– Ile wynosi wariancja wektora x = [1, 2, 3]T? – Ile wynosi

W#1
–
–
–
–
–
–
–
–
Ile wynosi wariancja wektora x = [1, 2, 3]T?
Ile wynosi kowariancja wektorów x = [1, 2, 3]T i y = [1, 2, 3]T?
Ile wynosi kowariancja wektorów x = [1, 2, 3]T i y = [3, 2, 1]T?
Średnia wektora [a, b, c, d]T wynosi s. Ile wynosi średnia wektora
[d, c, b, a]T?
Wariancja wektora [a, b, c, d]T wynosi v. Ile wynosi wariancja
wektora [d, c, b, a]T?
Średnia wektora x wynosi s. Ile wynosi średnia wektora ax?
(a jest dowolnym skalarem)
Wariancja wektora x wynosi v. Ile wynosi wariancja wektora ax?
(a jest dowolnym skalarem)
*Kowariancja wektorów x i y wynosi c. Ile wynosi kowariancja
wektorów ax i by? (a i b są dowolnymi skalarami)
1
W#2
– Jaki jest iloczyn dwóch macierzy diagonalnych?
(tych samych rozmiarów)
– Jaki jest iloczyn dwóch macierzy przeciwdiagonalnych?
(tych samych rozmiarów)
– Jaki jest iloczyn macierzy diagonalnej i przeciwdiagonalnej?
(tych samych rozmiarów)
2
W#2
– Jaka operacja iloczynu macierzowego (tzn. jakie mnoŜenie
i przez jaką macierz) wyzerowuje nieparzyste wiersze danej
macierzy?
– Jaka operacja iloczynu macierzowego (tzn. jakie mnoŜenie
i przez jaką macierz) wyzerowuje parzyste kolumny danej
macierzy?
– Jaka (podwójna) operacja iloczynu macierzowego (tzn. jakie
mnoŜenie i przez jakie macierze) sumuje wszystkie elementy
danej macierzy?
– *Jaka operacja iloczynu macierzowego (tzn. jakie mnoŜenie
i przez jaką macierz) zamienia miejscami pierwszy oraz drugi
wiersz danej macierzy?
– *Jaka operacja iloczynu macierzowego (tzn. jakie mnoŜenie
i przez jaką macierz) zamienia miejscami kolumny o numerach
i oraz j danej macierzy?
3
W#3
– Ile wynosi wyznacznik macierzy diag(1,2,...,n)?
– Dana jest macierz D = diag(a,b,c) taka, Ŝe det(D) = 0. Co moŜna
powiedzieć o wartościach a, b i c?
– Dana jest macierz D = diag(a,b,c) taka, Ŝe det(D) < 0. Co moŜna
powiedzieć o wartościach a, b i c?
– Ile wyznaczników trzeba obliczyć, aby rozwiązać metodą
Cramera układ pięciu równań liniowych z pięcioma
niewiadomymi?
– Jakie jest rozwiązanie układu Kx = k1, gdzie k1 jest pierwszą
kolumną macierzy K?
– *Jakie jest rozwiązanie układu Wx = w1, gdzie (w1)T jest
pierwszym wierszem symetrycznej macierzy W?
4
W#3
– Jaką figurę tworzy zbiór wszystkich kombinacji wypukłych
wektorów [0, 0]T, [1, 1]T?
– Jaką figurę tworzy zbiór wszystkich kombinacji wypukłych
wektorów [0, 0]T, [1, 1]T, [2, 2]T?
– Jaką figurę tworzy zbiór wszystkich kombinacji wypukłych
wektorów [0, 0, 0]T, [1, 1, 1]T?
– Jaką figurę tworzy zbiór wszystkich kombinacji wypukłych
wektorów [0, 0]T, [1, 0]T, [31/2, 0]T?
– Jaką figurę tworzy zbiór wszystkich kombinacji wypukłych
wektorów [0, 0, 0]T, [1, 1, 1]T, [2, 2, 2]T?
5
W#3
– Jakie są współrzędne środka odcinka o wierzchołkach
w punktach o współrzędnych [1, 3]T, [3, 1]T?
– Jakie są współrzędne środka trójkąta (równobocznego)
w punktach o współrzędnych [0, 0]T, [1, 0]T, [0.5, 31/2]T?
