Zestaw nr 4

ARKUSZ 4. Funkcje trygonometryczne
1. Sprawdzić tożsamości trygonometryczne:
a)
cos x−cos 3x
sin 3x−sin x
6
= tg 2x,
b) sin x + cos6 x = 1 − 43 sin2 2x,
c)
sin 2x
1+cos 2x
cos x
1+cos x
·
= tg x2 .
2. Rozwiązać równania:
a)
b)
c)
d)
e)
cos 3x = cos x,
sin x + cos x = 1,
cos2 2x = 1,
sin x + sin 2x + sin 3x = 0,
tg x + tg 2x − tg 3x = 0,
f ) tg
π
4
2
h)
2cos x
2sin2 x
i) 3sin
2
x
4
3
= −2,
√
= 2,
g) logsin x
2
− 3cos
x
= 2,
j) sin x sin 2x = 32 cos x,
− x + tg x = 0,
k) tg x + ctg x = 4 sin 2x.
3. Rozwiązać nierówności:
√
a) sin x >
b) cos x <
3
,
2
− 12 ,
h) cos x < a,
i) tg x > a,
j) ctg x < a,
c) sin x < cos x,
d) cos2 x <
k) sin3 x cos x − cos3 x sin x ¬ 14 ,
√
l) cos2 x − cos x ­ sin x, x ∈ h0, 2πi,
1
,
2
e) cos x + tg x < 1 + sin x,
f ) tg 2x − ctg 2x >
√2 ,
3
ł) cos x ctg 2x ¬ 0,
g) sin x > a,
m)
cos 2x
cos x
< 1, x ∈ (0, π).
4. Sporządzić wykresy funkcji:
a) f (x) = sin 12 x,
d) f (x) =
b) f (x) = sin 2x,
e) f (x) = cos x + | cos x|,
c) f (x) = | sin x| + | cos x|,
f ) f (x) = tg x + | tg x|.
5. Dla jakich k ∈ Z równanie sin 2x =
2k−3
k−4
1
,
sin x
ma rozwiąznie?
8
6. Obliczyć sin 2x, jeżeli ctg x = − 15
oraz x ∈
3
π, 2π
2
.
7. Uprościć wyrażenie
q
sin2 α(1 + ctg α) + cos2 α(1 + tg α).
7
8. Dla jakich wartości α ∈ h0, πi równanie
x2 sin α + x + cos α = 0,
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?
9. Niech f (a) oznacza liczbę pierwiastków rzeczywistych równania
2x2 − 4x sin a + 1 = 0,
gdzie a ∈ h0, πi jest parametrem. Funkcję f zapisać wzorem i narysować
jej wykres.
10. Dla jakich wartości parametru α ∈ R równanie
x2 + (sin α + cos α)x +
3
sin 2α = 0,
4
ma dwa pierwiastki rzeczywiste o tych samych znakach?
11. Obliczyć:
a) tg 41o · tg 42o · tg 43o · . . . · tg 49o ,
b) cos 20o cos 40o cos 80o ,
c) cos 36o .
12. Wyznaczyć wartości parametrów a, dla q
których istnieją funkcje ciągłe
fa : Ia −→ R, (Ia – przedział) takie, że fa (x) = sin x + a, x ∈ Ia .
8