MATEMATYKA – I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne

MATEMATYKA – I SEMESTR ALK (PwZ)
1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
1.1. OKREŚLENIE
Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste
– pierwszym n (ciąg skończony) , albo
– wszystkim (ciąg nieskończony)
liczbom naturalnym.
Będziemy oznaczać : an (bn , cn itd.) - n-ty wyraz ciągu (wyraz o numerze n),
∞
(an )10
n=1 , (bn )n=1 (lub krócej (an ), (bn ) ...) – cały ciąg.
(Niektóre) sposoby określania ciągów liczbowych
• Przez wypisanie wszystkich wyrazów (tylko dla ciągu skończonego), np.
√
1
2, 5, 5 , −3, −3, 21, 2π, − 5, 6
2
√
(czyli: a1 = 2 , a2 = 5 , . . . , a8 = − 5 ).
• Przez podanie wzoru na wyraz ogólny, np. an = n2 − 6
więc w tym przypadku a1 = −5 , a2 = −2 , a3 = 3 , . . . a10 = 94 . . .
Suma wyrazów ciągu liczbowego:
Dla dwóch liczb całkowitych z, Z takich że z ¬ Z ,
Z
X
n=z
an = az + az+1 + . . . + aZ .
(suma Z − z + 1 składników)
W szczególności:
m
X
n=1
(suma m składników).
an = a1 + a2 + . . . + am .
Proste przykłady:
8
X
n = 1 + 2 + 3 + . . . + 8 = 36 ;
n=1
10
X
k = 7 + 8 + 9 + 10 = 34 ;
k=7
8
X
(i − 3) = (4 − 3) + (5 − 3) + (6 − 3) + (7 − 3) + (8 − 3) = 15 ;
i=4
5
X
j 2 = (−5)2 + (−4)2 + . . . + 42 + 52 = 110 ;
j=−5
5
X
2n = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 .
n=0
1.2. NAJWAŻNIEJSZE WŁASNOŚCI
Z
X
(a)
n=z
(an + bn ) =
z
X
(b)
n=z
Z
X
(c)
n=z
Z
X
n=z
an = az np.
(c · an ) = c ·
an +
Z
X
n=1
Z
X
(e)
8
X
an np.
n=z
(2n − 1) +
bn
1
1
=
5
n=5 n
w
X
(7 · n ) = 7 ·
19
X
n=8
19
X
Z
X
n=z
an
(2n − 1) )
n=1
c = (Z − z + 1) · c np
n=z
an =
n=w+1
(2n − 1) =
n2
n=1
Z
X
an +
8
X
2
n=0
n=z
7
X
n=z
5
X
(d) dla z ¬ w ¬ Z
(np.
Z
X
9
X
5 = 5 + 5 + . . . + 5 = 7 · 5 = 35 .
n=3
1.3. OBLICZANIE
9
X
3 = 27 i podobnie
j=1
3
X
14
X
3 = 27;
j=6
(2n + 1) = 2 · (−2) + 1 + 2 · (−1) + 1 + 2 · 0 + 1 + . . . 2 · 3 + 1
n=−2
3
X
a prościej: =
2n +
n=−2
6
X
3
X
1=2
n=−2
k 2 = 32 + 42 + 52 + 62 = 86
3
X
n + 6 = 12 ;
n=−2
10
X
i = 0 (dlaczego?)
i=−10
k=3
4
X
(2 · 3j ) = 2
j=0
4
X
3j = 242
j=0
1.4. ZAPISYWANIE
Zapisać z użyciem znaku sumy:
3 + 4 + 5 + . . . + 15 ;
15
X
x + x2 + x3 + x4 ;
4
X
k
x2 + x4 + . . . + x50
25
X
xn
n=1
k=3
x2k
k=1
oraz
5x2 + 6x4 + 7x6 + . . . + 29x50
5 + 6 + . . . + 29 ;
29
X
n (lub
n=5
25
X
25
X
(n + 4))
n=1
(n + 4)x2n
n=1
1.5. INTERPRETACJA
Przykład: Sieć ma w mieście M = 4 bary (A, B, C, D) ,
w każdym jest sprzedawane N = 5 gatunków piwa (H, K, L, T, Ż).
Oznaczamy przez xij liczbę litrów piwa typu j sprzedanych dziś w barze nr i. Wówczas:
liczba litrów piwa sprzedanych dziś w barze nr 3 to
5
X
x3j
j=1
a liczba litrów Żywca nalanych dziś w całym mieście to
4
X
xi5 .
i=1
Jeżeli bar nr i kupuje piwo typu j po cenie pij , a sprzedaje po zij za litr, to jego dzisiejszy
utarg na piwie wynosi
5
X
(zij · xij ) ,
j=1
a zysk
5
X
((zij − pij ) · xij ) .
A ile litrów piwa nalano dziś łącznie we wszystkich barach tej sieci?
Sumując kolejno po wszystkich barach i łączną sprzedaż w barze (si ) dostaniemy
4
X
si =
i=1
4
X

