I ILOCZYN SKALARNY II ILOCZYN WEKTOROWY

ĆWICZENIA 11 – TEORIA ( iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany )
Uwaga: Wszystkie informacje zawarte w tych materiałach dotyczyć będą wektorów w przestrzeni R3 .
a
Definicja 1
1
0 
0 




Wektory i = 0 , j = 1 oraz k = 0 będziemy nazywać
0
0
1
k
j
i
wersorami odpowiednio osi OX , OY i OZ .
I ILOCZYN SKALARNY
Definicja 2
Iloczyn skalarny wektorów a=[a1, a2, a3]T i b=[b1, b2, b3] T określony jest wzorem:
a o b = a1b1 + a 2 b2 + a3b3
Twierdzenie
Jeśli α jest kątem między niezerowymi wektorami a i b, to
a o b = |a| |b|cosα.
Twierdzenie
Niezerowe wektory a i b są prostopadłe (ortogonalne), wtedy i tylko wtedy gdy
a⊥b ⇔
a o b = 0.
II ILOCZYN WEKTOROWY
MnoŜenie wektorowe jest to operacja, której wynikiem jest nowy wektor. Iloczyn wektorowy pary
wektorów a i b oznaczamy a × b = v.
Definicja 3 Niech a=[a1, a2, a3]T i b=[b1, b2, b3] T będą niewspółliniowymi wektorami w przestrzeni R3.
Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary wektorów a i b nazywamy wektor v = a × b, który spełnia
warunki:
1) v jest wektorem prostopadłym do a i do b (innymi słowy v jest prostopadły do płaszczyzny
rozpiętej na wektorach a i b)
2) jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b, tzn. |v| =|a|·|b|·sinα,
gdzie α jest katem miedzy wektorami a i b
3) orientacja trójki wektorów a , b, v jest zgodna z orientacja układu współrzędnych OXYZ.
1
ĆWICZENIA 11 – TEORIA ( iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany )
Twierdzenie Składowe wektora v = a × b obliczamy ze wzoru:
i
j
a × b = a1
b1
a2
b2
k
a3 .
b3
Twierdzenie Własności iloczynu wektorowego:
v=a × b
1) a × b= - b × a
2) (ka )× b= k (a × b)
b
3) a ×( b + c )= a × b + a × c
4) a × a= 0
Twierdzenie Iloczyn wektorowy jest wektorem zerowym
a × b= 0 wówczas, gdy jeden z wektorów wyjściowych jest
a
-v= b × a
zerowy lub gdy wyjściowe wektory są równoległe.
Z powyŜszego twierdzenia otrzymujemy warunek równoległości wektorów:
a || b
⇔
a × b= 0
Przykład Oblicz iloczyn wektorowy a × b, gdy: a = [1,2, 3] T, b = [3,2, -1] T.
Rozwiązanie:
i
j
v =a×b = 1 2
k
i
j
3 =1 2
3 2 −1
k i
j
3 1 2 = i ⋅ 2 ⋅ (− 1) + j ⋅ 3 ⋅ 3 + k ⋅ 1 ⋅ 2 − (k ⋅ 2 ⋅ 3 + i ⋅ 3 ⋅ 2 + j ⋅ 1 ⋅ (− 1)) =
3 2 −1 3 2
= −8i + 10 j − 4k
 − 8
Stąd wektor v będący iloczynem wektorowym v = a × b jest postaci v = − 8i + 10 j − 4k =  10  .
− 4
Przykład Oblicz pole powierzchni równoległoboku rozpiętego na wektorach a = [1,2, 3] T, b = [3,2, -1] T.
Rozwiązanie:
Z definicji iloczynu wektorowego wiemy, Ŝe długość wektora v = a × b jest równa polu powierzchni
równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b. Stąd w pierwszej kolejności naleŜy wyliczyć wektor v (co
zrobiliśmy w poprzednim przykładzie).
 − 8
v = a × b =  10 
− 4
2
ĆWICZENIA 11 – TEORIA ( iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany )
Następnie obliczamy długość tego wektora (patrz ćwiczenia 2): v =
(− 8)2 + 10 2 + (− 4)2
= 180 = 6 5 .