6
W#4
– Jaka jest interpretacja geometryczna operacji polegającej
na przemnoŜeniu wektora [x, y]T przez macierz [2 0; 0 2]?
– Jakie figury nie zmienią swojego kształtu po transformacji
polegającej na przemnoŜeniu ich wszystkich wektorów
składowych przez macierz [2 0; 0 1]?
– Jakie figury nie zmienią swojego połoŜenia ani kształtu po
transformacji polegającej na przemnoŜeniu ich wszystkich
wektorów składowych przez macierz [1 0; 0 2]?
– Jaka jest interpretacja geometryczna operacji polegającej
na przemnoŜeniu wektora [x, y]T przez macierz [0 1; 1 0]?
7
W#4
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Czy 5 jest wartością własną macierzy [2 2; 3 1]?
Czy jakaś wartość macierzy [3 2; 1 2] jest jej wartością własną?
Jakie są wartości własne macierzy [3 1; 2 2]?
Jakie są wartości własne macierzy [2 1; 1 2]?
Jakie są wartości własne macierzy [1 1; 1 1]?
Jakie są wartości własne macierzy [3 0; 0 2]?
Jakie są wartości własne macierzy [1 0; 0 1]?
*Jakie są wartości własne macierzy I?
Jakie są wartości własne macierzy [0 0; 0 0]?
*Jakie są wartości własne macierzy O?
8
W#5
– Wartościami własnymi pewnej macierzy są 1 i 4
• jaki jest wyznacznik tej macierzy?
• jaki jest ślad tej macierzy?
• jaki jest rząd tej macierzy?
9
W#5
– Czym musi się charakteryzować widmo macierzy A aby istniał
taki niezerowy wektor x, Ŝe Ax = x?
– Jaki niezerowy wektor nie ulega zmianie po przemnoŜeniu przez
macierz [2 1; 1 2]?
– Jakie są wektory własne macierzy [3 1; 2 2]?
– Jakie są wektory własne macierzy [2 1; 1 2]?
– Jakie są wektory własne macierzy [1 1; 1 1]?
– Jakie są wektory własne macierzy [3 0; 0 2]?
– Jakie są wektory własne macierzy [1 0; 0 1]?
– *Jakie są wektory własne macierzy I?
– Jakie są wektory własne macierzy [0 0; 0 0]?
– *Jakie są wektory własne macierzy O?
10
W#6
– Wartościami własnymi pewnej macierzy są 1 i 3,
a odpowiadającymi im wektorami własnymi [1, –1]T i [1, 1]T.
Jak przedstawia się rozkład EVD tej macierzy?
– *Wartościami własnymi pewnej macierzy są a i b,
a odpowiadającymi im wektorami własnymi [α, –α]T i [β, β]T
dla α ≠ 0 i β ≠ 0. Jak przedstawia się rozkład EVD tej macierzy?
11
W#6
–
–
–
–
–
–
–
–
Jaki jest rozkład EVD macierzy [3 1; 2 2]?
Jaki jest rozkład EVD macierzy [2 1; 1 2]?
Jaki jest rozkład EVD macierzy [1 1; 1 1]?
Jaki jest rozkład EVD macierzy [3 0; 0 2]?
Jaki jest rozkład EVD macierzy [1 0; 0 1]?
*Jaki jest rozkład EVD macierzy I?
Jaki jest rozkład EVD macierzy [0 0; 0 0]?
*Jaki jest rozkład EVD macierzy O?
12
W#7
Jaki jest iloczyn skalarny wektorów [1 2]T i [2 1]T?
Jaki jest iloczyn skalarny wektorów [1 2]T i [–2 –1]T?
Jaki jest iloczyn skalarny wektorów [–1 2]T i [–2 1]T?
Jaki jest iloczyn skalarny wektorów [1 2]T i [–2 1]T?
Jaki jest iloczyn skalarny wektorów [1 2]T i [2 –1]T?
Które z wyraŜeń: aTb i abT przedstawia iloczyn skalarny
wektorów a i b?
– Jaki jest iloczyn skalarny wektorów 0 i 1?
– Jakie są iloczyny skalarne wierszy macierzy I3x3?
– Jakie są iloczyny skalarne kolumn macierzy I3x3?
–
–
–
–
–
–
13
W#7
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Jaki wektor jest ortogonalny do wektora [1 2]T?
Jaki wektor jest ortogonalny do wektora [1 1]T?