5
X

i=1

xij  .
j=1
Sumując kolejno po wszystkich typach piwa j łączną sprzedaż tego piwa w mieście (rj )
dostaniemy


5
X
rj =
j=1
5
X
4
X

j=1
xij  .
i=1
Tę wielkość zapisujemy jako sumę podwójną:
4 X
5
X
xij =
i=1 j=1
5 X
4
X
xij .
j=1 i=1
1.6. SUMA PODWÓJNA
Definicja jak wyżej:
Y X
Z
X
=
xij
i=y j=z


Y
Z
X
X

xij 
i=y j=z
=
=
Z X
Y
X
xij =
j=z i=y

Z
Y
X
X

j=z

xij  .
i=y
Podstawowe właściwości:
Y X
Z
X
i=y j=z
Y X
Z
X
Y X
Z
X
(aij + bij ) =
aij +
i=y j=z
(ai · bj ) =
i=y j=z
Y
X
ai ·
i=y
Z
X
Y X
Z
X
bij ;
i=y j=z
bj .
j=z
Przykład:
4 X
3
X
m+1
=
n
m=0 n=1
+... +
1 1 1
+ +
+
1 2 3
!
5 5 5
+ +
=
1 2 3
!
2 2 2
+ +
+
1 2 3
11 22
55 165
+
+ ...
=
6
6
6
6
!
ale prościej:
3
4 X
X
4 X
3
X
m+1
1
=
(m + 1) ·
=
n
n
m=0 n=1
m=0 n=1

 

!
4
3 1
X
X
1
1
1
11 165 55
 = 15 ·
=  (m + 1) · 
+ +
= 15 ·
=
=
.
n
1 2 3
6
6
2
!
1.7. ŚREDNIA
Średnia z liczb a1 , a2 , . . . an to
Pn
i=1 ai
n
.
P21
i=1 i
= 11 .
21
Zazwyczaj średnią z liczb x1 , x2 , . . . xn oznacza się przez x.
Na przykład średnia z liczb 1, 2, ... , 21 to
Właściwości:
1. min(x1 , x2 , . . . xn ) ¬ x ¬ max(x1 , x2 , . . . xn )
i jeżeli liczby x1 , x2 , . . . xn nie są wszystkie jednakowe, to obie nierówności są ostre;
2.
Pn
i=1 (xi
− x) = 0
(suma odchyleń wszystkich liczb od ich średniej = średnia odchyleń od średniej = 0).
1.8. ILOCZYN
Z
Y
n=z
an = az · az+1 · . . . · aZ .
Na przykład:
5
Y
j = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 = 5!
;
j=1
9
Y
j=0
;
j=−1
4
Y
i=0
P4
2i = 2
i=0
i
= 210 = 1024
;
n
Y
k=1
n
Y
k = n! ;
a = an ;
j=1
2
Y
n=−2
5n = 1 .
2. Algebra liniowa
2.1. WEKTORY – DZIAŁANIA, LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ
Wektor n-wymiarowy x – układ n liczb rzeczywistych:
x = (x1 , x2 , . . . , xn ) .
Często wektory utożsamia się z punktami przestrzeni n-wymiarowej Rn (a w fizyce – ze
”strzałkami” prowadzącymi od początku układu do danego punktu).

