − Jy 
2



=
±
+ J xy
=
± 



2
2
2
2
2
 2 
(J y − J x ) + 4 J xy 

±
Jx − J y
co ostatecznie zapiszemy w postaci:
J max = J 1 =
Jx + Jy
J min = J 2 =
+
2
Jx + Jy
2
 Jx − Jy


2

 Jx − Jy


2

−
2

2
 + J xy


(2.6)
2

2
 + J xy


Wzór (2.5) podaje jedynie kąt transformacji układu wyjściowego do układu głównych osi
bezwładności nie określając jednak, której osi odpowiada Jmax a której Jmin . Można
wyprowadzić zależności podające położenie tych osi; przedstawiają się one następująco:
tg α max = tg α 1 =
J xy
J y − J max
;
tg α min = tg α 2 =
J xy
(2.7)
J y − J min
We wzorach (2.7) αmax oznacza kąt o jaki należy
obrócić oś X do pokrycia się z główną osią
bezwładności względem której moment bezwładności
jest maksymalny. Analogicznie definiujemy kąt αmin.
Y
umowa znaków
α >0
X
W wytrzymałości materiałów interesować nas będzie przede wszystkim położenie tzw.
głównych centralnych osi bezwładności rozważanej figury tj. osi głównych poprowadzonych
przez jej środek ciężkości.
Względem tych osi zerują się momenty statyczne, bo są one osiami centralnymi oraz moment
dewiacji, bo są one osiami głównymi.
Momenty bezwładności względem tych osi nazywać będziemy głównymi centralnymi
momentami bezwładności.
Na koniec kilka ważnych uwag praktycznych:
• jeżeli figura posiada oś symetrii, to jest ona jedną z jej głównych centralnych osi
bezwładności,
• jeżeli figura posiada dwie osie symetrii, to są one jej głównymi centralnymi osiami
bezwładności,
• przy obliczaniu momentów statycznych, bezwładności i dewiacji warto korzystać z
własności addytywności całki podwójnej (równa się ona sumie całek po obszarach
częściowych) i podzielić rozważaną figurę na części, których obliczane momenty oraz
położenie środków ciężkości znamy, a następnie zesumować te częściowe wyniki.
16
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
Warto więc znać i pamiętać charakterystyki geometryczne kilku podstawowych figur
płaskich.
Y
Y
b h3
3
=
J
x
bh
36
Jx =
h/2
2h/3
12
h b3
X
3
=
J
y
hb
X
36
Jy =
12
h/2
b2 h2
h/3
J xy = −
J xy = 0
72
b/2
b/3
b/2
Y
Y
Jx =
X
r
Jy =
πr
Y
X
4
4r/3
π r4
r
π
Jy =
π r4
8
J xy = 0
J x ≅ 0.0549 r 4
X
r
J x ≈ 0.11 r 4
4
4
J xy = 0
4 r 3π
2b/3
J y ≅ 0.0549 r 4
J xy ≅ − 0.0165 r 4
Promieniem bezwładności figury płaskiej o polu A względem dowolnej osi Z nazywamy
wartość dodatnią:
iz =
Jz
A
[m] .
2.3. Przykłady
Przykład 2.3.1. Wyznaczyć główne centralne osie i momenty bezwładności danej figury
Y0
YC
płaskiej.
2
min
3
6
2
3
wymiary w [cm]
αmin = 33° 11′
3
XC
C
3
2.648
1
2
X0
0.997
αmax = 56° 49′
17
1
max
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
Rozwiązanie
Podzielimy figurę na trzy części: trójkąt, prostokąt i półkole.
Położenie środka ciężkości:
2
A = 0.5 * 6 * 3 + 3 * 6 + 0.5 * π * 2 2 = 33.283 cm ,
3
S x 0 = 0.5 * 6 * 3 * 1 + 3 * 6 * 3 + 0.5 * π * 2 2 * 4 = 88.133 cm ,
S y 0 = 0.5 * 6 * 3 * (− 2) + 3 * 6 * 1.5 + 0.5 * π * 2 2 * (3 + 4 3 * 2 π ) = 33.183 cm ,
3
xc =
S y0
A
=
33.183
= 0.997 cm,
33.283
yc =
S x 0 88.133
=
= 2.648 cm .
A
33.283
Momenty bezwładności i dewiacji względem osi centralnych:
6 * 33 1
3 * 63
π * 24 π * 22
4
+ * 3 * 6 * (− 1.648)2 +
+ 3 * 6 * 0.352 2 +
+
* 1.352 2 = 102.942 cm ,
36
2
12
8
2
3
3
3* 6
1
6*3
J yc =
+ * 3 * 6 * (− 2.997 )2 +
+ 3 * 6 * 0.503 2 + 0.11 * 2 4 +
36
2
12
J xc =
2
π * 22  4 * 2

4
+
*
+ 2.003 = 169.753 cm ,
2
 3*π

J xcyc =
6 2 * 32 1
+ * 3 * 6 * (− 1.648)(− 2.997 ) + 3 * 6 * 0.352 * 0.503 +
72
2
+
π * 22
2
 4* 2

