Wykład 7 - MiNI PW

SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 7, 2013-11-29
Związek funkcji i jej pochodnej
Poniższe twierdzenia są podstawą wielu bardzo ważnych zastosowań pochodnych. Twierdzenie te wyrażają związek pomiędzy funkcją a jej pochodną.
Twierdzenie Rolle’a Niech dana będzie funkcja f :< a, b >→ R ciągła na < a, b > i
różniczkowalna na (a, b), oraz taka, że f (a) = f (b) . Wtedy istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że
f 0 (c) = 0
Twierdzenie Lagrange’a Niech dana będzie funkcja f :< a, b >→ R ciągła na < a, b > i
różniczkowalna na (a, b). Wtedy istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że
f (b) − f (a) = f 0 (c) · (b − a)
Twierdzenie Cauchy’ego Niech dane będą funkcje f, g :< a, b >→ R ciągłe na < a, b > i
różniczkowalne na (a, b). Niech ponadto g 0 (x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b). Wtedy istnieje punkt c ∈ (a, b)
taki, że
f 0 (c)
f (b) − f (a)
= 0
g(b) − g(a)
g (c)
Reguła de L’Hospitala
Twierdzenie: Niech f, g : D → R , gdzie D = (x0 − , x0 + ) \ {x0 } będą funkcjami różniczkowalnymi oraz ∀x ∈ D (g 0 (x) 6= 0) . Niech istnieją i są równe zeru granice: x→x
lim f (x) =
0
f 0 (x)
f (x)
lim g(x) = 0. Jeśli istnieje granica lim 0
= b to istnieje też granica lim
=b
x→x0
x→x0 g (x)
x→x0 g(x)
0
Uwaga 1 Reguła de L’Hospitala umożliwia liczenie granic typu poprzez obliczanie granic
0
ilorazu pochodnych.
Uwaga 2 Twierdzenie działa tylko w jedną stronę: jeżeli granica ilorazu pochodnych nie
istnieje to z tego nie wynika , że nie istnieje granica ilorazu funkcji.
∞
Uwaga 3 Twierdzenie to można uogólnić na granice typu
oraz x0 = ±∞ , b = ±∞
∞
Przykład: Obliczyć granicę:
1 − cos x
lim
x→0 sin x2
0
Jest to granica typu . Obliczamy granicę:
0
f 0 (x)
sin x
lim
= lim
x→0 g 0 (x)
x→0 2x cos x2
0
Jest to granica typu . Obliczamy granicę:
0
f 0 (x)
cos x
1
= lim
=
lim
x→0 g 0 (x)
x→0 2 cos x2 − 4x2 sin x2
2
Granica ta istnieje, a więc
1 − cos x
1
lim
=
x→0 sin x2
2
Jezeli chcemy stosować regułę de L’Hospitala w przypadku innych symboli nieoznaczonych
0
∞
musimy je najpierw przekształcić do symbolu lub
0
∞
Przykład: 0 · ∞ Obliczyć granicę: lim x ln x
x→0
1
h i
lim x ln x = lim
x→0
x→0
ln x
1
x
0
0
1
lim x1 = lim −x = 0
= x→0
x→0
− x2
H
1
1
−
Przykład: ∞ − ∞ Obliczyć granicę: lim
sinh x
h ix→0 x
h i
0
0
0
1
sinh x − x 0
1
cosh x − 1
sinh x
−
= lim
=
lim
lim
lim
=
=
x→0 x sinh x
x→0 x
x→0 sinh x + x cosh x
x→0 cosh x + cosh x + x sinh x
sinh x
H
H
0
=0
2
g
Uwaga: Granice 1∞ , ∞0 ,00 obliczamy przekształcając wyrażenie f g = eln f = eg ln f , a
następnie obliczając granicę g ln f typu 0 · ∞
x
2
arc tg x
Przykład: 1∞ Obliczyć granicę: x→∞
lim
π
!
2
x
x ln
arc tg x
2
π
arc tg x = e
π
2
π(1 + x2 )
h i
2
2
0
ln
arc
tg
x
arc tg x
0
2
−x2
π
π
lim x ln
lim
arc tg x = x→∞
lim
= x→∞
lim
=
= x→∞
1
x→∞
π
(1 + x2 ) arc tg x
− x12
x
H
−1
2
lim
=−
x→∞ 1
π
( 2 + 1) arc tg x
x
stąd:
x
2
2
arc tg x = e− π
lim
x→∞ π
Wzór Taylora
Twierdzenie: Niech f : (a, b) → R będzie funkcją różniczkowalną (n + 1) razy. Wtedy dla
dowolnych x, x0 ∈ (a, b) zachodzi:
f 00 (x0 )
f (n) (x0 )
f 0 (x0 )
f (x) = f (x0 ) +
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + · · · +
(x − x0 )n + Rn
1!
2!
n!
gdzie:
f (n+1) (c)
(x − x0 )n+1 dla pewnego c ∈ (x0 , x)
Rn =
(n + 1)!
f (n+1) (c)
(x − x0 )n+1 nazywa się resztą w postaci Lagrange’a.
(n + 1)!
Uwaga 2: Wzór Taylora przybliża dowolną funkcję f za pomocą wielomianu stopnia n .