Będziemy je zapisywać jako wektory kolumnowe: x =







x1
x2
...
xn








lub jako wektory wierszowe: x = [x1 x2 . . . xn ] .
Działania na wektorach
Dodawanie (tylko wektorów tego samego wymiaru) :
Dla x = [x1 x2 . . . xn ] , y = [y1 y2 . . . yn ] ∈ Rn
x + y = [x1 + y1 x2 + y2 . . . xn + yn ]
np. [2 3 5] + [3 0 –1] = [5 3 4].
Mnożenie wektora przez liczbę
Dla x = [x1 x2 . . . xn ] ∈ Rn i liczby c ∈ R
c x = [cx1 cx2 . . . cxn ]
np. 3 · [2 3 5] = [6 9 15].
Iloczyn skalarny (tylko wektorów tego samego wymiaru)
Dla x = [x1 x2 . . . xn ] , y = [y1 y2 . . . yn ] ∈ Rn
x · y = x1 · y1 + x2 · y2 . . . + xn · yn =
n
X
j=1
np. [2 3 5] · [3 0 –1] = 6 + 0 + (–5) = 1.
Uwaga (geometryczna)
1. x · y = 0 ⇔ wektory x i y są prostopadłe
xj yj (liczba) ,
2. x · x = kwadrat długości wektora x.
Wektor d ∈ Rn jest kombinacją liniową wektorów a1 , a2 , . . . , ak ∈ Rn jeżeli istnieją liczby
z1 , z2 , . . . , zk (współczynniki kombinacji) takie że
d = z1 a1 + z2 a2 + . . . + zk ak .
Jeśli z1 , z2 , . . . , zk ­ 0 i
k
X
zj = 1, to taka kombinacja jest kombinacją wypukłą.
j=1


Np. wektor d = 
3
1
8






jest kombinacją liniową wektorów a1 = 


(bo d = 3a1 − a2 ), a wektor e =

wektor

a wektor


12
12







i a2 = 

0
2
1










nie jest;

2
5





0
3
3
1
1
3
jest kombinacją wypukłą wektorów

6
3



i

0
6


,


jest ich kombinacją liniową, ale nie wypukłą.
Wektory a1 , a2 , . . . , ak ∈ Rn są liniowo niezależne, jeżeli żaden z nich nie jest kombinacją
liniową pozostałych.


Np. wektory a1 = 


a1 , a2 i a4 = 
1
−3
1
1
1
3






, a2 = 

0
2
1






i a3 = 

0
3
3





są liniowo niezależne, a wektory





nie są (bo a4 = a1 − 2a2 ), czyli są liniowo zależne.
Uwaga. Układ liniowo niezależnych wektorów w Rn może składać się z co najwyżej n wektorów.
Najprostszy układ wektorów liniowo niezależnych w Rn :
[1 0 . . . 0] , [0 1 0 . . . 0] , . . . , [0 0 . . . 0 1]
(baza kanoniczna – układ wszystkich wersorów).
2.2. MACIERZE – OKREŚLENIE
Macierz wymiaru m × n =
Prostokątna tablica liczb o m wierszach i n kolumnach .

A=







a11 a12
a21 a22
...
am1 am2
...
...
...
...
a1n
a2n
...
amn








Macierz wymiaru 1 × n – wektor wierszowy długości n
Macierz wymiaru m × 1 – wektor kolumnowy długości m .
2.3. DZIAŁANIA NA MACIERZACH
Transpozycja

AT =







a11 a21
a12 a22
...
a1n a2n
...
...
...
...
am1
am2
...
ann








(” A transponowana”, wymiaru n × m).


Np. gdy A = 
3 0 −1
−2 1 4



, to AT = 
3 −2
0 1
−1 4





.
(AT )T = A .
Mnożenie przez liczbę
Gdy c ∈ R , A macierz wymiaru m × n
to c · A – taka macierz C wymiaru m × n że dla każdego i, j cij = c · aij .

