Zadania na Zajęcia Wyrównawcze z Matematyki Zestaw nr 3

Zadania na Zajęcia Wyrównawcze z Matematyki
Zestaw nr 3
1. Wyrazić w radianach 1◦ , 30◦ , 45◦ , 60◦ , 90◦ , 120◦ , 180◦ , 360◦ .
2. Podać dziedziny, zbiory wartości funkcji i narysuj wykresy dla sin x, cos x, tg x, ctg x.
Odczytać z wykresów związki między tymi funkcjami. Jakie znaki przyjmują wartości
funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych ?
3. Policzyć
(a) cos x, jeśli sin x =
1
16
oraz x ∈ ( π2 , π)
(b) sin x, jeśli ctg x = − 23 oraz x ∈ ( π2 , π)
4. Zebrać podstawowe wzory redukcyjne
(a) sin(π/2 ± x) =
(b) sin(π ± x) =
(c) cos(π/2 ± x) =
(d) cos(π ± x) =
5. Korzystając ze wzorów redukcyjnych, obliczyć:
(a) sin 300◦
(b) cos 540◦
(c) tg 225◦
6. Zebrać podstawowe tożsamości trygonometryczne
(a) sin(α ± β) =
(b) cos(α ± β) =
(c) tg (α ± β) =
(d) ctg (α ± β) =
7. Wyprowadzić z powyższych wzory na
(a) sin(2α) =
(b) cos(2α) =
(c) tg (2α) =
(d) ctg (2α) =
(e) sin(3α) =
8. Narysować wykresy funkcji
(a) f (x) = (sin x − cos x)2
(b) f (x) = sin4 x − cos4 x
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni
9. Wiedząc, że sin α + sin β = 2 sin α+β
cos α−β
oraz cos(x) = sin(x + π/2), wyprowadzić
2
2
wzory na
(a) sin α − sin β
(b) cos α + cos β
(c) cos α − cos β
10. Wykazać, że
1−cos 2x+sin 2x
1+cos 2x+sin 2x
= tg x
11. Rozwiązać równania
(a) sin 2x =
1
2
(b) sin x + cos x = 0
(c) sin2 x + 2 sin x − 3 = 0
12. Rozwiązać nierówności
(a) sin 2x >
1
2
(b) 2 cos2 x + sin2 x > 1
13. Dana jest funkcja f (x) = sin
miejsca zerowe funkcji f .
2
x−| sin x|
,
sin x
dla x ∈ (0, π)∪(π, 2π). Naszkicować wykres i znaleźć
G
H
R
α
S
a
α
E
F
l
D
c
C
b
a
A
B
14. Dany jest trójkąt wpisany w okrąg. Jeden z boków trójkąta ma długość a, a kąt leżący
naprzeciw tego boku ma miarę α. Obliczyć promień R okręgu opisanego na trójkącie.
15. Przekątna prostopadłościanu ma długość l i tworzy ona ze ścianą boczną kąt α. Obliczyć
objętość prostopadłościanu, jeśli jego wysokość wynosi c.
Zadania domowe
1. Policzyć
1
oraz x ∈ ( 23 π, 2π)
2
− 13 oraz x ∈ ( 32 π, 2π)
(a) ctg x, jeśli cos x =
(b) cos x, jeśli tg x =
2. Korzystając ze wzorów redukcyjnych, obliczyć:
(a) sin 315◦
(b) cos 675◦
(c) ctg 225◦
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni
3. Wyprowadzić wzory na
(a) tg α ± tg β
(b) ctg α ± ctg β
4. Wyrazić sin x, cos x i tg x za pomocą t = tg x2
5. Rozwiązać równania
(a) sin2 x + sin x − 6 = 0, dla x z przedziału [0, 2π]
(b) − cos2 x + 25 sin x −
1
2
= 0, dla x z przedziału [0, 2π]
(c) 4 (log2 cos x)2 + log2 (1 + cos 2x) = 3
(d) sin 2x − cos 2x = 1 − 2 cos2 x + sin x
√
(e) cos x − 3 sin x = 1
6. Rozwiązać nierówności
√
(a) sin x + cos x > 2 cos 2x
(b) sin3 x − 4 sin2 x − sin x + 4 ≥ 0
E
2α
2α
b
D
C
H
.
b
b
S
m
A
F
B
7. W trapezie dłuższa podstawa ma długość m, a pozostałe trzy boki mają długość b. Przedłużenia ramion trapezu przecinają się pod kątem 2α. Obliczyć obwód trapezu.
8. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przeciwległe krawędzie boczne przecinają się
pod kątem 2α, a wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa ma
długość h. Obliczyć objętość i powierzchnię całkowitą ostrosłupa.
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni