1 12 )( - + + = xxx xf 1 12 )( + + - = xxx xf 2 12 )( - +

6. Zastosowanie pochodnych do badania własności funkcji: monotoniczność funkcji a znak
pochodnej, warunek konieczny i dostateczny na istnienie ekstremum lokalnego funkcji,
największa i najmniejsza wartość funkcji, wklęsłość i wypukłość a znak drugiej pochodnej,
warunek konieczny i dostateczny na istnienie punktu przegięcia funkcji. Przykłady
wykorzystania rachunku różniczkowego w ekonomii.
Przebieg zmienności funkcji
Zbadaj przebieg zmienności i narysuj wykres funkcji danej wzorem:
a)
b)
c)
x2  2x  1
x 1
x 2  2x  1
f ( x) 
x 1
f ( x) 
x 2  2x  1
f ( x) 
x2
1. Analiza funkcji:
(a) Wyznaczenie dziedziny funkcji
(b) Obliczenie granic na krańcach przedziałów określoności
(c) Wyznaczenie asymptot
(d) Wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osią OX oraz z osią OY
(e) Zbadanie parzystości i nieparzystości funkcji.
2. Analiza pierwszej pochodnej funkcji:
(a) Obliczenie f ' ( x) i wyznaczenie zbioru, w którym funkcja f (x) jest różniczkowalna
(b) Wyznaczenie miejsc zerowych pierwszej pochodnej
(c) Wyznaczenie zbiorów, w których f ' ( x)  0 i w których f ' ( x)  0 oraz określenie
monotoniczności
funkcji f (x)
(d) Wyznaczenie ekstremów lokalnych funkcji f (x)
3. Analiza drugiej pochodnej funkcji:
(a) Obliczenie f ' ' ( x) i wyznaczenie zbioru, w którym f ' ( x) jest różniczkowalna
(b) Wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej
(c) Wyznaczenie zbiorów, w których f ' ' ( x)  0 i w których f ' ' ( x)  0 oraz określenie
przedziałów wklęsłości i wypukłości funkcji f (x) (1 pkt.)
4. Sporządzenie tabeli przebiegu zmienności funkcji (informacje z punktów 1, 2, 3)
x
f ' ( x)
f ' ' ( x)
f (x)
5. Sporządzenie wykresu funkcji f (x)
f (x)
x
Zadanie 1.1 Funkcja podaży na pewne dobro przy cenie jednostkowej
. Znaleźć funkcję utargu
wzorem
oraz
określona jest
oraz podać interpretację
otrzymanego wyniku.
Zadanie 2. Koszt całkowity
wyprodukowania
jednostek pewnego towaru oraz cena
tego towaru, przy której popyt jest równy podaży, zostały określone wzorami:
,
. Przy jakiej wielkości produkcji utarg krańcowy
będzie równy kosztowi krańcowemu?
Zadanie 3. Koszt całkowity wyprodukowania
wzorem
jednostek pewnego artykułu wyraża się
. Przy jakiej wielkości produkcji koszt przeciętny
wyprodukowania jednostki tego artykułu będzie równy kosztowi krańcowemu?
1
Zadania 1,2,3 pochodzą z książki Bażańska T., Nykowska M., „MATEMATYKA W ZADANIACH DLA
WYŻSZYCH ZAWODOWYCH UCZELNI EKONOMICZNYCH”