z za bi

Przekształcenia całkowe
Wykład 1
Przekształcenia całkowe
Tematyka wykładów:
1. Liczby zespolone
- wprowadzenie,
- funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej,
- funkcja zespolona zmiennej zespolonej.
2. Przekształcenie Laplace’a
- przekształcenie Laplace’a i jego podstawowe
własności,
- wyznaczanie obszaru (transformaty Laplace’a) gdy
znany jest oryginał,
- przekształcenie odwrotne względem przekształcenia
Laplace’a i jego własności,
Przekształcenia całkowe
- wyznaczanie oryginału gdy znana jest transformata
Laplace’a (metoda rozkładu na ułamki proste,
metoda splotu),
- wyznaczanie rozwiązania równań różniczkowych
rzędu n oraz układów równań różniczkowych
liniowych przy danych warunkach początkowych,
- równania całkowe (układy) typu splotu.
3. Szeregi Fouriera
- wprowadzenie,
- rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera.
Przekształcenia całkowe
Literatura:
1. Kącki E., Siewierski L. „Wybrane działy matematyki
wyższej z ćwiczeniami” Warszawa 1975.
2. Kącki E. „Równania rócznikowe cząstkowe w
elektrotechnice” Warszawa 1971.
3. Ditkin W.A., Prudnikow A.P. „ Przekształcenia
całkowe i rachunek operatorowy” Warszawa 1964.
Liczby zespolone
1. Wprowadzenie
Liczbą zespoloną nazywamy liczbę postaci:
z = a + bi
gdzie:
a - część rzeczywista (realis – Re) liczby zespolonej,
b – część urojona (imaginarius – Im) liczby zespolonej,
i – jednostka urojona.
np.: z = 2 + 2i, z = −3 − i, z = i.
Liczby zespolone
z = a + bi
algebraiczną lub kanoniczną.
Postać liczby
nazywamy postacią
Podstawowa własność jednostki urojonej:
i 2 = −1
−1 = i
Interpretacją geometryczną liczby zespolonej jest punkt
na płaszczyźnie zespolonej, którego odcięta równa jest
wartości części rzeczywistej liczby zespolonej, a rzędna –
części urojonej tejże liczby.
Liczby zespolone
Liczby zespolone
Położenie punktu (a, b) jest również wyznaczone przez
długość r promienia wodzącego punktu (a, b) i kąt φ jaki
ten promień tworzy z osią odciętych.
Wartością bezwzględną (modułem ) liczby zespolonej
nazywamy następującą liczbę:
z = a + bi
z = a + bi = a 2 + b 2 = r
np.
z = 2 + 2i → z = 22 + 22 = 8
Liczby zespolone
Własności wartości bezwzględnej liczby zespolonej
z1 − z2 ≤ z1 ± z2 ≤ z1 + z2
z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2
z1
z1
=
z2
z2
Liczbę sprzężoną z
nazywamy liczbę:
do liczby zespolonej z = a + bi
z = a − bi
np.
z = 2 + 2i → z = 2 − 2i, z = −3 − i → z = −3 + i
Liczby zespolone
Własności sprzężenia liczb zespolonych:
z = z
z⋅z = z
2
z1 ± z2 = z1 ± z2
z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2
⎛ z1 ⎞ z1
⎜ z ⎟ = z , z2 ≠ 0
⎝ 2⎠ 2
Liczby zespolone
2. Działania algebraiczne na liczbach zespolonych
Dla liczb zespolonych w postaci kanonicznej działania
wykonujemy tak, jak na wielomianach W(i) nad ciałem liczb
rzeczywistych , zatem zakładając istnienie dwóch
z1 = a + bi
liczb zespolonych
oraz z2 = c + di
działania arytmetyczne definiuje się następująco:
Dodawanie:
( a + bi ) + ( c + di ) = a + c + ( b + d ) i
np.
z1 = 2 + 2i,
z2 = −1 − 3i
z1 + z2 = ( 2 + 2i ) + ( −1 − 3i ) = 2 − 1 + ( 2 − 3) i = 1 − i
Liczby zespolone
Odejmowanie:
( a + bi ) − ( c + di ) = a − c + ( b − d ) i
np. z1 − z2 = ( 2 + 2i ) − ( −1 − 3i ) = 2 + 1 + ( 2 + 3) i = 3 − 5i
Mnożenie:
( a + bi ) ⋅ ( c + di ) = ac + ad i + bc i + bd i 2 =
= ac + ( ad + bc ) i + bd ⋅ ( −1) = ac − bd + ( ad + bc ) i
Liczby zespolone
np.