Np. gdy A = 
3 −3 0
2 −1 4



, to 4 · A = 
12 −12 0
8 −4 16


.
Dodawanie macierzy – TYLKO TEGO SAMEGO WYMIARU !
Gdy A , B – macierze wymiaru m × n
to A + B – taka macierz C wymiaru m × n że dla każdego i, j cij = aij + bij .

Np. gdy A jak wyżej, B = 

A+B=

4 −1 3
4 −1 −1
1 2 3
2 0 −5


, to


A + 2·B=
,

5 1 6
6 −1 −6


.
Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne.
Mnożenie macierzy przez wektor kolumnowy
Gdy A macierz wymiaru m × n , x wektor kolumnowy długości n,
to y = A · x – wektor kolumnowy długości m otrzymany tak:
yk =
n
X
(akj xj ) dla k = 1, 2, . . . m
j=1
(iloczyn skalarny k-tego wiersza macierzy A i wektora x).


Np.

3 1 0
0 4 2


·




−2
0
1






=
3 · (−2) + 1 · 0 + 0 · 1
0 · (−2) + 4 · 0 + 2 · 1



=
−6
2


.
Przykład. W przykładzie z piwem z poprzednich zajęć: gdy
X – macierz (4 × 5) liczb litrów piwa poszczególnych rodzajów nalanych w poszczególnych
barach ,
q – wektor kolumnowy długości 5, gdzie xj – cena sprzedaży litra piwa typu j
to z = X · q jest wektorem długości 4 ; zk = utarg baru nr k na piwie
Mnożenie macierzy
Gdy A macierz wymiaru m × n , B macierz wymiaru n × p
(TYLKO TAKIE MOŻNA MNOŻYĆ !)
to C = A · B – macierz wymiaru m × p otrzymana tak:
ckl =
n
X
(akj bjl ) dla k = 1, 2, . . . m , l = 1, 2, . . . p .
”ckl = k-ty wiersz A · l-ta kolumna B”. Czyli: kolumny macierzy C powstają z pomnożenia
A przez odpowiednie kolumny macierzy B.
Na przykład:



3 1 0
0 4 2


·




1 −2
4 0
3 1






=


=

3·1+1·4+0·3
0·1+4·4+2·3
7 −6
22 2
3 · (−2) + 1 · 0 + 0 · 1
0 · (−2) + 4 · 0 + 2 · 1




.
Innymi słowy :
A · B istnieje
⇔ A ma tyle samo kolumn ile B ma wierszy
⇔ wiersze A są tej samej długości co kolumny B.
Macierz kwadratowa A (n × n) jest :

symetryczna ⇔ A = AT ⇔ ∧i,j aij = aji
np.





trójkątna górna ⇔ (i > j ⇒ aij = 0)
np.





trójkątna dolna ⇔ (i < j ⇒ aij = 0)
np.





diagonalna ⇔ (i 6= j ⇒ aij = 0)
np.







jednostkowa ⇔ aij = 
1
0
gdy i = j ,
gdy i =
6 j
Macierz jednostkową wymiaru n × n oznaczamy przez In .




1 2 3
2 5 4
3 4 0

1 2 3
0 5 4
0 0 6

1 0 0
2 5 0
3 4 6

1 0 0
0 5 0
0 0 4

1 0 0
0 1 0
0 0 1





















;
;
;
;
.
Własności mnożenia macierzy:
– jest łączne (tj. A · (B · C) = (A · B) · C ) ,
– nie jest przemienne – może zachodzić A · B 6= B · A
nawet gdy oba iloczyny istnieją ,
– iloczyn A · AT zawsze istnieje i jest macierzą symetryczną,
– (A · B)T = BT · AT ,
– dla dowolnej macierzy A wymiaru m · n A · In = Im · A = A .
2.4. DOPEŁNIENIA ALGEBRAICZNE I WYZNACZNIK
tylko macierzy kwadratowych !
Gdy A jest macierzą (n × n), oznaczamy:
A−ij – macierz wymiaru n − 1 × n − 1 utworzona z A przez usunięcie i-tego wiersza i j-tej
kolumny;
a11 a12
a a
det A = 21 22
...
an1 an2
...
...
...
...
a1n
a2n
...
ann
wyznacznik macierzy A ;
aD
ij – dopełnienie algebraiczne elementu aij
i określamy je tak:
dla n = 1 : aD
11 nie istnieje , det [a11 ] = a11 ;
dla n > 1
i+j
aD
· det A−ij ,
ij = (−1)
det A =
n
X
k=1
(a1k · aD
1k ) .

