Zadania do samodzielnego rozwiązania – zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania – zestaw 11
1. Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć
√
π
0
(e) f 0 (0), jeśli f (x) = 4 + x + x2 ,
(a) f
, jeśli f (x) = cos2 x,
4
√
0 ( 2), jeśli f (x) = x + 1 ,
√
(f)
f
x
(b) f 0 (3), jeśli f (x) = 2x + 3,
(c) f 0
√
1
, jeśli f (x) = x x,
4
π
, jeśli f (x) = tg 2x,
6
(g)
f0
(h)
f 0 (1),
(
1
(d) f 0 (2), jeśli f (x) =
,
2x
jeśli f (x) =
x2 − 1,
x­1
2
−x + x, x < 1.
2. Korzystając z definicji pochodnej, znaleźć pochodne funkcji
r
2
(a) y = 2x + 3,
(b) y =
1
x + 1,
2
(c) y =
2
,
3x − 1
x
(d) y = sin .
2
3. Rozwiązać równanie f (2x) = f 0 (x), gdy f (x) = sin2 x.
3
1
4. Dana jest funkcja f (x) = cos2 3x + x − log 5 + 3. Rozwiązać równanie f 0
x = 0.
2
3
5. Funkcje f i g określone są wzorami f (x) = 2x2 +
h(x) = f (g(x)).
1
1
i g(x) = . Obliczyć h0 (1), gdzie
x
x
6. Czy dla x = 2 funkcja f (x) = |x − 2| x2 + x + 1 ma pochodną? Czy w punkcie tym osiąga
ekstremum?
7. Dla jakich wartości parametru a funkcja f (x) = (|x| − a)3 − 3|x| jest różniczkowalna w x0 = 0?
8. Zbadać różniczkowalność funkcji
(a) f (x) = x (|x| − 1),
(
(b) f (x) =
x−1
4
(x + 1)2 , |x| ¬ 1
|x| − 1,
|x| > 1.
9. Dla jakich wartości a, b, c funkcja
f (x) =


 4x,
x¬0
ax2 + bx + c, 0 < x < 1

 3 − 2x,
x­1
jest różniczkowalna w zbiorze R liczb rzeczywistych?
10. Znaleźć pochodne funkcji
√
5
(a) y = x4 ,
(b)
(d)
y = 2x3 − 5x + 5,
(g) y =
(j)
1−x
,
1+x
y = (x − 1) tg x,
ctg x
(ł) y = √
,
3
x
√
3
y = x x2 ,
(e) y = (2x + 1) x2 − 3 (x − 5)2 ,
(x − 1)3
,
√ x
x−1
(k) y = √
,
x+1
(h)
1
y=√ ,
x √
3x − 2 x + 1
√
(f) y =
,
x
(c)
y=
(m) y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x,
(i)
y = x sin x,
(l)
y=
(n)
sin x − cos x
,
sin x + cos x
x 2
y= − .
2 x
11. Znaleźć pochodne funkcji złożonych
1
cos3 x,
3
(c) y = (x2 + 1)3 ,
r
x
(e) y = tg ,
√2
(g) y = sin x,
(a) y = cos x −
(b)
(d)
(f)
(h)
(i) y = tg sin3 x ,
(j)
(k) y = sin4 x − cos4 x,
(l)
s
(ł) y =
(n)
(p)
1
,
x
ctg x +
2x + 1
,
3x + 1
x
y = ln tg ,
3
y = sin7
(m)
(o)
(q)
p
3
1 − x2 ,
1
y = sin ,
x
√
√
y = 1 + sin 2x − 1 − sin 2x,
√
y = sin x,
r
q
π
2
y = tg x + x + tg ,
4
√
2 1− x
√ ,
y = cos
1+ x
1 + sin2 3x
y=
,
1 − sin2 3x
s
1 + ex
y= 3
,
x
1−
re
1
y = cos2
.
x
y=
1
12. W jakim punkcie wykresu funkcji y =
należy poprowadzić styczną, aby była ona nachylona
x
◦
do osi OX pod kątem α = 135 ?
13. Znaleźć równanie stycznej do krzywej y = f (x) w punkcie P , jeżeli
(a) y = x + sin x,
P (0, y0 ),
x2 − 1
,
P (x0 , 8),
(x − 2)2
√
(c) y = 4 3 8 + sin 3x,
P (0, y0 ),
(b) y =
(d) y = 3 cos2
1
x ,
2
P
π
, y0 .
