Matematyka Dyskretna 9/2008 1. Pokazać, że graf, którego macierz
Transkrypt
Matematyka Dyskretna 9/2008 1. Pokazać, że graf, którego macierz
Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna 9/2008 1. Pokazać, że graf, którego macierz sąsiedztwa ma postać 0 1 1 0 0 1 1 1 10101100 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 11001010 10011101 10110010 jest grafem planarnym 2. (a) Które grafy pełne i grafy pełne dwudzielne są planarne? (b) Dla jakich n kostka Qn jest grafem planarnym? 3. Niech G będzie wielościanem (lub grafem wielościanu), którego każda ściana jest pięciokątem lub sześciokątem. Udowodnić, że: (a) G ma co najmniej 12 ścian pięciokątnych. (b) Jeśli w każdym wierzchołku grafu schodzą się dokładnie trzy ściany, to ma on dokładnie 12 ścian pięciokątnych. 4. (a) Udowodnić, że jeśli G = (V, E) jest grafem planarnym, w którym nie ma ścian 3- i 4-kątnych, to |E| 6 5(|V3|−2) . (b) Na podstawie a) udowodnić, że graf Petersena nie jest planarny. 5. Niech G = (V, E) będzie grafem planarnym, |V | > 3. Niech ponadto dla dowolnej liczby całkowitej ∞ P n, νn będzie liczbą wierzchołków stopnia n. Udowodnić, że (6 − n)νn > 12. Wywnioskować na tej n=0 podstawie, że G ma co najmniej trzy wierzchołki stopnia 6 5. 6. Niech G będzie grafem planarnym, w którym każdy wierzchołek ma stopień 3. a) Pokazać, że jeśli G ma płaską reprezentację, w której każdy region jest ograniczony czterema lub sześcioma krawędziami, to istnieje dokładnie sześć regionów ograniczonych czterema krawędziami. b) Pokazać, że jeśli G ma planarną reprezentację, w której każdy region jest ograniczony pięcioma lub sześcioma krawędziami, to istnieje dokładnie dwanaście regionów ograniczonych pięcioma krawędziami. W każdym z przypadków podać dwa przykłady takich grafów, które mają różną liczbę wierzchołków. 7. Niech G będzie planarnym grafem dwudzielnym, w którym każdy wierzchołek ma stopień d. Pokazać, że d < 4. Czy istnieje taki graf dla d = 3? 8. Podaj przykład grafu nieplanarnego, który może być narysowany bez przecięć na wstędze Möbiusa. 9. Niech G będzie grafem planarnym, dla którego w pewnej jego płaskiej reprezentacji każdy region jest ograniczony cyklem o parzystej liczbie krawędzi. Pokazać, że G jest dwudzielny. 10. Rozważmy wielobok o n bokach wraz ze wszystkimi przekątnymi. Załóżmy, że przez każdy punkt przecięcia przechodzą co najwyżej dwie z tych przekątnych. Traktując każdy punkt przecięcia jako wierzchołek grafu, otrzymujemy rysunek grafu planarnego. Wyznaczyć liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian tego grafu. 11. Niech G = (V, E) będzie spójnym grafem planarnym, w którym każdy wierzchołek ma dodatni stopień d i dla którego, w pewnej płaskiej reprezentacji każda ściana jest ograniczona c krawędziami. Pokazać, że 1 1 1 + > . c d 2 Przygotował: Cz. Bagiński