Analiza matematyczna ()

Analiza matematyczna v.1.6 – egzamin mgr inf niestacj
1
Oznaczenia:
f, g, h : J → R – funkcje rzeczywiste określone na J ⊂ R
J – przedział (a, b), (a, b], [a, b), [a, b], półprosta (−∞, b), (−∞, b], (a, ∞), [a, ∞) lub prosta R
α, β = [min{α, β}, max{α, β}] – odcinek, przedział domknięty o krańcach α i β
C n (a, b) – klasa funkcji o ciągłych pochodnych do n-tego rzędu i ciągłych na krańcach a, b
1
Granica funkcji
q = lim f (x) ⇔
x→p
• Def. Cauchy’ego: ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x6=p ( |x − p| < δ ⇒ |f (x) − q| < ε )
• Def. Heinego: ∀(xn )∞
n=1
p 6= xn −→ p ⇒ f (xn ) −→ q
n→∞
n→∞
Wzory:
h
+
i
1. lim f (x) − g(x) = lim f (x)
x→p
x→p
·
+
− lim
· x→p
g(x), przy założeniu, że istnieją lim f (x), lim g(x).
x→p
x→p
lim f (x)
f (x)
x→p
2. x→p
lim
=
, przy założeniu, że istnieją x→p
lim f (x), x→p
lim g(x) oraz x→p
lim g(x) 6= 0.
g(x)
lim g(x)
x→p
x = 1,
3. lim sin
x→0 x
x
lim e x− 1 = 1,
x→0
ln(1 + x)
= 1.
x
x→0
lim
Uwaga: Aby mówić o granicy lim f (x) funkcja f nie musi być określona w punkcie p; wystarczy
x→p
by funkcja f była zadana w sąsiedztwie p (sąsiedztwo=„otoczenie p, z którego wyrzucono samo
x
p”). Np. sin
x jest określona poza 0, ale ma w 0 granicę.
2
Ciągłość
f jest ciągła w punkcie p ⇔
• Def. Cauchy’ego: ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x ( |x − p| < δ ⇒ |f (x) − q| < ε )
• Def. Heinego: ∀(xn )∞
n=1
xn −→ p ⇒ f (xn ) −→ f (p)
n→∞
n→∞
• (def. za pomocą granicy) lim f (x) = f (p).
x→p
Uwaga: W przeciwieństwie do granicy nie wymagamy, żeby xn 6= p, czy x 6= p.
f jest ciągła (=wszędzieciągła) ⇔
• („def. redukcyjna”) jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny
• („globalna def. Heinego”) lim f (xn ) = f
n→∞
lim xn ;
n→∞
słownie: operator funkcji f jest przemienny z operatorem granicy lim
n→∞
(przemienny=„można zmieniać kolejność wykonywania operacji”).
Własności:
+
1a. f , g – ciągłe [w p ] ⇒ f − g – ciągłe [w p ]
·
2
Analiza matematyczna v.1.6 – egzamin mgr inf niestacj
1b. f , g – ciągłe w p ∧ g(p) 6= 0 ⇒
f
g
– ciągłe w p
1c. f – ciągła [w p ] ∧ h – ciągła [w f (p) ] ⇒ h ◦ f – ciągła [w p ],
h ◦ f (x) = h(f (x)) – złożenie
2. twierdzenie Weierstrassa: f : [a, b] → R – ciągła przyjmuje wartości ekstremalne (największą i najmniejszą), ∃ x∗ , x∗ ∈ [a, b] f (x∗ ) = inf f (x), f (x∗ ) = sup f (x)
a6x6b
a6x6b
3. twierdzenie Darboux: f : [a, b] → R – ciągła przyjmuje wszystkie wartości pośrednie,
∀x1 ,x2 ∈[a,b]
w ∈ f (x1 ), f (x2 ) ⇒ ∃ ex∈x1 ,x2 w = f (xe) .
x
√ x·e
∈ C (=jest ciągła). Uzasadnienie:
ln x2 + 3 + cos x
√
√
√
(1c) √
(1c)
x2 + 3, x ∈ C =⇒ x2 + 3 ∈ C,
x2 + 3, ln x ∈ C =⇒ ln x2 + 3 ∈ C,
√
√
(1a)
(1a)
x, ex ∈ C =⇒ x · ex ∈ C,
ln x2 + 3, cos x ∈ C =⇒ ln x2 + 3 + cos x ∈ C,
√
x
(1b)
x · ex , ln x2 + 3 + cos x =⇒ ln √x2x·e
= φ(x) ∈ C.
+3+cos x
Przykład: φ(x) =
3
Pochodna
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
= lim
x − x0 ,
h
x→x
0
h→0
f 0 (x0 ) = lim
f 00 = (f 0 )0 , f (n) = (f (n−1) )0 .