Przykład dla n = 2 : B = 
bD
11
bD
12
bD
21
bD
22
2 4
1 −3


(−1)1+1 · det B−11
(−1)1+2 · det B−12
(−1)2+1 · det B−21
(−1)2+2 · det B−22
=
=
=
=
= 1 · det[−3] = −3 ,
= −1 · det[1] = −1 ,
= −1 · det[4] = −4 ,
= 1 · det[2] = 2 .

Więc macierz dopełnień algebraicznych macierzy B : BD = 
−3 −1
−4 2


D
i wyznacznik: det B = b11 · bD
11 + b12 · b12 = 2 · (−3) + 4 · (−1) = −10 .

a a
Prosty wzór na wyznacznik macierzy 2 × 2 : det  11 12
a21 a22


Przykład dla n = 3 : E = 
2 −1 0
0 2 −1
−1 −1 1




2 −1
= 1 · det 
−1 1
0 −1
= −1 · det 
−1 1


= 2 · 1 − (−1) · (−1) = 1 ,



1+3
eD
· det E−13
13 = (−1)
= a11 a22 − a12 a21 .
. Mamy:

1+2
eD
· det E−12
12 = (−1)



1+1
eD
· det E−11
11 = (−1)

0 2
= 1 · det 
−1 −1
= −(0 · 1 − (−1) · (−1)) = 1 ,


= 0 · (−1) − 2 · (−1) = 2
. . . (uzupelnić !) i wyznacznik:
det E =
3
X
(e1k · eD
1k ) = 2 · 1 + (−1) · 1 + 0 · 2 = 1 .
k=1
Prosta metoda liczenia wyznacznika macierzy 3 × 3 –
schemat Sarrusa .
Właściwości wyznacznika:
– jeżeli A ma kolumnę (lub wiersz) samych zer, to det A = 0 ,
– jeżeli A ma dwie kolumny (lub dwa wiersze) równe lub proporcjonalne, to det A = 0 ,
– jeżeli A trójkątna lub diagonalna, to co? (praca domowa)
– dodanie do kolumny (wiersza) innej kolumny (wiersza) pomnożonej(-go) przez stałą nie
zmienia wyznacznika macierzy,
– zamiana miejscami dwóch wierszy (lub kolumn) zmienia znak wyznacznika,
– det(c · A) = cn · det A
det(A · B) = det A · det B
,
Ponadto:
det A =
n
X
(a1k ·
k=1
aD
1k )
=
n
X
.
(amk · aD
mk )
k=1
dla dowolnego m = 1, 2, . . . n , tzn. sumowanie możemy wykonać dla dowolnego (niekoniecznie pierwszego) wiersza macierzy.
(Także dla dowolnej kolumny: det A =
n
X
(akm · aD
km ))
k=1
– rozwinięcie Laplace’a według dowolnego wiersza lub kolumny.
Jeszcze inne własności:
– det AT = det A ,
– jeżeli A jest wymiaru m × n i m > n, to det(A · AT ) = 0 .
Macierz kwadratowa B jest osobliwa jeżeli det B = 0 ;
w przeciwnym razie B jest nieosobliwa.
Interpretacja geometryczna wyznacznika
| det A| =
(gdy A jest macierzą 2 × 2) = pole równoległoboku
(gdy A jest macierzą 3 × 3) = objętość równoległościanu
którego bokami są wektory w R2 (R3 ) równe kolumnom macierzy A .
Rząd macierzy A (niekoniecznie kwadratowej), rz A to
największa liczba liniowo niezależnych wierszy macierzy A
= największa liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy A
= liczba różnych wersorów które można uzyskać w kolumnach macierzy otrzymanej z A
przez operacje elementarne
(o których dalej).
Uwaga.
1. Gdy macierz A jest wymiaru m × n , to rz A ¬ min(m, n).
2. Gdy macierz A jest wymiaru n × n , to rz A = n wtedy i tylko wtedy, gdy det A 6= 0.
2.5. MACIERZ ODWROTNA
tylko macierzy kwadratowej nieosobliwej !
Gdy A jest macierzą wymiaru n × n i det A 6= 0, określamy:
A−1 = macierz X taka, że A · X = In .
Stwierdzenie: Dla macierzy A wymiaru n × n
1. A−1 istnieje ⇔ A jest nieosobliwa ⇔ rz A = n ;
2. A−1 · A = In ( i wobec tego (A−1 )−1 = A );
3. jeżeli A−1 istnieje, to jest wyznaczona jednoznacznie.
Wzór:
A−1 =

