STEREOMETRIA

Zestaw zadań powtórzeniowych do egzaminu maturalnego z matematyki
STEREOMETRIA
Zadanie 1. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole jednej ściany bocznej jest trzy
razy mniejsze od pola podstawy.
a) Oblicz objętość tego ostrosłupa przyjmując, Ŝe długość krawędzi podstawy wynosi
14cm.
b) Wyznacz sinus kąta między sąsiednimi krawędziami bocznymi tego ostrosłupa.
Zadanie 2. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna o długości b jest
nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 600. Oblicz objętość i pole powierzchni
całkowitej tego ostrosłupa oraz wyznacz kosinus kąta płaskiego ściany bocznej przy
wierzchołku ostrosłupa.
Zdanie 3. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między wysokościami sąsiednich
ścian bocznych wynosi 600. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi 16 1 + 2 .
a) Wyznacz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
b) Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz odległość środka wysokości ostrosłupa od ściany
bocznej.
Zadanie 4. Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 21 .
Ściana boczna ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 600.
a) Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz pole jego przekroju wyznaczonego przez
wysokość i krawędź boczną ostrosłupa.
b) Oblicz odległość wierzchołka podstawy ostrosłupa od jego krawędzi bocznej.
Zadanie 5. Pole ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy
większe od pola jego podstawy, długość krawędzi podstawy wynosi 3 2 .
a) Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz wyznacz cosinus kąta między sąsiednimi
krawędziami bocznymi ostrosłupa.
b) Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wysokości
sąsiednich ścian bocznych.
Zadanie 6. Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest
dwa razy mniejsza niŜ suma długości wszystkich krawędzi pewnego sześcianu. Długość
krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa 12, sinus kąta między krawędzią boczną i
13
płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa wynosi
.
5
a) Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz wyznacz cosinus kąta między krawędziami
bocznymi ostrosłupa.
b) Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej ostrosłupa do pola powierzchni całkowitej
sześcianu.
Zadanie 7. Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego czworokątnego tworzą z płaszczyzną
podstawy kąt o mierze 600. Promień okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa ma
długość R. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa oraz wyznacz
cosinus kąta między sąsiednimi krawędziami bocznymi tego ostrosłupa.
Zadanie 8. Długość wysokości prawidłowego ostrosłupa czworokątnego wynosi 7 3 , a
krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 600.
a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
b) Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy
i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 300.
Zdanie 9. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi bocznej jest równa
długości krawędzi podstawy, a pole ściany bocznej jest równe 72 3 .
(
)
1
a) Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz odległość środka wysokości ostrosłupa od ściany
bocznej.
b) Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodząca przez środki dwóch
sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa.
Zadanie 10. Przekrojem osiowym walca jest prostokąt o polu 48. Objętość walca jest równa
objętości bryły powstałej przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 6 i
8 dookoła przeciwprostokątnej. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca.
Zadanie 11. Objętość prawidłowego ostrosłupa trójkątnego wynosi 576 3 . Długość
promienia okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa wynosi 4 3 .
a) Wyznacz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa
oraz oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
b) Oblicz odległość środka wysokości ostrosłupa od ściany bocznej.
Zadanie 12. Dane są: prawidłowy ostrosłup trójkątny o długości krawędzi podstawy równej
10 i kącie nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynoszącym 300 oraz
prawidłowy graniastosłup czworokątny, w którym przekątna ściany bocznej o długości 10 jest
nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 300.
a) Oblicz, o ile pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest większe od pola
powierzchni całkowitej ostrosłupa.
b) Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek
ostrosłupa i środki dwóch krawędzi podstawy.
Zadanie 13. Z wierzchołka ostrosłupa prawidłowego trójkątnego poprowadzono wysokości
dwóch ścian bocznych. Miara kąta miedzy tymi wysokościami jest równa 600, a krawędź
boczna tego ostrosłupa ma długość 4 2 . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej
ostrosłupa.
Zadanie 14. W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym długość krawędzi bocznej jest
równa długości krawędzi podstawy, a pole ściany bocznej jest równe 36 3 .
a) Oblicz objętość ostrosłupa oraz wyznacz odległość środka wysokości ostrosłupa od
ściany bocznej.
b) Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch
sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa.
Zadanie 15. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o podstawie ABC i wierzchołku S.
Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa wynosi 33, a cosinus kąta nachylenia
2 3
krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy
.
5
a) Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej ostrosłupa.
b) Przez krawędź podstawy AB ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę przecinającą
krawędź boczną SC ostrosłupa w takim punkcie K, Ŝe SK= 4KC. Oblicz pole
przekroju ostrosłupa tą płaszczyzną.
Zadanie 16. Długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie prostokątnym
wynoszą odpowiednio 2 oraz 5. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej
z obrotu tego trójkąta dookoła:
a) prostej zawierającej najkrótszy bok trójkąta,
b) prostej zawierającej najdłuŜszy bok trójkąta.
Zadanie 17. Dany jest prostopadłościan, którego wysokość ma długość 18 2 . Długość
promienia okręgu opisanego na podstawie jest równa 6 3 , a kąt między przekątnymi
podstawy ma miarę 600.