z1 ⋅ z2 = ( 2 + 2i ) ⋅ ( −1 − 3i ) = −2 + 6 + ( −6 − 2 ) i = 4 − 8i
Dzielenie:
Przy dzieleniu musimy wyrugować urojoność z mianownika
poprzez pomnożenie licznika i mianownika przez liczbę
sprzężoną z mianownikiem.
a + bi ( a + bi ) ( c − di ) ac + bd + ( bc − ad ) i
=
⋅
=
, c + di ≠ 0
2
2
c + di ( c + di ) ( c − di )
c +d
Liczby zespolone
z1 2 + 2i 2 + 2i −1 + 3i −2 − 6 + ( −2 + 6 ) i
np.
=
=
⋅
=
=
2
2
z2 −1 − 3i −1 − 3i −1 + 3i
( −1) + ( −3)
8 4
−8 + 4i
=
=− + i
10
10 10
Liczby zespolone
3. Postaci liczb zespolonych
Postać algebraiczna liczby zespolonej:
z = a + bi
a = Re z b = Im z
np. z = 2 − 3i
Postać trygonometryczna liczby zespolonej:
z = z ( cos ϕ + i sin ϕ ) lub
z = r ( cos ϕ + i sin ϕ )
Liczby zespolone
gdzie:
z - moduł z liczby zespolonej (długość promienia
wodzącego),
φ - kąt pomiędzy osią biegunową a promieniem wodzącym
(argument liczby zespolonej).
a a
a
cos ϕ = = =
r z
a 2 + b2
b b
b
sin ϕ = = =
r z
a 2 + b2
Liczby zespolone
Przykład 1
Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną
z = 1 + i.
z = 12 + 12 = 2
1
2⎫
cos ϕ =
=
⎪
π
2 2 ⎪
⎬ →ϕ =
4
1
2⎪
sin ϕ =
=
2 2 ⎪⎭
π
π⎞
⎛
z = 2 ⎜ cos + i sin ⎟
4
4⎠
⎝
Liczby zespolone
Postać wykładnicza liczby zespolonej:
z = z eϕ i
Przykład 2
lub
z = r ⋅ eϕ i
Przedstaw w postaci wykładniczej liczbę zespoloną
z = 1 + i 3.
z= 1 +
2
( 3)
2
= 4=2
Liczby zespolone
1 ⎫
cos ϕ = ⎪
π
2 ⎪
⎬ →ϕ =
3
3⎪
sin ϕ =
2 ⎪⎭
z = 2e
π
3
i
Liczby zespolone
4. Wzory Moivre’a
Wzory Moivre’a opisują mnożenie , dzielenie i potęgowanie
liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej.
Zakładając istnienie dwóch liczb zespolonych
z1 = r ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) oraz z2 = R ( cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 )
odpowiednie działania algebraiczne definiuje się
następująco:
Mnożenie:
r ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) ⋅ R ( cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) =
= rR [ cos (ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ2 )]
Liczby zespolone
Dzielenie:
r ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) r
= [ cos (ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin (ϕ1 − ϕ 2 )]
R ( cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) R
Potęgowanie:
[ r ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 )]
n
= r n ( cos n ϕ1 + i sin n ϕ1 )
Liczby zespolone
Przykład 3
Obliczyć
(1 + i )
10
korzystając ze wzorów Moivre’a
Liczby zespolone
z = 1+ i
z = 12 + 12 = 2
1
2⎫
cos ϕ =
=
⎪
π
2
⎪
2
⎬ →ϕ =
4
1
2⎪
=
sin ϕ =
2 2 ⎪⎭
z = [ z ( cos ϕ + i sin ϕ )]
10
10
π
π ⎞⎤
⎡ ⎛
= ⎢ 2 ⎜ cos + i sin ⎟ ⎥ =
4
4 ⎠⎦
⎣ ⎝
10
Liczby zespolone
1 10
2
⎛ ⎞ ⎛
10 ⋅ π
10 ⋅ π ⎞
= ⎜ 2 ⎟ ⋅ ⎜ cos
+ i sin
⎟=
4
4 ⎠
⎝ ⎠ ⎝
5
5 ⎞
5⎛
= 2 ⎜ cos π + i sin π ⎟ =
2
2 ⎠
⎝
π⎞
π ⎞⎞
⎛
⎛
5⎛
= 2 ⎜ cos ⎜ 2π + ⎟ + i sin ⎜ 2π + ⎟ ⎟ =
2⎠
2 ⎠⎠
⎝
⎝
⎝
⎛
⎞
⎛π ⎞
⎛π ⎞⎟
5⎜
= 2 ⎜ cos ⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟ ⎟ = 25 ⋅ i = 32i
2
⎠ 2⎠
⎝
⎝
⎜
⎟
⎝
⎠
0
1
Liczby zespolone
5. Wzory Eulera
Wzory Eulera określają zależność między e
e zi = cos z + i sin z
e zi + e − zi
cos z =
2
e zi − e − zi
sin z =
2i
zi
i sin z , cos z.
