Zadania

8. Testowanie hipotez
q
θ
Zadanie 1. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbką losową z rozkładu o gęstości Γ(q)
xq−1 e−θx ,
x > 0, θ > 0. Zakładamy, że q jest znane. Skonstruować test jednostajnie najmocniejszy na poziomie α do weryfikacji hipotezy {θ0 } wobec hipotezy alternatywnej {θ1 }, gdzie
θ1 > θ0 . Pokazać, że gdy q = 1/n, to moc tego testu wynosi 1 − (1 − α)θ/θ0 .
Zadanie 2. Próba X1 , . . . , Xn pochodzi z pewnego rozkładu wykładniczego o gęstości fθ (x) = exp{−(x − θ)}1(θ,∞) (x). Hipotezę H0 : θ ≤ 1 przy hipotezie alternatywnej H1 : θ > 1 weryfikuje się za pomocą testu z obszarem krytycznym postaci
K={(x1 , . . . , xn ) : x1:n > c}, c ∈ R. Wyznacz stałą c tak, aby test miał rozmiar α.
Naszkicuj wykres funkcji mocy tego testu.
Zadanie 3. Przeprowadzono obserwacje dotyczace liczby zgłoszeń w centrali telefonicznej. Dla 300 odcinków czasowych jednakowej długości otrzymano dane
Liczba zgłoszeń
0
1
2 3 4 5
Liczba odcinków czasowych 50 100 80 40 20 10
Za pomoca̧ testu chi-kwadrat zgodności na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, ze rozkład liczby zgłoszeń jest rozkładem Poissona.
Zadanie 4. Generator liczb losowych wygenerował 60 liczb z rozkładu wykładniczego
E(1).
Przedział Liczebność
(0,0; 0,2]
15
(0,2; 0,5]
8
(0,5; 0,9]
12
(0,9; 1,6]
15
(1,6; ∞)
10
Za pomocą testu chi-kwadrat na poziomie istotności 0, 05 przetestuj zgodność tych danych
z rozkładem E(1).
Zadanie 5. Pobrano próbkę pewnej cechy X. Wartościami uporządkowanymi według
kolejności są 15, 790, 16, 286, 17, 006, 17, 355, 17, 980, 18, 284. Używając testu Kołmogorowa zweryfikuj na poziomie istotności 0, 1 hipotezę, że cecha X ma rozkład normalny
N (17, 1806; (0, 75)2 ).
Zadanie 6. W pewnym przedsiębiorstwie zbadano rozkład wieku pracowników i otrzymano wyniki
Wiek (lata)
Liczba
[0, 20)
6
[20, 25)
40
[25, 30)
24
[30, 35)
25
[35, 40)
18
[40, 45)
28
[45, 50)
25
[50, 55)
20
[55,∞)
14
Na poziomie istotności 0, 01 testem Kołmogorowa zweryfikować hipotezę, że próba pochodzi z rozkładu jednostajnego na przedziale (18, 65).
1
Zadanie 7. Wybrano losowo 780 mieszkańców Torunia, których zapytano o najchętniej
oglądany rodzaj seriali. Poniższa tabela przedstawia wyniki sondażu. Za pomocą testu
chi-kwadrat niezależności zbadaj, czy płeć telewidza i rodzaj seriali przez niego oglądanych
są niezależne.
Rodzaj seriali
Płeć
telenowele seriale kryminalne seriale komediowe Razem
Kobieta
210
90
160
460
Mężczyzna
50
150
120
320
Razem
260
240
280
780
Zadanie 8. Spytano 1000 respondentów o średni dzienny czas spędzany przed telewizorem. Na podstawie wyników przedstawionych w poniższej tabeli kontyngencji, przetestuj
niezależność ilości godzin spędzanych dziennie przed telewizorem z wykształceniem telewidzów.
Ilość h
0-2
2-4
4-6
powyżej 6
Razem
Wykształcenie
podstawowe zasadnicze zawodowe średnie
65
57
63
68
70
62
78
82
68
53
60
43
264
269
197
2
wyższe Razem
55
240
60
260
72
300
44
200
231
1000