Jaki wektor jest ortogonalny do wektora [1 0]T?
Jaki wektor jest ortogonalny do wektora [α α]T?
Dla jakich wartości α i beta wektory [α 0]T i [0 β]T są
ortogonalne?
Czy istnieje wektor jednocześnie ortogonalny do wektorów
[0 1]T i [1 0]T?
Czy istnieje wektor jednocześnie ortogonalny do wektorów
[0 0 1]T i [0 1 0]T?
Jaki zbiór tworzą wektory ortogonalne do [1 0 0]T?
*Jaki wektor jest ortogonalny do wektora 0?
*Jaki wektor jest ortogonalny do wektora [1 1 1 1 1 1]T?
14
W#7
– Jaka jest norma wektora [3 4]T?
– Jaka jest unormowana postać wektora [3 4]T?
– Jaka jest unormowana postać wektora [α 0 0 0]T? dla róŜnych
wartości α? Czy wszystkie takie wektory moŜna unormować?
– Dla jakich wartości α i beta wektory [α 0]T i [0 β]T są
ortonormalne?
– Jaki zbiór tworzą unormowane wektory ortogonalne do [1 0 0]T?
– *Jaki zbiór tworzą unormowane wektory ortogonalne do 0?
15
W#8
– Jakie współrzędne ma wektor [2 2]T (w standardowym układzie
współrzędnych) w układzie o środku w [0 0]T i wersorach
[1 1]T i [1 −1]T?
– Jakie współrzędne w układzie standardowym ma wektor
o współrzędnych [2 2]T w układzie współrzędnych o środku
w [0 0]T i wersorach [1 1]T i [1 −1]T?
16
W#8 (elementy PCA)
– Dana jest macierz X ze współrzędnymi m punktów pewnej figury
oraz macierz kowariancji SX, = XTX/m, której wartości własne
wynoszą: 9, 2, 1 i 0
• jaka jest liczba (oryginalnych) zmiennych opisujących punkty tej
figury? (czyli kolumn macierzy X)
• jaka jest suma wariancji (oryginalnych) zmiennych opisujących
punkty tej figury? (czyli kolumn macierzy X)
• *jaki jest górny limit wariancji (oryginalnych) zmiennych opisujących
punkty tej figury? (czyli kolumn macierzy X)
17
W#8 (elementy PCA)
– Dana jest macierz X ze współrzędnymi m punktów pewnej figury
oraz macierz kowariancji SX, = XTX/m, której wartości własne
wynoszą: 9, 2, 1 i 0, oraz macierz Y = XK, gdzie K jest macierzą
(wszystkich) wektorów własnych macierzy SX odpowiadających
wymienionym wartościom własnym
• jaka jest liczba powstających zmiennych opisujących punkty tej
figury? (czyli kolumn macierzy Y)
• jaka jest suma wariancji nowych zmiennych opisujących punkty tej
figury? (czyli kolumn macierzy Y)
• jakie są wariancje nowych zmiennych opisujących punkty tej figury?
(czyli kolumn macierzy Y)
18
W#8 (elementy PCA)
– Dana jest macierz X ze współrzędnymi... (c.d.)
• w ilu wymiarach faktycznie „rezyduje” figura złoŜona
z punktów opisanych w macierzy X? (czyli: do ilu wymiarów
moŜna zredukować przestrzeń opisu bez Ŝadnej straty na
wariancji?)
• jaki procent wariancji tracimy redukując trzy nowe zmienne
(czyli kolumny macierzy Y) i które trzy zmienne naleŜy wtedy
usunąć?
• ile nowych zmiennych (czyli kolumn macierzy Y) moŜna
zredukować ze stratą na wariancji nie przekraczającą 20%?
19
W#8 (elementy PCA)
– Dana jest macierz X ze współrzędnymi... (c.d.)
• czy moŜna przedstawić punkty z macierzy X na wykresie rozrzutu
– trójwymiarowym bez strat na wariancji?
(a jeŜeli nie, to z jaką stratą naleŜy się liczyć?)
– dwuwymiarowym bez strat na wariancji?
(a jeŜeli nie, to z jaką stratą naleŜy się liczyć?)
– jednowymiarowym bez strat na wariancji?
(a jeŜeli nie, to z jaką stratą naleŜy się liczyć?)