Liczby zespolone
6. Pierwiastkowanie liczb zespolonych
z liczby zespolonej
Pierwiastkiem n-tego stopnia
z nazywamy każdą liczbę zespoloną, której n-ta potęga
równa się tejże liczbie zespolonej z .
Liczba 0 ma przy dowolnym n jeden pierwiastek n-tego
stopnia równy 0.
Jeżeli z = z ( cos ϕ + i sin ϕ ) ≠ 0
i n ∈ N , to istnieje
dokładnie n różnych pierwiastków n–tego stopnia z liczby
zespolonej z.
Liczby zespolone
Są nimi liczby:
wk =
dla
n
ϕ + 2 kπ
ϕ + 2 kπ ⎞
⎛
+ i sin
z ⎜ cos
⎟
n
n
⎝
⎠
k = 0,1, 2,..., n − 1
Pierwiastkami n-tego stopnia z jedności są liczby:
2 kπ
2 kπ
+ i sin
ε k = cos
n
n
dla
k = 0,1, 2,..., n − 1
Liczby zespolone
Wyciąganie pierwiastka stopnia n, gdzie daje zawsze n
różnych wartości.
W interpretacji geometrycznej punkty wk są wierzchołkami
n-kąta foremnego mającego środek w punkcie (0,0).
Przykład 4
Wyznaczyć wszystkie pierwiastki zespolone
podać ich interpretację geometryczną.
4
−1 oraz
Liczby zespolone
z = −1
z =1
cos ϕ = −1⎫
⎬ →ϕ =π
sin ϕ = 0 ⎭
ϕ + 2 kπ
ϕ + 2 kπ ⎞
⎛
n
+ i sin
wk = z ⎜ cos
⎟ , n = 4, k = 0,1, 2,3
n
n ⎠
⎝
2
2
π
π⎞
⎛
+i
w0 = 1 ⎜ cos + i sin ⎟ =
4
4⎠ 2
2
⎝
4
Liczby zespolone
π + 2π
π + 2π ⎞
3π
3π
⎛
w1 = 1 ⎜ cos
+ i sin
=
⎟ = cos + i sin
4
4 ⎠
4
4
⎝
4
π⎞
π⎞
π
π
2
2
⎛
⎛
= cos ⎜ π − ⎟ + i sin ⎜ π − ⎟ = − cos + i sin = −
+i
4⎠
4⎠
4
4
2
2
⎝
⎝
π + 4π
π + 4π ⎞
5π
5π
4 ⎛
w2 = 1 ⎜ cos
+ i sin
=
⎟ = cos + i sin
4
4 ⎠
4
4
⎝
π⎞
π⎞
π
π
2
2
⎛
⎛
= cos ⎜ π + ⎟ + i sin ⎜ π + ⎟ = − cos − i sin = −
−i
4⎠
4⎠
4
4
2
2
⎝
⎝
Liczby zespolone
π + 6π
π + 6π ⎞
7π
7π
⎛
w3 = 1 ⎜ cos
+ i sin
+ i sin
=
⎟ = cos
4
4 ⎠
4
4
⎝
4
π⎞
π⎞
π
π
2
2
⎛
⎛
= cos ⎜ 2π − ⎟ + i sin ⎜ 2π − ⎟ = cos − i sin =
−i
4⎠
4⎠
4
4
2
2
⎝
⎝
Liczby zespolone
Interpretacja geometryczna
Liczby zespolone
Wszystkie pierwiastki zespolone 4 −1 tworzą czworokąt
foremny – kwadrat, którego środek znajduje się w punkcie
(0,0) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej (tzw. płaszczyźnie
Gaussa). Długość boku tego kwadratu wynosi
2.
Promień okręgu, w który wpisany jest ten kwadrat równy jest
z czyli 1.
Przekształcenia całkowe
Dziękuję za uwagę