Przykład: Dla macierzy A = 
1 7
−2 −4
1
· (AD )T .
det A



mamy |A| = 10 oraz AD = 
T


więc A−1
1  −4 2
1
· (AD )T =
·
=
−7 1
det A
10

=
−0, 4 −0, 7
0, 2 0, 1
−4 2
−7 1


.
Przykład: Dla macierzy

F=




3 2 3
2 1 2
2 5 4





mamy:


FD = 
−6 −4
8
7 6 −11
1 0 −1





oraz det F = [3 2 3] · [−6 − 4 8] = −2 ,
więc

−1
F
1
1 
D T
· (F ) = − · 
=
det F
2
−6
7 1
−4
6 0
8 −11 −1










Inna metoda wyliczania: przez operacje elementarne (dalej).
=

3 − 72 − 12 
2 −3 0  .
1
−4 11
2
2


,
2.6. UKŁADY (CRAMEROWSKIE) RÓWNAŃ LINIOWYCH
Każdy układ m równań liniowych z n niewiadomymi postaci:















a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
...
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
można zapisać w postaci wektorowej :

x1 ·







a11
a21
...
am1
















+ x2 ·
a12
a22
...
am2
















+ . . . + xn ·
a1n
a2n
...
amn
















=
b1
b2
...
bm








lub w postaci macierzowej :









a11 a12
a21 a22
...
am1 am2
...
...
...
...
a1n
a2n
...
amn








·










x1
x2
...
xn












=







b1
b2
...
bm








(czyli A · x = b, gdzie A jest macierzą wymiaru m × n ,


x
 1 
b


 1 
 x2 




 b2 


n

 wektorem z Rm ) .
x =  . . .  jest wektorem z R , b = 



.
.
.








bm
xn
Szczególny przypadek:
Gdy m = n (niewiadomych jest tyle ile równań) i macierz A jest nieosobliwa, układ równań
o takiej macierzy nazywamy cramerowskim.
Np. układ równań



a układ
5x1 − 3x2 = 7
2x1 + x2 = 6



jest cramerowski,
x1 + 3x2 + x3 = 8
2x1 + 4x2 + x3 = 11
– nie.
ROZWIĄZYWANIE cramerowskich układów równań:
Twierdzenie :
Jeśli układ równań o postaci macierzowej A · x = b jest cramerowski,
to ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest nim wektor x = A−1 · b .
Dowód: Skoro A · x = b , to
A−1 · (A · x) = A−1 b
(A−1 istnieje bo układ jest cramerowski, a więc det A 6= 0),
czyli
In · x = x = A−1 b .
Stąd uniwersalna metoda rozwiązywania takich układów:
Odwrócić macierz układu A i pomnożyć uzyskaną A−1 przez prawą stronę, b.
Inna metoda: Wzory Cramera :
Rozwiązanie x cramerowskiego układu równań A · x = b jest postaci
xj =
det A[j/b]
det A
j = 1, 2, . . . n
gdzie A[j/b] jest macierzą powstającą z A przez zastąpienie j-tej kolumny wektorem b .
Przykład : Układ równań