Interpretacja geometryczna: f 0 (x0 ) = tg α, α – kąt nachylenia stycznej.
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , y0 ) = (x0 , f (x0 ) ):
y − y0 = f 0 (x0 ) · (x − x0 ).
Interpretacja mechaniczna: f (x0 ) – położenie w chwili x0 , f 0 (x0 ) – prędkość w chwili x0 .
f – różniczkowalna w x0 (=istnieje pochodna w x0 ) ⇒ f ciągła w x0
Wzory:
1. (f ± g)0 = f 0 ± g 0 ,
0
0
0
2. (f · g) = f · g + f · g ,
4. (h ◦ f )0 (x0 ) = h0 ( f (x0 ) ) · f 0 (x0 )
0
3.
f
g
0
0
= f · g −2 f · g
g
5. c0 = 0 (c = const.), (xλ )0 = λ · xλ−1 , (ax )0 = ax · ln a, (ex )(n)
= ex , (loga |x|)0 =
(cos x) = − sin x, (sin x)0 = cos x = sin x + π2 , (sin x)(n) = sin x + n · π2 .
1
,
x·ln a
Przykłady:
1.
a) (ze wzoru (xλ )0 )
0
1
x
= (x−1 )0
λ=−1
= (−1) · x(−1)−1 = − x12
0
0
= 1 · x −2 1 · x = − x12
x
1
1
−
0
1 = lim x + h x = lim x − (x + h) = lim
−h
c) (z definicji) x
=
h
h→0
h→0 h · (x + h) · x
h→0 h · (x + h) · x
−1
−1
lim
=
= − x12
lim (x + h) · x
h→0 (x + h) · x
b) (ze wzoru
0
f
g
)
0
1
x
h→0
Analiza matematyczna v.1.6 – egzamin mgr inf niestacj
3
ln| x+h
ln|1+ h
ln |x + h| − ln |x|
x |
x|
=
lim
=
=
lim
h
h
·x
h
h→0
h→0
h→0
x
(∗∗)
ln(1 + t) 1 (∗∗∗) 1
= lim
· x = x,
t
t→0
2. (z definicji) (ln |x|)0 = lim
(∗)
= lim
t→0
ln |1 + t|
·
t
1
x
= 1;
(*) 0 6= h → 0 ⇒ 0 6= t = hx → 0; (***) wzór lim ln(1+x)
x
x→0
(**) |1 + t| = 1 + t dla t ≈ 0 (np. gdy |t| < 0, 5).
3. (ze wzorów na (xλ )0 i (h ◦ f )0 )
√
√ 0
3 0 λ= 3 √
5 3 0
5 3
3
5
y
3
√
5 3 ·
e x = (ey )0y= √
x
=
e
|
x5
=5 e x · 35 · x 5 −1 =
5 3 ·
y= x
x
x
x
√
√
5 3
5
f (x) = x3 , h(y) = ey , (h ◦ f )(x) = h(f (x)) = ey |y=f (x) = ef (x) = e x .
4
√
5
3
5
3
x
· e√
,
5
x2
Przebieg zmienności
max
6
wklęsła
rośnie
maleje
punkt
przegięcia
maleje
wypukła
min
-
Twierdzenie Fermata (warunek konieczny na ekstremum):
f – różniczkowalna na (a, b)
posiada ekstremum lokalne (minimum lub maksimum) w punkcie x0 ∈ (a, b) ⇒ f 0 (x0 ) = 0.
f 0− ⇒ f &
Kryteria monotoniczności: f 0 + ⇒ f %
f 0 > 0 na (a, b) ⇒
f 0 > 0 na (a, b) ⇒ f ściśle rosnąca na (a, b)
f 0 < 0 na (a, b) ⇒ f ściśle malejąca na (a, b) f 0 6 0 na (a, b) ⇒
f niemalejąca na (a, b)
f nierosnąca na (a, b)
f 0 zmienia znak w x0 ⇒ f posiada ekstremum w x0
x0
x
x0
x
0
0
f
+
0
−
f
−
0
+
f % max &
f & min %
Kryteria wypukłości: f 00 + ⇒ f
f 00 − ⇒ f
f 00 > 0 na (a, b) ⇒ f ściśle wypukła na (a, b) f 00 < 0 na (a, b) ⇒ f ściśle wklęsła na (a, b)
f 00 (x0 ) = 0 ∧ f 00 zmienia znak w x0 ⇒ f ma punkt przegięcia w x0
S
Uwaga: f
T
malejąca
rosnąca
⇔ (−f )
wklęsła
wypukła
Przykłady:
1. Funkcje rosnące: ax , loga x (przy a > 1);
√
x, xn (n = 1, 2, . . .).
2. Funkcje malejące: ax , loga x (przy 0 < a < 1);
1
x
na (0, ∞).
