Ruch po równi pochyłej

Sławomir Jemielity
Ruch po równi pochyłej
Z równi pochyłej o kącie nachylenia do poziomu α zsuwa się ciało o masie m. Jakie jest
przyspieszenie ciała, jeśli współczynnik tarcia ciała o równię wynosi f? W jakich warunkach
ruch jest możliwy?
ROZWIĄZANIE
Zaczniemy od rysunku, na którym zaznaczymy wszystkie siły działające na ciało.
R
y
T
Px
Py
P
x
α
Te siły to:
P - siła ciężkości (źródło - Ziemia)
R - siła reakcji (ze strony równi)
T - tarcie kinematyczne (ze strony równi)
W II zasadzie dynamiki po lewej stronie mamy siłę wypadkową czyli sumę wszystkich sił
działających na ciało. Graficzne dodawanie sił nic nam nie da, bo mamy znaleźć wartość
przyspieszenia; obliczyć ją, a nie wyznaczyć graficznie. Dlatego lepiej jest operować na
współrzędnych wektorów – są one liczbami. Wprowadzamy układ współrzędnych tak, by
rozkład wektorów na składowe (znajdowanie ich współrzędnych) było jak najłatwiejsze.
Zdecydowanie najprościej rozwiązuje się to zadanie w takim układzie jak na rysunku. Oś
OX kierujemy wzdłuż równi w dół, oś OY prostopadle do niej. Przewaga tego wyboru nad
innymi polega na tym, że dwie spośród działających na ciało sił a także przyspieszenie są
skierowane wzdłuż osi układu. Jedyną siłą, którą należy rozłożyć jest siła ciężkości P.
Zajmijmy się tym. Na rysunku wyżej składowe P są oznaczone ciemnoniebieskim kolorem.
B
D
C
A
∠ADC = 90°∠DCA = 90° − α
∠ACB = 90°∠DCB = 90° − ∠DCA = 90° − (90° − α )
∠DCB = α
Możemy teraz wyrazić składowe siły ciężkości poprzez całą siłę P = mg oraz kąt α.
Px
= sin α
P
Py
= cos α
P
⇒
Px = P sin α = mg sin α
⇒
Py = P cos α = mg cos α
Możemy teraz napisać II zasadę dynamiki dla obu osi pamiętając, że siły skierowane
przeciwnie do osi powinny być z minusem. Przyspieszenie ciała jest w całości skierowane
wzdłuż równi. Prostopadłej do równi składowej przyspieszenia nie ma, bo jej istnienie
oznaczałoby, że ciało wzlatuje nad równię lub się w niej zagłębia.
Oś OX:
1) Px − T = ma
Oś OY:
2) R − Py = 0
Tarcie jak zwykle
3) T = fR
Z 2) liczymy siłę reakcji i podstawiamy ją do 3).
R = Py = mg cos α
T = fmg cos α
Równanie 1) przyjmuje postać
mg sin α − fmg cos α = ma / : m
4) a = g sin α − fg cos α
Tu kończy się zasadnicze rozwiązanie.
a = g sin α − fg cos α
Z takim przyspieszeniem ciało będzie zsuwać się z równi. Przyjrzyjmy się temu wynikowi
możliwie wszechstronnie.
Gdyby nie było tarcia (f = 0) przyspieszenie wyniosłoby
a = g sin α
Czy ten wzór ma cokolwiek wspólnego z rzeczywistością? Nie, jeśli będziemy bardzo
dokładni. Nie istnieją ciała doskonale gładkie. Jeżeli jednak ciała są bardzo gładkie, wzór
ten może być niezłym przybliżeniem tego, co rzeczywiście zachodzi. Przetestujmy ten
wzór dla dwóch szczególnych wartości kąta α.
Gdy
α = 0° , wtedy a = g sin 0° = 0
Nie ma w tym nic dziwnego. Kąt α = 0° oznacza, że równia jest pozioma. Ciało nie będzie
się wtedy poruszać i jego przyspieszenie będzie równe zero.
Gdy α = 90°
a = g sin 90° = g .
Równia pochyła o takim kącie nachylenia jest pionowa. Zamiast zsuwania się mamy
swobodny spadek. Znów wzór daje wynik zgodny z oczekiwaniem.
Teraz zastanowimy się, kiedy ruch jest możliwy.
Przypadek I - prędkość początkowa v0 = 0.
By spoczywające ciało zaczęło się poruszać jego przyspieszenie powinno być dodatnie.