2x1 −
−x1
x2
= 4
2x2 − x3 = −6
− x2 + x3 = 3
ma postać macierzową





2 −1 0
0 2 −1
−1 −1 1






· 

x1
x2
x3






= 

4
−6
3





i jego macierz (oznaczmy ją E) jest nieosobliwa bo det E = 1. Nadto

E−1 = 

1 1 1
1 2 2
2 3 4





(sprawdzić!) , a więc

x = E−1 · 

4
−6
3






= 

1 1 1
1 2 2
2 3 4






· 

4
−6
3






= 

1
−2
2





;
x1 = 1 , x2 = −2 , x3 = 2 .
Lub z wzorów Cramera:


E[1b] = 
4 −1 0
−6 2 −1
3 −1 1






, E[2b] = 

2 4 0
0 −6 −1
−1 3 1






, E[3b] = 

2 −1 4
0 2 −6
−1 −1 3
i
det E[1b] = 1 , det E[2b] = −2 , det E[3b] = 2
a więc x1 = 1/1 = 1 , x2 = −2/1 = −2 , x3 = 2/1 = 2 .
Jeszcze inna metoda (i jedyna która działa dla układów NIEcramerowskich)
przez operacje elementarne.





Operacje elementarne na macierzy:
– zamiana wierszy : wi /wj
– pomnożenie wiersza przez stałą : c · wi
– dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez stałą : wi + c · wj .
Mają one zastosowanie do:
– wyliczania macierzy odwrotnej macierzy nieosobliwej,
– wyliczania rzędu macierzy,
– rozwiązywania układów równań liniowych.
Wpływ operacji elementarnych na wyznacznik (macierzy kwadratowej):
wi + c · wj nie zmienia wyznacznika ,
wi /wj zmienia znak det ,
c · wi mnoży det przez c .
Rozwiązywanie cramerowskich układów równań przez operacje elementarne:
1. Zapisać układ w postaci macierzowej
2. Obok jego macierzy wpisać prawą stronę układu (wektor wyrazów wolnych)
3. Przeprowadzać na obu naraz te same operacje elementarne aż do otrzymania po lewej
stronie macierzy jednostkowej
4. W tym momencie po prawej stronie otrzymamy wektor będący rozwiązaniem układu
równań.
Przykład : Rozwiązać układ równań










5x1 − 3x2 + 6x3 = 7
−3x1 + 2x2 − 4x3 = −4 .
2x1 − x2 + 3x3 = 6

5 −3
6 |
7


−3
2
−4
|
−4


2 −1
3 |
6

w3 − w1

w1 + w2

2 −1
2 |
3

2 −4 | −4 
 −3

0
0
1 |
3

w2 + 2w1

2 −1
2 |
3


−3
2
−4
|
−4


2 −1
3 |
6
2 −1

0
 1
0
0

2 | 3
0 | 2 

1 | 3

0 −1

0
 1
0
0
w1 − 2w2

−w1


2 | −1
0 |
2 

1 |
3
0 −1

0
 1
0
0
w1 − 2w3


0 1 0 | 7


 1 0 0 | 2 
0 0 1 | 3
w1 /w2

0 | −7
0 |
2 

1 |
3

1 0 0 | 2


 0 1 0 | 7 
0 0 1 | 3
rozwiązanie: x1 = 2 , x2 = 7 , x3 = 3 .
Odwracanie macierzy nieosobliwych przez operacje elementarne:
1. Obok odwracanej macierzy zapisać macierz jednostkową tego samego wymiaru.
2. Przeprowadzać na obu naraz te same operacje elementarne aż do otrzymania po lewej
stronie macierzy jednostkowej
3. W tym momencie po prawej stronie otrzymamy macierz odwrotną do wyjściowej.
Przykład. Odwrócenie macierzy z poprzedniego przykładu:


5 −3
6 | 1 0 0

−3
2
−4
| 0 1 0 


2 −1
3 | 0 0 1

w3 − w1

w1 + w2

2 −1
2 |
1
1 0

2 −4 |
0
1 0 
 −3

0
0
1 | −1 −1 1
w2 + 2w1
...

...
– macierz odwrotna po prawej stronie.