Reszta Rn jest błędem tego przybliżenia. Spośród wszystkich wielomianów stopnia n wielomian Taylora przybliża najlepiej funkcję f w otoczeniu punktu x0 .
Uwaga 3: O punkcie c wiemy tylko, że leży pomiędzy x0 a x. W przypadku, gdy x < x0
należy pisać c ∈ (x, x0 )
Uwaga 1: Reszta Rn =
Przykład: Napisać wzór Taylora dla funkcji f = ex w punkcie x0 = 0 dla n = 3. Korzystając
z niego obliczyć przybliżoną wartość e0,1 i oszacować błąd przybliżenia.
f 00 (0) 2 f 000 (0) 3
f 0 (0)
f (x) = f (0) +
x+
x +
x + R3
1!
2!
3!
2
gdzie:
f IV ) (c) 4
R3 =
x dla pewnego c ∈ (0, x)
4!
Obliczamy:
f (x) = ex , f (0) = 1
f 0 (x) = ex , f 0 (0) = 1
f 00 (x) = ex , f 00 (0) = 1
f 000 (x) = ex , f 000 (0) = 1
f IV (x) = ex
stąd:
1
1
x2 x3
1
+
+ R3
ex = 1 + x + x2 + x3 + R3 = 1 + x +
1!
2!
3!
2
6
gdzie
ec 4
R3 = x dla pewnego c ∈ (0, x)
4!
Wielomian przybliżający ex :
x2 x3
+
ex ≈ 1 + x +
2
6
0, 01 0, 001
0,1
e ≈ 1 + 0, 1 +
+
= 1, 10516666 . . .
2
6
Błędu przybliżenia nie możemy obliczyć dokładnie ponieważ nie znamy c , możemy go jednak
oszacować.
c c
e 4
e
|R3 | = x = 0, 0001
4!
4!
c ∈ (0, 0, 1) a więc |ec | = e0,1 < 3
3
|R3 | < 0, 0001 = 0, 0000125
24
Oszacowanie błądu możemy zaokrąglić (zawsze w górę). Następnie zaokrąglamy wynik i błąd
zaokrąglenia dodajemy do oszacowania błędu:
e0,1 = 1, 105167 ± 0, 000014
Wartość dokładna e0,1 = 1.105170918076 . . . mieści się w granicach błędu
Twierdzenie (Wzór Taylora z resztą w postaci Peano): Niech f : D → R będzie
funkcją mającą n-tą pochodną w punkcie x0 ∈ int D. Wtedy dla dowolnego x ∈ D zachodzi:
f 00 (x0 )
f (n) (x0 )
f 0 (x0 )
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + · · · +
(x − x0 )n + Rn (x)
f (x) = f (x0 ) +
1!
2!
n!
gdzie:
Rn (x) = ε(x)(x − x0 )n oraz lim ε(x) = 0
x→x0
x ln(1 + 2x) − 2x2 + 2x3
x→0
cos(x2 ) − 1
Stosujemy wzór Taylora dla funkcji f (x) = ln(1 + x) w x0 = 0 , dla n = 3:
f (x) = ln(1 + x)
f (0) = 0
1
f 0 (x) =
f 0 (0) = 1
1+x
f 00 (x) = −(1 + x)−2 f 00 (0) = −1
f 000 (x) = 2(1 + x)−3 f 000 (0) = 2
Stąd:
1
1
ln(1 + x) = x − x2 + x3 + ε1 (x)x3
2
3
A więc
8
ln(1 + 2x) = 2x − 2x2 + x3 + ε2 (x)x3
3
Stosujemy wzór Taylora dla funkcji g(x) = cos(x) w x0 = 0 , dla n = 2:
Przykład: Obliczyć granicę: lim
3
g(x) = cos x
g(0) = 1
0
g (x) = − sin x g 0 (0) = 0
g 00 (x) = − cos x g 00 (0) = −1
Stąd:
1
cos x = 1 − x2 + ε3 (x)x2
2
A więc
1
cos x2 = 1 − x4 + ε4 (x)x4
2
Podstawiamy otrzymane wzory do granicy:
8
x 2x − 2x + x3 + ε2 (x)x3 − 2x2 + 2x3
x ln(1 + 2x) − 2x2 + 2x3
3
lim
= lim
=
1 4
x→0
x→0
cos(x2 ) − 1
4
1 − x + ε4 (x)x − 1
2
8
4 8
x
+ ε2 (x)
+ ε2 (x)
16
= lim 3
lim 3
=−
1
1
x→0 4
x→0
3
x − + 4 (x)
− + ε4 (x)
2
2
Uwaga: Wybranie odpowiedniego stopnia wielomianu zastępującego funkcję wymaga pewnej wprawy. Jeśli stopień ten będzie za mały, wtedy przy obliczaniu granicy pojawi się symbol
nieznaczony z nieznaną funkcją ε(x) i wtedy nie możemy obliczyć granicy. Należy wtedy powtórzyć obliczenia z wyższym stopniem wielomianu. Jeśli stopień będzie za duży - wtedy
dostaniemy obliczymy granicę, ale potrzeba więcej obliczeń. W powyższym przykładzie są
zastosowane wielomiany o najniższych stopniach umożliwiające obliczenie granicy.
2
4