4
Analiza matematyczna v.1.6 – egzamin mgr inf niestacj
3. Funkcje wypukłe: x2 , x4 , ex , 2x .
4. Funkcje wklęsłe:
√
√
4
x,
x, ln x.
5. Uzasadnienie f 0 < 0 ⇒ f &. Zał., że f 0 < 0. Wówczas f ściśle maleje:
Lagrange
x < y ⇒ f (x) > f (y). Albowiem f (y) − f (x) = f 0 (ξ) · (y − x) < 0.
| {z } | {z }
<0
5
>0
Wzór Taylora
f ∈ C n (a, b) tzn. ma ciągłe pochodne do n-tego rzędu (i jest ciągła na krańcach), x, x0 ∈ (a, b)
reszta w postaci Lagrange’a
⇒
∃ξ∈x0 ,x f (x) = f (x0 ) +
n−1
X
f
(k)
(x0 )
· (x − x0 )k +
k!
k=1
|
z
f
}|
(n)
{
(ξ)
· (x − x0 )n
n!
.
{z
}
wielomian Taylora
Dla x0 = 0 mamy wzór Maclaurina. Przypadek n = 1 to twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej:
∃ξ∈x0 ,x f (x) − f (x0 ) = f 0 (ξ) · (x − x0 ).
f ∈ C 1 (a, b) ∧ x0 , x ∈ (a, b) ⇒
Przykłady:
2
3
4
• ex ≈ 1 + x + x2 + x6 + x24 z dokładnością 6
65
= 2, 708333....
w szczególności: e ≈ 24
max{1,ex }
120
Uzasadnienie: f (x) = ex = f (k) (x), x0 = 0 ⇒
ex = e0 +
· |x|5 6
e|x|
120
· |x|5 ;
f (k) (x0 )
e0 · (x − 0)k ⇒
k
·
(x
−
x
0) =
k!
k!
e0
e0
e0
e0
eξ
·(x−0)+ ·(x−0)2 + ·(x−0)3 + ·(x−0)4 + · (x − 0)5 ,
1!
2!
3!
4!
|5!
{z
}
ξ ∈ 0, x ⇔ |ξ| 6 |x|.
reszta
ex = 1 +
x
1!
+
x2
2!
+
3
x3
3!
+
x4
4!
+
x5
5!
+
x6
6!
+
x7
7!
+ ...
6
5
Taylor
x
• sin x ≈ x − x6 + 120
z dokładnością 6 |x|
; w szczególności: sin 3,14
≈ 0, 706861...;
720
4
√
dla por.: sin π4 = 22 = 0, 707106....
Uzasadnienie: x0 = 0, f (x) = sin x, f (k) (x) = sin x + k π2 ,


k ≡ 1 mod 4
 1, dla
π
(k)
k ≡ 3 mod 4 ⇒
f (0) = sin k 2 = −1, dla


0, dla k ≡ 0 ∨ k ≡ 2 mod 4
π
π
4
5
x
x2
x3
sin x = sin
+ 1! + sin 2 ·
· 2! − 3! + sin 4 ·
· x4! + x5! +
| {z 0}
|
{z 2 }
|
{z 2 }
=0
=0
=0
+
sin ξ + 6 ·
|
sin x =
x
1!
−
x3
3!
+
x5
5!
−
x7
7!
+
x9
9!
−
x11
11!
+ ...
6! {z
reszta
π
2
· x6 ,
ξ ∈ 0, x,
sin ξ + 6 ·
π
2
6 1.
}
cos x = 1 −
x2
2
+
x4
4!
−
x6
6!
+
x8
8!
−
x10
10!
+ ...
Analiza matematyczna v.1.6 – egzamin mgr inf niestacj
6
5
Całka
Całka oznaczona Riemanna
Rb
a
f (x) dx = I ⇔ ∀ podziału a = x0 < x1 < . . . < xn = b ∀ ξi ∈ [xi−1 , xi ]
max |xi − xi−1 | −→ 0
n→∞
i=1,...,n
|
{z
n
X
⇒
i=1
}
średnica podziału
−→ I
f (ξi ) · (xi − xi−1 ) n→∞
{z
|
f – całkowalna na [a, b] ⇔ istnieje całka
Rb
}
suma całkowa
f (i jest skończona).
a
Interpretacja geometryczna:
Rb
f (x) dx – pole obszaru pomiędzy wykresem y = f (x) a osią 0x
a
(fragmenty gdzie wykres f biegnie pod osią są brane ze znakiem „−”).
f (ξ1 )
6
f (ξ2 )
f (ξ3 )
f (ξ4 )
t
x0
ξ1
ξ2 t ξ3 t
ξ
t 4
x1
x2
x3
x4
Własności:
1a.
Rb
Rb
Rb
a
a
f ±g = f ± g
a
1b.