A zatem pole powierzchni równoległoboku rozpiętego na wektorach a , b wynosi 6 5 j 2 .
Przykład Sprawdź czy wektory a = [1,2, 3] T, b = [2,4, 6] T są równoległe.
Rozwiązanie:
Jak wiadomo a || b ⇔ a × b= 0 stąd sprawdzenie, czy wektory są równoległe zaczynamy od wyliczenia
ich iloczynu wektorowego:
i
j k
i
j k i
j
v = a × b = 1 2 3 = 1 2 3 1 2 = i ⋅ 2 ⋅ 6 + j ⋅ 3 ⋅ 2 + k ⋅ 1 ⋅ 4 − (k ⋅ 2 ⋅ 2 + i ⋅ 3 ⋅ 4 + j ⋅ 1 ⋅ 6 ) =
2 4 6
2 4 62 4
= 0 ⋅ i + 0 ⋅ j + 0 ⋅ k = [0,0,0] .
T
Iloczyn a × b wektorów jest wektorem zerowym, stąd wektory te są równoległe.
Ciekawostka: Reguła prawej dłoni do wyznaczania kierunku iloczynu wektorowego
a) v = a × b
b) - v = b × a
v
b
a
b
-v
a
a) Jeśli ustawisz palce wzdłuŜ łuku mniejszego kąta miedzy wektorami a i b, to kciuk wskazuje kierunek
wektora v = a × b. b) Jak widać, kierunek wektora b × a jest przeciwny do kierunku wektora a × b.
III ILOCZYN MIESZANY
Definicja 3 Niech a=[a1, a2, a3]T , b=[b1, b2, b3] T i c=[c1, c2, c3] T . Iloczynem mieszanym trójki wektorów
a, b i c nazywamy wartość (a × b) o c.
3
ĆWICZENIA 11 – TEORIA ( iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany )
Twierdzenie
a1
a2
a3
(a × b) o c = a o ( b × c)= b1
c1
b2
c2
b3 .
c3
c
b
Twierdzenie Iloczyn mieszany wektorów a, b i c jest równy (z
a
dokładnością do znaku) objętości równoległościanu rozpiętego na tych
wektorach, tzn
V = |(a × b) o c |.
Twierdzenie Objętość czworościanu zbudowanego na wektorach a, b i
c wyraŜa się wzorem
Vcz =
1
|(a × b) o c |.
6
c
b
a
Uwaga: JeŜeli (a × b) o c = 0 to wektory leŜą w jednej płaszczyźnie (o
takich wektorach mówimy teŜ, Ŝe są liniowo zaleŜne).
Przykład Oblicz iloczyn mieszany (a × b) o c, gdy: a = [1,2, 3] T, b = [3,2, -1] T i c = [3,0, 0] T.
Rozwiązanie:
1 2
3
1 2
3 1 2
3 0
0
3 0
0 3 0
(a × b ) o c = 3
2 − 1 = 3 2 − 1 3 2 = 1 ⋅ 2 ⋅ 0 + 2 ⋅ (− 1) ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 ⋅ 0 − (3 ⋅ 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ (− 1) ⋅ 0 + 2 ⋅ 3 ⋅ 0 ) =
= −24
Przykład Sprawdź współpłaszczyznowość wektorów a = [1,2, 3] T, b = [3,1, -1] T i c = [1,1, 1] T.
Wektory a, b i c leŜa na jednej płaszczyźnie (są współpłaszczyznowe) wówczas gdy (a × b) o c = 0.
1 2
3
1 2
3 1 2
1 1
1
1 1
1 1 1
Stąd (a × b ) o c = 3 1 − 1 = 3 1 − 1 3 1 = 1 ⋅ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ (− 1) ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 ⋅ 1 − (3 ⋅ 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ (− 1) ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 ⋅ 1) = 0 ,
a zatem wektory są współpłaszczyznowe.
Przykład Oblicz objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach a = [1,2, 3] T, b = [3,2, -1] T i c =
[3,0, 0] T.
Rozwiązanie:
V = |(a × b) o c |=|-24|=24 j3.
4