* 1 . 352 * 
+ 2 . 003  = 76 . 364
 3* π

cm4.
Główne centralne osie i momenty bezwładności:
J max =
J xc + J yc
2
2
 J xc − J yc 
102.942 + 169.753
2

 + J xcyc
=
+


2
2


+
2
 102.942 − 169.753 
4
2

 + 76.364 = 136.347 + 83.351 = 219.698 cm ,
2


+
J min =
J xc + J yc
2
2
−
 J xc − J yc 
102.942 + 169.753
2

 + J xcyc
=
−


2
2


2
−
tg α max =
tg α min =
 102.942 − 169.753 
4
2

 + 76.364 = 136.347 − 83.351 = 52.996 cm ,
2


J xcyc
J yc − J max
J xcyc
J yc − J min
=
76.364
= − 1.529 → α max = − 56 o 49' ,
169.753 − 219.698
=
76.364
= 0.654 → α min = 33o11' .
169.753 − 52.996
18
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
Sprawdzenia:
J xc + J yc = 102.942 + 169.753 = 272.695 cm4,
J max + J min = 219.698 + 52.996 = 272.694 cm4,
α max + α min = 58 o 49' + 33o 11' = 90 o .
Przykład 2.3.2. Wyznaczyć główne centralne osie i momenty bezwładności układu stalowych
kształtowników walcowanych.
Y1
Y2
YC
wymiary w [cm]
4.173
6.817
2,90
2,90
2
3.058
α2 = 12° 30′
2,03
C
1.872
α1 = 77° 30′
XC
X1
6.97
1
10.01
4.99
6.00
6.00
Rozwiązanie
Dane z tablic profili walcowanych:
η
wymiary w [cm]
Y
6
X
6
A = 14.2 cm2
Jx = 328 cm4
Jy = 215 cm4
Y
α
10.01
ξ
4.99
X
5.8
2.03
19
6.97
A = 23.2 cm2
Jx = 532 cm4
Jy = 145 cm4
Jη = 88 cm4
tg α = 0.366
X2
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
Obliczenie momentu dewiacji kątownika względem osi własnych w oparciu o dane z tablic:
J xy
tg α max =
J y − J max
(
)
→ J xy = tg α max J y − J max ,
osie (ξ, η) to główne centralne osie kątownika, przy czym J ξ = J max a J η = J min , zatem:
J x + J y = J max + J min
tg α max =
J xy
J y − J max
(
→
J max = J x + J y − J min ,
(
[
)
)]
(
→ J xy = tg α max J y − J max = tg α max J y − J x + J y − J min ,
)
J xy = tg α J η − J x = 0.366 (88 − 532 ) = − 162.504 cm .
4
Położenie środka ciężkości cąłego układu kształtowników:
2
A = 23.2 + 14.2 = 37.40 cm ,
S x1 = 14.2 * 4.93 = 70.006 cm3,
S y1 = 14.2 * 10.99 = 156.058 cm3,
xc =
S y1
A
=
156.058
= 4.173 cm,
37.4
yc =
S x1 70.006
=
= 1.872 cm.
A
37.4
Momenty bezwładności i dewiacji względem osi centralnych:
J xc = 145 + 23.2 * (− 1.872)2 + 215 + 14.2 * 3.058 2 = 574.091 cm ,
4
J yc = 532 + 23.2 * (− 4.173)2 + 328 + 14.2 * 6.817 2 = 1923.898 cm ,
4
J xcyc = − 162.504 + 23.2 * (− 4.173) * (− 1.872 ) + 14.2 * 6.817 * 3.058 = 314.750 cm .
4
Główne centralne osie i momenty bezwładności:
2
574.091 + 1923.898
 574.091 − 1923.898 
2
J 1 = J max =
+