Rb
Rb
λ·f =λ· f
a
2.
a
Rb
Rw
Rb
a
w
f= f+ f
a
3. warunek dostateczny na całkowalność: f – ciągła na [a, b] ⇒ f – całkowalna na [a, b].
Całka nieoznaczona
F – funkcja pierwotna dla f ⇔ F 0 = f
R
f (x) dx = F (x) + C – całka nieoznaczona (=zbiór funkcji pierwotnych=„anty-pochodna”)
Całka oznaczona a nieoznaczona
Rx
• Funkcja górnej granicy całkowania Φ(x) = f (t) dt jest funkcją pierwotną dla f , Φ0 = f :
a
 x
0
Z
 f (t) dt = f (x).
a
• Wzór Newtona-Leibniza:
Rb
x
f (x) dx = F (b) − F (a), gdzie F 0 = f – ciągła.
a
Wzory
1. (liniowość=addytywność+jednorodność)
2. (całkowanie przez części)
R
R
f ± g = f ± g,
R
R
f · g0 = f · g − f 0 · g
3. (całkowanie przez podstawienie)
R
R
f (t) dt = f (t(x)) · t0 (x) dx
R
R
λ·f =λ· f
R
6
Analiza matematyczna v.1.6 – egzamin mgr inf niestacj
4.
λ+1
R
xλ dx = λx + 1 + C (λ 6= −1), x1 dx = ln |x| + C,
R x
R
R
e dx = ex + C, cos x dx = sin x + C, sin x dx = − cos x + C.
R
Uwaga: Wzory na całki nieoznaczone powstają przez „odwrócenie” wzorów na pochodne.
Uzasadnienia (przykładowe):
R
R
R
R
R
1. F ∼
= f ∧G∼
= g ⇒ (F + G)0 = F 0 + G0 = f + g ⇒ (f + g) ∼
= F + G = f + g,
2.
f · g0 = f · g − f 0 · g ⇔
R
R
3. xλ+1
0
= (λ + 1) · xλ ⇔
R
(f · g 0 + f 0 · g) ∼
= f · g ⇔ (f · g)0 = f · g 0 + f 0 · g,
xλ+1
λ+1
0
= xλ ⇔
xλ dx ∼
=
R
xλ+1
λ+1
;
∼
= oznacza równość z dokładnością do stałej całkowania C.
Przykłady:
1. (liniowość i xλ )
λ= 6
R √
R 6
R
5
3 x6 − x12 dx = 3 x 5 dx − x−2 dx =5 3 ·
R
λ=−2
12
5
12
5
x
−
x−1
−1
+ C = 54 x2 ·
części
√
5
x2 +
1
x
+C
2. (przez części)R x · e−x dx = x · (−e−x )0 dx = x · (−e−x ) − x0 · (−e−x ) dx =
= −x · e−x + 1 · e−x dx = −x · e−x − e−x + C = − e−x · (x + 1) + C
R
R
3. (przez podstawienie)
=
1
10
R
x · sin(5x2 ) dx =
1
10
R
podst.
· sin(5x2 ) · 10x dx =
R
(∗)
1
10
R
sin t dt =
· (− cos t) + C = −0, 1 · cos(5x2 ) + C,
(*) t = t(x) = 5x2 , dt = t0 (x) dx = 10x dx, f (t) = sin t
4. (całka niewłaściwa)
(a)
R∞
1
1
x3
dx = lim
Rb
b→∞ 1
x
−3
dx =
i
−2 b
lim x−2
1
b→∞
h
1
= lim ( − b−2 − − 21 ) =
b→∞
2{z }
|
1
2
2
=− 21 ·( 1b ) →0
(b)
R1
0
1
√
4x
R1
dx = lim x
a→0 a
− 14
λ=− 14
dx = lim
a→0
3
x4
3
4
1
= lim
a
a→0
4
3
3
− 34 · a 4 =
4
3
Niewłaściwość wiąże się z nieograniczonością przedziału całkowania lub nieograniczonością
funkcji podcałkowej.
Równania różniczkowe
dy
y 0 (x) = f (x), dx
= f , ẏ = f , y 0 = f (różne zapisy) ⇔ y(x) = f (x) dx.
Słownie: Jaka funkcja y ma pochodną f ? Odp.: Funkcja pierwotna dla f (=całka nieoznaczona).
R
Przykład (formalizm rozdzielania zmiennych):
dy
= 5x2 · y 3 ⇔ y −3 dy = 5x2 dx ⇔
dx
Z
y −2
5
10 3
C=−2C1
dy = 5x2 dx ⇔
= x3 + C1
⇔
y −2 = −
x +C ⇔
−2
3
3
− 1
2
10 3
1
⇔ y = − x +C
= q
.
3
− 10 x3 + C
y 0 (x) = 5x2 · (y(x))3
⇔
Z
y −3
⇔
3
Poprawność rachunku: całkowanie przez podstawienie.