2
a) Oblicz objętość prostopadłościanu. Wyznacz cosinus kąta, jaki tworzą przekątna
podstawy i przekątna większej ściany bocznej wychodzące z tego samego wierzchołka
prostopadłościanu.
b) Przez wierzchołek prostopadłościanu poprowadzono płaszczyznę zawierającą
przekątną podstawy i przekątną większej ściany bocznej. Oblicz pole otrzymanego
przekroju.
Zadanie 18. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ściany bocznej ma
długość d i tworzy z przekątną podstawy kąt o mierze α. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Dla jakich wartości kąta α zadanie posiada rozwiązanie?
Zdanie 19. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość 4, a
pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez jego wierzchołek i przekątną
podstawy wynosi 6 14 . Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa oraz wyznacz
odległość środka wysokości ostrosłupa od jego ściany bocznej.
Zdanie 20. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego
trójkątnego wiedząc, Ŝe promień okręgu opisanego na podstawie ma długość R = 3 , a
ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α = 600.
Zdanie 21. Przekątne dwóch ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego
wierzchołka są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami α i β takimi, Ŝe tgα = 4 oraz
tgβ = 2. Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa 56.
a) Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu.
b) Wyznacz cosinus kąta ϕ miedzy przekątnymi ścian bocznych prostopadłościanu
wychodzącymi z jednego wierzchołka oraz wykaŜ, Ŝe cos ϕ = sinα . sinβ.
Zadanie 22. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym promień okręgu opisanego na
podstawie ma długość 4, a kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę
600.
a) Oblicz objętość ostrosłupa oraz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną wyznaczoną
przez przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa.
b) Z wierzchołka ostrosłupa poprowadzono wysokości dwóch sąsiednich ścian bocznych.
Wyznacz cosinus kąta między tymi wysokościami.
Zadanie 23. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym, w którym krawędź podstawy
wynosi 10 cm pole podstawy jest dwa razy większe od pola ściany bocznej.
a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
b) Wyznacz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi.
Zadanie 24. W prawidłowym ostrosłupie trójkątnym krawędzie boczne mają długość 17 .
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest 4 3 razy większe od pola jego podstawy. Oblicz
objętość ostrosłupa oraz odległość sroka wysokości ostrosłupa od jego krawędzi bocznej.
Zadanie 25. Dany jest czworościan foremny, w którym długość krawędzi jest o 1 cm większa
od długości jego wysokości. Oblicz objętość tego czworościanu oraz wyznacz tangens kąta
nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
Zadanie 26. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym suma długości wszystkich jego
krawędzi jest równa 40 cm, a pole powierzchni całkowitej jest równe 64 cm2.
a) Oblicz długości krawędzi i objętość tego graniastosłupa.
b) Wyznacz tangens kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.
Zadanie 27. Objętość prawidłowego graniastosłupa trójkątnego jest równa 432 3 . Długość
promienia okręgu wpisanego w podstawę graniastosłupa wynosi 2 3 .
a) Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa oraz wyznacz cosinus kąta między
przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z tego samego wierzchołka
graniastosłupa.
3
b) Oblicz pole przekroju graniastosłupa płaszczyzną poprowadzoną przez przekątną
ściany bocznej i środek jego krawędzi bocznej nie zawierającej się w tej ścianie.
Zadanie 28. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze 600. Odległość środka podstawy ostrosłupa od
krawędzi bocznej wynosi 6 dm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego
ostrosłupa.
Zadanie 29. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym suma długości jego krawędzi
jest równa 48, a pole powierzchni całkowitej 90. Oblicz długości krawędzi graniastosłupa i
jego objętość.
Zadanie 30. Przekrój płaski stoŜka wyznaczony przez wierzchołek i cięciwę podstawy jest
trójkątem równobocznym, którego pole jest równe 16 3 . Płaszczyzna przekroju tworzy z
płaszczyzną podstawy kąt α =
π
4
. Oblicz objętość tego stoŜka i cosinus kąta rozwarcia.
Zadanie 31. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a,
7
. Ostrosłup
zaś sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy równa się
4
przecięto płaszczyzną zawierającą krawędź boczną tego ostrosłupa i przechodzącą przez
środek rozłącznej z nią krawędzi podstawy.
a) Wyznacz długości boków otrzymanego przekroju w zaleŜności od a.
b) Dla a = 6 oblicz pole otrzymanego przekroju.
Zadanie 32. W trójkącie prostokątnym ABC suma długości przyprostokątnej AC i
przeciwprostokątnej AB wynosi 7, a sinus kąta przy wierzchołku A jest równy 7 . Oblicz
objętość i pole powierzchni całkowitej bryły otrzymanej w wyniku obrotu tego trójkąta wokół
najdłuŜszego boku.
Zadani 33. W stoŜek o kącie rozwarcia 2α wpisano walec, którego wysokość jest równa
średnicy podstawy stoŜka. Oblicz stosunek objętości walca do objętości stoŜka przyjmując
1
tgα = .
4
Zadanie 34. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym promień okręgu opisanego na
podstawie ma długość 4, a ściany boczne ostrosłupa nachylone są do płaszczyzny podstawy
pod kątem 600.
a) Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej ostrosłupa oraz oblicz odległość środka
wysokości ostrosłupa od jego ściany bocznej.
b) Wyznacz cosinus kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa.
4