Prowadzi to do nierówności:
a = g sin α − fg cos α > 0
g sin α > gf cos α / : g cos α (> 0 )
sinα
=f
cos α
tgα > f
Zatem ruch rozpocznie się samorzutnie, jeśli tangens kąta nachylenia równi będzie
większy niż współczynnik tarcia. W przeciwnym wypadku ruch się nie rozpocznie.
Właściwie dlaczego? Przecież po podstawieniu wartości g, f, α do wzoru 4) coś wychodzi.
Przyspieszenie okazuje się wtedy ujemne, ale może to oznacza ruch jednostajnie
opóźniony? Po pierwsze: ciało początkowo spoczywa (zgodnie z założeniem). Ruch
opóźniony polega na zmniejszaniu się wartości prędkości. Nie ma tu czego zmniejszać! Po
drugie skoro ciało spoczywa i tgα < f to mamy do czynienia nie z tarciem kinetycznym, lecz
statycznym i to takim, które nie osiągnęło swej maksymalnej wartości. Równanie 4)
przestaje być aktualne. W przypadku granicznym, gdy tgα = f ruchu nie ma, ale jeśli
nadamy jakąś prędkość początkową, to ciało będzie się poruszać jednostajnie z właśnie
taką prędkością.
Przypadek II - prędkość początkowa v 0 ≠ 0 .
Ciało porusza się od początku, więc niezależnie od kąta i współczynnika tarcia mamy do
czynienia z tarciem kinetycznym.
1) v0 skierowana do dołu, spełniony warunek tgα > f . Ruch jest przyspieszony z
przyspieszeniem danym wzorem 4) ( jest ono dodatnie).
2) v0 skierowana do dołu, spełniony warunek tgα < f . Przyspieszenie, ze względu na
warunek tgα > f , jest ujemne. Oznacza to, że jest ono skierowane przeciwnie do osi OX,
a ponieważ prędkość jest skierowana zgodnie, to prędkość i przyspieszenie mają
przeciwne zwroty. Ruch, jak się można spodziewać, jest jednostajnie opóźniony.
3) v0 skierowana do góry. Tu niestety są komplikacje. Siła tarcia kinetycznego jest
skierowana przeciwnie niż ruch ciała. Ponieważ ciało porusza się do góry to siła ta jest
skierowana do dołu, co zmienia warunki zadania i wzór na przyspieszenie.
R
y
Px
Py
P
T
x
α
Px + T = ma
mg sin α + fmg cos α = ma
5) a = g sin α + fg cos α
Tym razem przyspieszenie jest zawsze dodatnie (czyli skierowane tak jak oś OX).
Prędkość skierowana jest do góry, więc przeciwnie do osi. Przeciwne zwroty tych
wektorów oznaczają ruch jednostajnie opóźniony z opóźnieniem danym wzorem 5).
I jeszcze jedno. Może jest to dość zaskakujący związek rzeczywistości z tym zadaniem.
Nieraz widzieliście kopczyki usypane z piasku, cukru, mąki i tym podobnych sypkich
substancji. Wszystkie stożki usypane na przykład z cukru (suchego!) mają w przybliżeniu
takie same kąty nachylenia. Dlaczego tak jest?
Otóż, gdy kopczyk jest jeszcze niski i kąt nachylenia jest niewielki, spełniony jest warunek
tgα < f , gdzie f jest współczynnikiem tarcia cukru o cukier.
Wtedy nie ma ruchu po równi pochyłej, jaką jest zbocze kopczyka. Spadające kryształki
cukru zostają tam gdzie spadną. Powoduje to wzrost kopczyka, staje się on coraz bardziej
stromy, aż w pewnym momencie kąt nachylenia jest taki, że
tgα > f
Kryształki cukru zaczynają się zsuwać i kąt nachylenia zbocza kopczyka przestaje rosnąć.
Równia i znajdujące się na niej ciała są bardzo prymitywnym układem mechanicznym, a
jednak już tu widzimy wiele komplikacji. No cóż, świat jest skomplikowany... Zwróćcie
uwagę, że zajmowaliśmy się tylko najprostszymi ruchami na równi. W każdym zadaniu był
to ruch wzdłuż linii największego spadku. Strach pomyśleć co by było, gdyby ciału nadać
prędkość początkową skierowaną jakoś „w bok”. Okazałoby się, że ruch jest tu
zaskakująco skomplikowany.