2
14. Dana jest krzywa o równaniu y = 2x3 − 3x2 + 5. Napisać równania stycznych do tej krzywej
prostopadłych do prostej x + 6y + 7 = 0.
15. Dla jakiej wartości parametru k styczna do krzywej y =
jest prostopadła do prostej o równaniu 9x + 4y − 3 = 0?
1
poprowadzona w punkcie x0 =
x+k
1
2
16. Dla jakich wartości parametru m styczna do krzywej y = x3 − mx + 7 poprowadzona w punkcie
o odciętej x0 = 1 jest równoległa do prostej o równaniu y = 2x?
17. Znaleźć taką liczbę a, aby proste styczne do paraboli o równaniu y = a − x2 poprowadzone w
punktach przecięcia paraboli z osią OX, były prostopadłe.
18. W jakim punkcie przedziału h−2, 1i styczna do wykresu funkcji f (x) = x4 + 6x3 + 2x ma największy współczynnik kierunkowy?
π
19. Wyznaczyć takie α ∈ 0,
2
√
f (x) = −x2 + 2x + 3 − tg 2α.
aby prosta o równaniu y = −2x+4 była styczna do wykresu funkcji
20. Wykazać, że istnieje styczna do wykresu funkcji f (x) =
p
x(1 − x) równoległa do osi OX.
21. Dana jest funkcja f : R → R, różniczkowalna w zbiorze R i spełniająca dla każdej liczby rzeczywistej x równanie
(f (1 + 2x))2 = x − (f (1 − x))3 .
Napisać równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie o odciętej 1.
22. Obliczyć pole trójkąta ograniczonego styczną do krzywej y = cos x w punkcie P
π
,0
2
oraz
osiami układu XOY .
√
23. Obliczyć kąt między styczną do wykresu funkcji f danej równością f (x) = 3x + 1 w punkcie o
1
odciętej x0 = −
i osią Ox.
12
√
π
24. Pod jakim kątem wykres funkcji y = sin 3x przecina oś OX w punkcie x0 = √ ?
3
√
25. Wyznaczyć tangens kąta, pod którym przecinają się krzywe y = x2 i y = x w punkcie P (−1, 1).
26. Obliczyć tangens kąta, pod jakim przecinają się wykresy funkcji f (x) = 2x i g(x) = tg x w
początku układu współrzędnych.
27. Dane są krzywe f (x) = cos 2x i g(x) = sin x dla x ∈
π
0,
. Znaleźć sinus kąta, pod jakim
2
przecinają się te krzywe.
28. Zbadać monotoniczność podanych funkcji
(a)
y = 1 − 24x + 15x2 − 2x3 ,
(d)
y = x ax − x2 ,
(g)
√
y = x x − 4,
p
(b)
a > 0,
(e)
(h)
√ y =x 1+2 x ,
−x
y= √
,
3
x2 − 4
1 − 2x2 − x4
y=
,
x
(f)
x
,
1 + x2
y = x − 2 sin x,
(i)
y = x4 −
(c)
y=
1
+ 5.
x
29. Znaleźć zbiór wartości funkcji f (x) = 4x3 − 12x dla x ∈ h−2, 0i.
30. Wykazać, że funkcja f (x) = x3 − 3x2 + 4x + cos x jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
31. Dla jakiej wartości parametru a funkcja f (x) = ax + cos2 x jest malejąca w zbiorze liczb rzeczywistych?
1
32. Dla jakiej wartości m funkcja f (x) = x3 + mx2 + 4x + 1 jest rosnąca w całej swojej dziedzinie?
3
33. Wykazać, że równanie x3 + 3x − 7 = 0 ma tylko jeden pierwiastek i sprawdzić, że leży on w
przedziale (1, 2).
34. Uzasadnić, że równanie x3 + x + 7 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie jedno rozwią1
zanie. Wyznaczyć przedział o długości nie przekraczającej , do którego należy to rozwiązanie.
2
35. Wyznaczyć ekstrema funkcji
(a)
(d)
(g)
y = x3 − 3x2 ,
(x + 1)2
y=
,
2x
√
y = x 1 − x,
(b)
(e)
(h)
y = 2x(x − 1)2 ,
q
3
(x − 4)2 ,
√
y = x + 1 − x,
y =1−
x−2
,
3x + 1
(c)
y=
(f)
y = x + sin x,
(i)
y=
x2
.
|x| − 1
36. Dla jakiej wartości a funkcja
f (x) = a sin x +
ma ekstremum w punkcie
1
sin 3x
3
π
. Czy jest to maksimum czy minimum?