2 −1
2 | 1 1 0

−3
2
−4
| 0 1 0 


2 −1
3 | 0 0 1
w1 /w2

1 0 0 |
2
3 0

1
3 2 
 0 1 0 |

0 0 1 | −1 −1 1
2.7. UKŁADY NIECRAMEROWSKIE
Uwaga. Układ równań A · x = b – czyli















a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
−
...
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wektor








a11
a21
...
am1
















,
a12
a22
...
am2









a
 1n

 a
, . . . ,  2n
 ...

amn







b1
b2
...
bm








jest kombinacją liniową wektorów








.
Tzn. gdy wektor b jest kombinacją liniową kolumn macierzy A. (Dowód oczywisty z postaci
wektorowej układu; rozwiązania x1 , . . . xn = współczynniki tej kombinacji).
Dla takiego układu równań oznaczamy: A|b – macierz m × (n + 1) powstała przez dodanie
do macierzy A kolumny wyrazów wolnych b .
TWIERDZENIE. Układ m równań z n niewiadomymi A · x = b (jak wyżej) :
ma jedno rozwiązanie ⇔ rz A = rz A|b = n
(tak jest w szczególności dla układów cramerowskich);
ma nieskończenie wiele rozwiązań ⇔ rz A = rz A|b < n ;
nie ma rozwiązań (jest sprzeczny) ⇔ rz A < rz A|b .
Praktyczne rozwiązywanie – przez operacje elementarne.
Dla układów mających nieskończenie wiele rozwiązań dzielimy zmienne na
• bazowe – te w których kolumnach występują różne wersory
• swobodne – wszystkie pozostałe
po czym za każdą zmienną swobodną wstawiamy osobny parametr i otrzymujemy rozwiązanie ogólne
Przykład 1. Układ równań



x1 + x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 7
sprowadzamy przez operacje elementarne do postaci z dwoma różnymi wersorami w kolumnach
"
1 1 1 | 5
2 3 1 | 7
#
"
w2 − 2w1
1 1
1 |
5
0 1 −1 | −3
#
"
w1 − w2
1 0
2 |
8
0 1 −1 | −3
#
;
zmienne x1 i x2 (odpowiadające kolumnom z różnymi wersorami) są bazowe,
za zmienną swobodną x3 wstawiamy parametr: x3 = s i przepisujemy układ w postaci
x1 + 2s = 8 , x2 + s = −3 , czyli
x1 = 8 − 2s , x2 = s − 3 , x3 = s ;
– rozwiązanie ogólne – rodzina wszystkich rozwiązań, dla dowolnych wartości parametru s.
Po podstawieniu dowolnej wartości s (np. s = 7) dostaniemy rozwiązanie szczególne (np.
x1 = −6 , x2 = 4 , x3 = 7).
Szczególny przypadek – rozwiązania bazowe
w zmiennych bazowych x2 , x3 (x1 = 0) : s = 4 ; x1 = 0 , x2 = −1 , x3 = 4
w zmiennych bazowych x1 , x3 (x2 = 0) : s = 3 ; x1 = 2 , x2 = 0 , x3 = 3
w zmiennych bazowych x1 , x2 (x3 = 0) : s = 0 ; x1 = 8 , x2 = −3 , x3 = 0 .
Rozwiązania nieujemne – czyli takie, że x1 , x2 , x3 ­ 0 – muszą spełniać
8 − 2s ­ 0 , s − 3 ­ 0 , s ­ 0
czyli występują dla takich s że 3 ¬ s ¬ 4 .
Przykład 2.



x1 − 2x2 + x3 − x4 = −2
3x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4
Operacje elementarne:
"
1 −2 1 −1 | −2
3
2 3 −1 |
4
#
1
w2 − 3w1 ; w2 · ; w1 + w2
2
"
1 2 1 0 | 3
0 4 0 1 | 5
Zmienne bazowe: x3 , x4 (można zamiast tego wziąć x1 i x4 ),
dwa parametry x1 = s i x2 = t,
rozwiązanie ogólne: x1 = s , x2 = t , x3 = 3 − s − 2t , , x4 = 5 − 4t .
#