Wykład 1 - theta.edu.pl

Powtórzenie wiadomości z matematyki. Zmienne
losowe i ich rozkłady
Wrocław, 5.10.2016r
Tematyka Wykładów:
Powtórzenie wiadomości z matematyki
Zmienne losowe i ich rozkłady.
Momenty zmiennych losowych.
Rozkłady wybranych statystyk próbkowych.
Statystyki dostateczne, swobodne, zupełne.
Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną wariancją.
Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estymatorów
Metoda momentów i kwantyli próbkowych
Estymacja parametrów metodą największej wiarogodności.
Estymacja przedziałowa.
Estymacja metoda najmniejszych kwadratów w modelach
liniowych.
Estymacja Bayesowska, estymacja minimaksowa.
Zasady oceniania
Ćwiczenia
2 kolokwia (20 punktów każde) 28.11.2016 oraz 23.01.2017
2 kartkówki niezapowiedziane (5 punktów każda)
aktywność
oceny
1
2
3
4
5
[25, 30)
[30, 35)
[35, 40)
[40, 45)
[45, 50)
-
dst
dst +
db
db +
bdb
Egzamin
egzamin pisemny
egzamin poprawkowy w formie odpowiedzi ustnej
kryteria oceniania - jak w przypadku ćwiczeń
Powtórzenie wiadomości z matemtyki
LOGARYTM
Definicja:
Logarytmem o podstawie a ∈ R+ \{1} z liczby b ∈ R+ nazywamy
taką liczbę c, że a podniesione do potęgi c jest równe b, tzn:
loga b = c, wtedy i tylko wtedy, gdy ac = b
Definicja: (logarytm naturalny) (Logarytm Nepera)
Logarytmem naturalnym nazywamy logarytm, którego podstawą
jest liczba e ≈ 2.71828
loge x = ln x
Niech:
a ∈ R+ \{1}, x, y ∈ R+ , p ∈ R
Podstawowe własności logarytmów:
1 log (x · y ) = log x + log y
a
a
a
loga
x
y
3
loga
xp
4
loga 1 = 0
5
loga a = 1
6
loga b =
2
= loga x − loga y
= p loga x
1
logb a
Przykłady:
2 ln(a) + ln(b 2 ) = 2 ln(a) + 2 ln(b) = 2 ln(ab)
ln(t 5 ) − ln(t 3 ) = 2 ln(t)
3 log(x) − log(x 3 ) = 0
Pn
i=1 ln(ti )
Qn
= ln(
i=1 exp{ti }
Qn
i=1 ti )
= exp{
Pn
!!!
i=1 ti }
!!!
Wykres funkcji logarytmicznej
POCHODNA FUNKCJI
Definicja: (Pochodne rzędu pierwszego)
Pochodną funkcji y = f (x) w punkcie x nazywamy granicę, do
której dąży stosunek przyrostu funkcji ∆y do odpowiedniego
przyrostu zmiennej niezależnej ∆x, gdy przyrost zmiennej
niezależnej dąży do zera, czyli granicę:
f (x + ∆x) − f (x)
∆y
= lim
∆x→0
∆x→0 ∆x
∆x
lim
Pochodną funkcji y = f (x) oznaczamy jako:
y 0 , f 0 (x),
dy df (x)
,
dx
dx
Podstawowe własności pochodnych funkcji
1 (f (x) + g (x))0 = f 0 (x) + g 0 (x)
2
(f (x) − g (x))0 = f 0 (x) − g 0 (x)
3
(f (x) · g (x))0 = f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x)
4
f (x) 0
g (x)
f 0 (x)·g (x)−f (x)·g 0 (x)
[g (x)]2
0
f (x)) = c · f 0 (x)
=
5
(c ·
6
(f (g (x)))0 = f 0 (g (x)) · g 0 (x)
Pochodne funkcji - wzory:
f (x)
c
x
xn
ln(x)
ex
ax
sin(x)
cos(x)
tg(x)
arc sin(x)
arc cos(x)
arctg (x)
arcctg (x)
f 0 (x)
0
1
nx n−1
1
x
ex
ax ln(a)
cos(x)
− sin(x)
1
cos2 (x)
√ 1
1−x 2
1
− √1−x
2
1
1+x 2
1
− 1+x
2
Przykłady:
50 = 0
(2x)0 = 2
(ln(x) − cos(x) + x 7 )0 = (ln(x))0 − (cos(x))0 + (x 7 )0 =
= x1 − (− sin(x)) + 7x 7−1 = x1 + sin(x) + 7x 6
√
[(e x − 7)( x + sin(x))]0 =
√
√
= (e x − 7)0 ( x + sin(x)) + (e x − 7)( x + sin(x))0 =
√
= e x ( x + sin(x)) + (e x − 7)( 2√1 x + cos(x))
0
2
6 0 3
2 −x 6 )(x 3 )0
3x 2 −x 6
= (3x −x ) x (x−(3x
3
3 )2
x
5 3
2 (3x 2 −x 6 )
4
= (6x−6x )x −3x
= − 3+3x
x6
x2
=
Przykłady:
(ln(x − cos(x)))0 =
(e x
2
2 −9x
1
x
1
x
)0 = e x
+ 5x
2 0
+ 5x
2 −9x
=2
1
x−cos(x) (x
− cos(x))0 =
(x 2 − 9x)0 = e x
1
x
+ 5x
− x12 + 5x ln(5)
1
x
2 −9x
+ 5x
0
1+sin(x)
x−cos(x)
(2x − 9)
=
Wzory skróconego mnożenia:
Kwadrat sumy: (a + b)2 = a2 + 2ab + b 2
Kwadrat różnicy: (a − b)2 = a2 − 2ab + b 2
Różnica kwadratów: a2 − b 2 = (a − b)(a + b)
Sześcian sumy: (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab 2 + b 3
Sześcian różnicy: (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab 2 − b 3
Różnica sześcianów: a3 − b 3 = (a − b)(a2 + ab + b 2 )
Suma sześcianów: a3 + b 3 = (a + b)(a2 − ab + b 2 )
Polecane literatura:
J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa
dla prawie każdego, Script, Warszawa 2006
J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii
prawdopodobieństwa, Script, Warszawa 2010,
Bartoszewicz J.,Wykłady ze statystyki matematycznej, PWN,
Warszawa 1989
Gajek L., Kałuszka M.,Wnioskowanie statystyczne, WNT,
Warszawa 2000, wyd. IV.
M. Krzyśko,Statystyka matematyczna, Wyd. UAM, Poznań
2004
E.L. Lehmann,Teoria estymacji punktowej, PWN Warszawa
1991
R. Zieliński,Siedem wykładów wprowadzających do statystyki
matematycznej, PWN, Warszawa 1990