files/I N niestacjonarne/websitelearning-1-05
Transkrypt
files/I N niestacjonarne/websitelearning-1-05
Rok I Temat 5 RACHUNEK WEKTOROWY 1. Iloczyn skalarny 2. Iloczyn wektorowy 3. Iloczyn mieszany Iloczyn skalarny → [ → ] a = a x ,a y ,a z , Dane są wektory: [ ] → [ ] b = bx ,b y ,bz , c = c x ,c y ,c z . → → Długość wektora a dana jest wzorem a = a x2 + a 2y + a z2 . → → → → → → ( ( )) Iloczyn skalarny wektorów a i b : a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos k a, b . → → Postać kartezjańska iloczynu skalarnego: a ⋅ b = a x bx + a y b y + a z bz . Warunek prostopadłości (ortogonalności) wektorów → → → → a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ⇔ a x bx + a y b y + a z bz = 0 Iloczyn wektorowy → → Iloczynem wektorowym wektorów a i b → → → → → a b nazywamy wektor c = a × b spełniający warunki: → → → → 1. c ⊥ a , c ⊥ b → → → → → → → 2. c = a × b = a ⋅ b sin k a , b → → → → 3. Zwrot wektora c jest taki, że trójka wektorów a , b , c jest zgodnie zorientowana z trójką → → → wersorów i , j , k . → → → → → Jeżeli a b to a × b = 0 = [0, 0, 0] . Własności iloczynu wektorowego → → → → 1. a × b = − b × a → → → → → → → 2. a × b + c = a × b + a × c → → → → 3. λ a × µ b = λµ a × b , λ, µ ∈ R Współrzędne iloczynu wektorowego obliczamy ze wzoru → → → i → → → c = a × b = ax bx j ay by k → → → a z = i a y bz − a z b y + j ( a z bx − a x bz ) + k a x b y − a y bx bz ( ) Warunek równoległości wektorów: ( ) ax a y a z = = bx b y bz Iloczyn mieszany wektorów → → → Iloczynem mieszanym wektorów a , b , c nazywamy wyrażenie (skalar) → → → → → → a, b, c = a × b c ax → → → Iloczyn mieszany obliczamy ze wzoru: a , b , c = bx cx ay by cy az bz . cz → → → Objętość V równoległościanu rozpiętego (zbudowanego) na wektorach a , b , c (rysunek) ( ) V = a xb c. Rys. → → → Wektory a , b , c są komplanarne (równoległe do jednej płaszczyzny) wtedy i tylko wtedy, gdy → → → → → → a, b, c = a × b c = 0 . Przykłady → → Postać kartezjańska iloczynu skalarnego: a ⋅ b = a x bx + a y b y + a z bz . 1. Dane są punkty A(1,2,0), B(−3,0,5), C (0,4,1) . Znaleźć kąt między wektorami AB i AC . Rozwiązanie Znajdujemy współrzędne wektorów AB i BC . AB = [− 4,−2,5] , AC = [− 1,2,1] . ( ( Obliczamy cosinus kąta między wektorami AB i AC . ϕ = K AB, AC cosϕ = − 4 ⋅ (−1) + (−2) ⋅ 2 + 5 ⋅1 2 2 2 2 2 2 4 + 2 + 5 ⋅ 1 + 2 +1 = )) cosϕ = AB ⋅ AC AB ⋅ AC 5 1 1 = , ϕ = arccos . 3 45 ⋅ 5 3 2. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A(2,3,−1) , B(4,−2,3) , C (−1,4,2) . Rozwiązanie Z określenia iloczynu wektorowego wynika, że pole trójkąta ABC jest równe połowie długości iloczynu wektorowego wektorów AB i AC (rys.) [WI 7] Rys. Wyznaczamy współrzędne wektorów AB i AC . AB = [4 − 2,−2 − 3,3 − (−1)] = [2,−5,4] , AC = [− 1 − 2,4 − 3,2 − (−1)] = [−3,1,3] . 3. Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach A(3,4,5) , B(2,1,−3) , C (4,−2,1) , D (1,2,6) . Rozwiązanie Objętość V równoległościanu zbudowanego na wektorach a, b, c o wspólnym początku równa się wartości bezwzględnej iloczynu mieszanego tych wektorów. ( ) V = axb c Objętość V1 czworościanu zbudowanego na wektorach a, b, c jest równa 1 objętości 6 1 a x b c . Niech a = AB , b = AC , c = AD . 6 Wyznaczamy współrzędne wektorów a, b, c . równoległościanu czyli V1 = ( ) a = [− 1, − 3, − 8] , b = [1, − 6, − 4] , c = [− 2, − 2, 1] . Iloczyn mieszany wektorów a, b, c obliczamy ze wzoru: −1 − 3 − 8 1 1 1 35 3 V1 = a x b c = | 1 − 6 − 4 |= ⋅105 = [j ]. 6 6 6 2 −2 −2 1 ( ) Zadania 1. Znaleźć wektor x prostopadły do wektorów a = [1, − 2, 3] i b = [2, 3, − 1] taki, że a ⋅ d = −6 , gdzie d = [2, − 1,1]. 2. Dane są punkty P1 (1, 2, 4 ) , P2 (5,1, 2 ) i P3 (3, 4,1). Znaleźć wersor wektora a = P1 P2 x P1 P3 . 3. Wykazać, że wektory a = [3, 4, − 2], b = [6, − 4, − 1], c = [− 14, − 1, 5] nie są komplanarne. Odpowiedzi 8 10 7 1. x = [− 3, 3, 3] ; 2. , , . 213 213 213 Lp. 1 2 3 Literatura Zbiór zadań z matematyki pod red. R. Krupińskiego. Skrypt dla studentów AM w Szczecinie Winnicki K., Landowski M.; Wykłady z matematyki. Skrypt dla studentów AM w Szczecinie Lassak. M. Matematyka dla studiów technicznych. Supremum, 2006. Rozdział II § 3 XIII