20
W#9 (elementy PCA)
– Dana jest macierz ortogonalna K, której kolumny reprezentują
wersory pewnego układu współrzędnych
• jakie będą współrzędne wektora x (zadanego w układzie
standardowym) w układzie o środku w 0 i wersorach z macierzy K?
• jakie będą współrzędne wektorów reprezentowanych przez wiersze
macierzy X (zadanych w układzie standardowym) w układzie
o środku w 0 i wersorach z macierzy K?
21
W#9 (elementy PCA)
– Dana jest macierz (oryginalnych zmiennych) X oraz jej macierz
kowariancji SX, dla której uruchomiono procedurę PCA,
generując macierz (nowych zmiennych) Y oraz macierze
L i K. Jakie są związki/podobieństwa między
• macierzami X i Y
• macierzami Y i L
• macierzami SX i L
22
W#9 (elementy PCA)
– Dane są wektory x i y, o których wiadomo, Ŝe są w przybliŜeniu
zaleŜne liniowo. Jak wykorzystać procedurę PCA do
• znalezienia zaleŜności pomiedzy tymi wektorami?
• oszacowania niedokładności tej zaleŜności?
23
W#10 SVD
– (pominięty)
24
W#11
– Jaka jest odległość euklidesowa w przestrzeni 3-wymiarowej
pomiędzy punktami o współrzędnych wyraŜonych przez
elementy wektorów
• xT = [1, 2, 3] i yT = [1, 2, 3]?
• xT = [1, 2, 3] i yT = [3, 2, 1]?
– *Jaka jest odległość euklidesowa w przestrzeni n-wymiarowej
pomiędzy punktami o współrzędnych wyraŜonych przez
elementy wektorów
•
•
•
•
xT = 1T i yT = 1T?
xT = 0T i yT = 1T?
xT = 0T i yT = n·1T?
xT = 1T i yT = n·1T?
25
W#11
– Dana jest macierz X o rozmiarach mxn z opisami obiektów
(dane w wierszach) oraz macierz odległości D między tymi
obiektami
• jakie są rozmiary macierzy D?
• jakie są podstawowe właściwości macierzy D?
26
W#11 (elementy MDS, wykorzystanie EVD)
– Dana jest macierz odległości D pomiędzy pewnymi obiektami
• jak jak przedstawia się procedura tworzenia wykresu rozrzutu
dla tych obiektów?
– jakie macierze są generowane w ramach tej procedury?
• jakie wskaźniki pozwalają ocenić jakość utworzonego wykresu?
• *dla jakich macierzy D jakość ta będzie idealna?
27
W#11
– Jaka jest wartość normy Frobeniusa macierzy [3 –1; –2 2]?
– Jaka jest wartość normy Frobeniusa macierzy [1 0; 0 1]?
– Jaka jest wartość normy Frobeniusa macierzy
• O o rozmiarach mxn?
• I o rozmiarach mxm?
• 11T o rozmiarach mxm?
– Dla jakich macierzy X
• wartość normy Frobeniusa macierzy X–X jest zerowa?
• wartość normy Frobeniusa macierzy I–X jest zerowa?
• wartość normy Frobeniusa macierzy X–I jest zerowa?
28
W#11 (elementy MDS, wykorzystanie PNL)
– Dana jest macierz odległości D o rozmiarach mxm pomiędzy
pewnymi obiektami
• jak przedstawia się przykładowy problem programowania
nieliniowego pozwalający na utworzenie wykresu rozrzutu
dla tych obiektów?
– jakie są podstawowe parametry tego problemu
(liczba zmiennych, liczba ograniczeń)?
• jaki wskaźnik pozwala ocenić jakość utworzonego wykresu?
• *dla jakich macierzy D jakość ta będzie idealna?
29
W#12
– Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości a
• jaka jest długość wysokości tego trójkąta?
• jaka jest suma odległości środka trójkąta od jego boków?
• jaka jest suma odległości dowolnego punktu trójkąta od jego
boków?
30
W#12
– Dane są wektory x ≥ 0, y ≥ 0 i z ≥ 0 spełniające x + y + z = n·1
(gdzie n > 0)
• jak przeliczyć trójki wartości tych wektorów na pary współrzędnych
(pewnych) punktów na płaszczyźnie?
• czy wynikająca z powyŜszego przekształcenia redukcja wymiarów
(z trzech do dwóch) wiąŜe się ze stratą na wariancji? (a jeŜeli tak,
to z jak wielką?)
31