 + 314.750 =
2
2


4
= 1248.994 + 744.689 = 1993.683 cm ,
J 2 = J min
2
 574.091 − 1923.898 
2

 + 314.750 =
2


574.091 + 1923.898
=
−
2
4
= 1248.994 − 744.689 = 504.305 cm ,
tg α 1 = tg α max =
314.750
= − 4.510 → α 1 = − 77 o 30' ,
1923.898 − 1993.683
tg α 2 = tg α min =
314.750
= 0.222 → α 2 = 12 o 30' .
1923.898 − 504.305
Sprawdzenia:
4
J xc + J yc = 574.091 + 1923.898 = 2497.989 cm ,
20
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
4
J 1 + J 2 = 1993.683 + 504.305 = 2497.988 cm ,
α 1 + α 2 = 77 o 30 ' + 12 o 30 ' = 90 o .
Przykład 2.3.3. Łatwo można sprawdzić, że moment bezwładności względem dowolnej osi
przechodzącej przez środek ciężkości kwadratu o boku a wynosi a 4 12 .
To spostrzeżenie bardzo ułatwi wyznaczenie głównych centralnych momentów bezwładności
niżej pokazanych figur płaskich o dwóch osiach symetrii.
2
2
1
C
1
C
a
J1 =
a
(2 a )4 − 2 a 4
12
12
a
=
14 a 4
12
J1 =
4
J2 =
a
(2a )4 − a 4
12
12
(a 2 )
4
2a
12
J2 =
12
+
=
15a 4
12
a 4 5a 4
=
12 12
Przykład 2.3.4. Wyznaczyć główne osie bezwładności przechodzące przez wierzchołek
trójkąta i momenty bezwładności względem tych osi.
1
Y
α1 = 19° 02′ X
α2 = 70° 58′
6
wymiary w [cm]
2
4
Rozwiązanie
Prowadzimy układ dwóch prostopadłych do siebie osi (X, Y) przechodzących przez
wierzchołek trójkąta.
Obliczamy momenty bezwadności i dewiacji względem tych osi.
21
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
Jx =
4 * 63
6 * 43
4
4
= 216 cm , J y =
= 32 cm .
4
12
Przy obliczaniu J x = bh 3 4, wykorzystano wzór na moment bezwładności trójkąta
prostokątnego względem osi przechodzącej przez jego wierzchołek i równoległej do jego
podstawy. Przy obliczaniu J y = bh 3 12, wykorzystano wzór na moment bezwładności trójkąta
prostokątnego względem osi przechodzącej przez jego podstawę.
W obu wzorach, których wyprowadzenie przy wykorzystaniu twierdzenia Steinera jest bardzo
proste, h jest wymiarem tego boku trójkąta, który jest prostopadły do osi względem której
liczymy moment bezwładności.
J xy = −
42 * 62 1
4
4
+ * 4 * 6 * * (− 4) = − 72 cm .
72
2
3
Główne momenty i osie bezwładności przechodzące przez wierzchołek trójkąta:
J1 =
J2 =
Jx + Jy
2
Jx + Jy
tg α 1 =
tg α 2 =
2
2
2
+
 Jx − Jy 
216 + 32
2

 + J xy
=
+


2
2


−
 Jx − Jy 
216 + 32
2

 + J xy
=
−


2
2


 216 − 32 
2
4

 + (− 72) = 240.825 cm ,
2


2
J xy
J y − J1
J xy
J y − J2
2
 216 − 32 
2
4

 + (− 72) = 7.175 cm ,
2


=
− 72
= 0.345 → α 1 = 19 o 02' ,
32 − 240.825
=
− 72
= − 2.900 → α 2 = − 70 o 58' .
32 − 7.175
Bardzo ważne przypomnienie. W każdym punkcie płaszczyzny w której dana jest figura
można wyznaczyć dwie wzajemnie do siebie prostopadłe osie względem których moment
dewiacji będzie równy zero a momenty bezwładności będą ekstremalne. Osie te nazywają się
osiami głównymi i tylko głównymi.
Osie główne wyznaczone w środku ciężkości figury są osiami głównymi centralnymi. Ich
własnością jest zerowanie się momentów statycznych (bo to osie centralne) oraz zerowanie
się momentu dewiacji i osiąganie ekstremalnych wartości momentów bezwładności (bo to
osie główne).
Przykład 2.3.5. Wyznaczyć momenty bezwładności J ξ i J η oraz moment dewiacji J ξη
względem osi przechodzących przez punkt K dla danej niżej figury płaskiej.
η
6
Y
wymiary w [cm]
60°
3
X
2
4
30°
K
22
ξ
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
Rozwiązanie
Należy zastosować wzory transformacyjne (2.4).
Momenty bezwładności i dewiacji względem osi (X, Y):
Jx =
6 * 9 3 2 * 33
4
−
= 346.500 cm ,
12
3
Jy =

9 * 6 3  3 * 2 3
4
−
+ 2 * 3 * (− 5)2   = 334.000 cm ,


4
12
 

 62 * 92 1

4
J xy =  −
+ * 6 * 9 * (− 4 ) * 3 − [0 + 2 * 3 * (− 5) * 1.5] = − 319.500 cm .
72
2


Momenty bezwładności i dewiacji względem osi (ξ, η):
Jξ =
Jx +Jy
2
=
Jx −Jy
2
(
)
(
)
cos − 60 o − J xy sin − 60 o =
346.0 + 334.0 346.5 − 334.0
4
+
* 0.5 + 319.5 * (− 0.866) = 66.680 cm ,
2
2
=
Jη =
+
Jx + Jy
2
+
Jx − Jy
2
( )
( )
cos 120 o − J xy sin 120 o =
346.0 + 334.0 346.5 − 334.0
4
+
* (− 0.5) + 319.5 * 0.866 = 613.820 cm ,
2
2
J ξη =
Jx −Jy
2
(
)
(
)
sin − 60 o + J xy cos − 60 o =
346.5 − 334.0
4
* (− 0.866 ) − 319.5 * 0.5 = − 165.162 cm .
2
Sprawdzenie:
J x + J y = 346.500 + 334.000 = 680.500 cm
J ξ + J η = 66.680 + 613.820 = 680.500 cm
4
4
23