3
37. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji y = 2x3 +3x2 −12x+1 w przedziale h−1, 3i.
s
38. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji y =
1 − x2
na przedziale
|x|
1
.
2
−1, −
π π
− ,
.
2 2
39. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji y = x − sin 2x na przedziale
40. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji y = x 32 + x3 w przedziale h−3, 1i.
41. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x) = x + ctg x w przedziale
π 3π
.
,
4 4
√
42. Wyznaczyć wartość a tak, aby funkcja y = (ax − 3) x osiągała ekstremum dla x = 1. Zbadać
czy jest to maksimum czy minimum.
43. Dla jakich wartości a ∈ R funkcja f (x) =
ax2 − 4
nie ma ekstremum?
x + 2a
44. Dla jakich wartości parametru k funkcja f (x) = x3 − x2 + kx nie ma ekstremum lokalnego?
√
45. Wyznaczyć ekstrema funkcji y = x2 4 − x2 i naszkicować jej wykres.
46. Funkcja f (x) =
tej funkcji.
x2 + ax + b
ma dla x = 3 maksimum równe 1. Wyznaczyć pozostałe ekstrema
x−5
47. Dla jakiej wartości parametru α funkcja f (x) = 2x3 + 3x2 + cos 2α + sin α osiąga minimum o
wartości −1?
48. Funkcja f (x) = −x4 + kx2 + k ma w trzech różnych punktach ekstremum. Wyznaczyć k.
x2 − 1 49. Narysować wykres funkcji y = . Podać przedziały monotoniczności i ekstrema.
x 50. Wykazać, że wykres funkcji f (x) =
51. Wykazać, że funkcja f (x) =
√
x2 − 2x + 2 nie ma punktów przegięcia.
4 − x2
jest wypukła w swojej dziedzinie.
x2
52. Dla jakiej wartości parametru k funkcja f (x) = −2x3 + kx2 − 1 ma w punkcie x0 = 1 punkt
przegięcia.
53. Liczbę 25 rozłożyć na sumę takich dwóch składników, których suma kwadratów jest najmniejsza.
54. Wyznaczyć dwie liczby takie, aby różnica ich była równa a, a iloraz możliwie najmniejszy.
55. Suma dwóch liczb dodatnich jest równa 12. Dobrać te liczby tak, aby suma ich odwrotności była
najmniejsza.
56. Na paraboli y 2 = 4x znaleźć punkt leżący najbliżej prostej y = 2x + 4.
57. Dana jest parabola y = x2 i prosta y = x − 1. Dwa wierzchołki A i B trójkąta ABC leżą
na danej prostej. W którym punkcie paraboli należy umieścić wierzchołek C, aby pole trójkąta było
najmniejsze?
58. Jaki prostokąt o obwodzie 36 ma najkrótszą przekątną?
59. Obwód trójkąta równoramiennego jest równy 18. Jakie powinny być boki tego trójkąta, aby
objętość bryły powstałej z jego obrotu dookoła podstawy była największa?
60. Ze wszystkich trójkątów, dla których suma długości podstawy i wysokości na nią opuszczonej
jest równa b, wybrać trójkąt o największym polu.
61. Jaki powinien być kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego o danym polu, aby promień
okręgu wpisanego w ten trójkąt był największy?
62. Ze wszystkich prostokątów o danym polu wybrać ten, który ma najkrótszy obwód.
√
63. W okrąg o promieniu 2 2 wpisano prostokąt o największym polu. Znaleźć wymiary tego prostokąta i jego pole.
64. Na okręgu o promieniu długości r należy opisać trapez, którego jeden z kątów ma miarę łukową
α. Jakie powinny być miary pozostałych trzech kątów, aby pole trapezu było najmniejsze? Wyznaczyć
to najmniejsze pole.
65. W półkole o promieniu R wpisano prostokąt o największym polu. Obliczyć cosinus kąta rozwartego między przekątnymi tego prostokąta.
66. W półokrąg o promieniu R wpisano trapez, którego podstawą jest średnica okręgu. Dla jakiego
kąta przy podstawie trapezu pole trapezu jest największe?
67. W kulę o promieniu R wpisano walec. Obliczyć przy jakiej wartości promienia r podstawy walca
pole jego powierzchni bocznej S będzie największe.
68. Ze wszystkich stożków o danej tworzącej l wybrać ten, który ma największą objętość. Znaleźć tę
objętość.
69. Na kuli o promieniu R opisano stożek. Jaka będzie wysokość stożka o najmniejszej objętości?