2. Relacja równoważności, klasy abstrakcji relacji równoważności

2. Relacja równoważności, klasy abstrakcji relacji
równoważności, relacje porządku.
1
Iloczyn kartezjański
Niech dane będą niepuste zbiory X i Y .
Iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych (x, y)
takich, że x ∈ X, y ∈ Y , czyli:
X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }
Inaczej:
(x, y) ∈ X × Y ⇔ (x ∈ X ∧ y ∈ Y )
Przykład 1. Niech X = {1, 2, 3}, Y = {α, β}. Wówczas
X × Y = {(1, α), (2, α)(3, α), (1, β), (2, β), (3, β)}
Przykład 2. Zwróćmy uwagę na fakt, że iloczyn kartezjański nie jest przemienny,
tzn. X × Y 6= Y × X.
Np. X = {1, 2}, Y = {0, 1}, wtedy:
X × Y = {(1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)}
ale
Y × X = {(0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2)}.
2
Relacja
Niech dane będą niepuste zbiory X i Y .
Relacją w zbiorze X × Y nazywamy każdy pozbiór iloczynu kartezjańskiego X × Y .
Relacje zazwyczaj będziemy oznaczać grecką literą ρ.
Jeżeli rozpatrujemy relację ρ pomiędzy elementami zbioru X, a elementami zbioru Y , to
ρ ⊂ X × Y.
Piszemy wtedy, że:
• (x, y) ∈ ρ i mówimy, ze para (x, y) należy do relacji ρ, albo
• xρy i wtedy mówimy, że element x jest w relacji ρ z elementem y
dla x ∈ X, y ∈ Y .
Uwaga 1. Jeżeli X jest zbiorem n-elementowym i Y jest zbiorem m-elementowym, to istnieje
2m·n wszystkich relacji w zbiorze X × Y .
1
3
Rodzaje relacji
Przyjmijmy, że ρ ⊂ X × X
1. Relacja zwrotna
∀x∈X xρx
2. Relacja przeciwzwrotna
∀x∈X ∼ xρx
3. Relacja symetryczna
∀x,y∈X (xρy ⇒ yρx)
4. Relacja przeciwsymetryczna
∀x,y∈X (xρy ⇒∼ yρx)
5. Relacja antysymetryczna
∀x,y∈X [(xρy ∧ yρx) ⇒ x = y]
6. Relacja przechodnia
∀x,y,z∈X [(xρy ∧ yρz) ⇒ xρz]
7. Relacja spójna
∀x,y∈X (xρy ∨ yρx)
4
Relacja równoważności
Relację ρ ⊂ X ×X nazywamy relacją równoważności, jeśli jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
Relację równoważności zazwyczaj oznaczamy ≈.
Przykład 3.
1. x ≈ y ⇔ x = y,
2. k ≈ l ⇔ k · l > 0
x, y ∈ R
k, l ∈ Z\{0}
3. x ≈ y ⇔ x − y ∈ Z x, y ∈ R
Relacja jest zwrotna, ponieważ
∀x∈R
x−x=0∈Z
Relacja jest symetryczna, ponieważ
∀x,y∈R
x − y ∈ Z ⇒ y − x = −(x − y) ∈ Z
Relacja jest przechodnia, ponieważ
∀x,y,z∈R
5
x − y ∈ Z ∧ y − z ∈ Z ⇒ x − z = (x − y) + (y − z) ∈ Z
Klasa abstrakcji
Jeżeli X jest niepustym zbiorem oraz ≈ jest relacją równoważności w tym zbiorze, to zbiory [x],
dla x ∈ X, nazywamy klasami abstrakcji relacji ≈ w X. Dokładniej, klasę [x] nazywamy klasą
równoważności (abstrakcji) relacji ≈ w X wyznaczoną przez x lub o reprezentacji x, jeśli spełnia
warunki:
1. [x] = {y ∈ X : x ≈ y}
2. ∀x,y∈X
(y ∈ [x]) ⇔ (x ≈ y)
Zbiór wszystich klas równoważności relacji ≈ w X oznaczamy symbolem X/≈ .
Twierdzenie 1. Dla dowolnych elementów x, x1 , x2 ∈ X mamy:
2
1. x ∈ [x]
2. [x1 ] = [x2 ] ⇔ x1 ≈ x2
3. [x1 ] 6= [x2 ] ⇒ [x1 ] ∩ [x2 ] = ∅
Twierdzenie 2 (Zasada abstrakcji). Relacja równoważności ≈ określona w zbiorze X ustala podział tego zbioru na podzbiory niepuste i parami rozłączne, czyli na klasy abstrakcji tej relacji, w
taki sposób, że dwa elementy x, y ∈ X należą do tej samej klasy wtedy i tylko wtedy, gdy x ≈ y.
Przykład 4. Niech L będzie zbiorem wszystkich prostych na płaszczyźnie.
Niech ≈ będzie relacją w L taką, że dla dowolnych prostych k, l ∈ L
k≈l ⇔ kkl
Relacja ta jest relacją równoważności, ponieważ:
Zwrotność: l k l - jeśli proste się pokrywają, to są równoległe
Symetryczność: jeśli k k l, to l k k
Przechodniość: jeśli k k l i l k m, to k k m, dla m ∈ L.
Do klasy równoważności wyznaczonej przez dowolną prostą k, czyli do klasy [k] należy każda prosta
l równoegła do k:
[k] = {l : l ≈ k} = {l : l k k}
Każdą klasę abstrakcji relacji równoważności prostych nazywamy kierunkami.
6
Relacje porządku
Relacja ρ jest relacją częściowego porządku, jeśli jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia.
Przykład 5. xρy ⇔ x | y, x, y ∈ N
Zwrotność: x | x
Antysymetryczność: (x | y ∧ y | x) ⇒ (x ≤ y ∧ y ≤ x) ⇒ x = y
Przechodniość: (x | y ∧ y | z) ⇒ (∃p∈N y = p · x ∧ ∃q∈N z = y · q) ⇒ (∃p,q∈N z = p · x · q) ⇒ x | z
Zatem ρ jest relacją częściowego porządku.
Relacja ρ jest relacją liniowego porządku, jeśli jest zwrotna, antysymetryczna, przechodnia i
spójna.
Przykład 6. xρy ⇔ x ≤ y, x, y ∈ R
Zwrotność: x ≤ x
Antysymetryczność: (x ≤ y ∧ y ≤ x) ⇒ x = y
Przechodniość: (x ≤ y ∧ y ≤ z) ⇒ x ≤ z
Spójność: x ≤ y ∨ y ≤ x
Zatem ρ jest relacją liniowego porządku.
3