Algebra abstrakcyjna i liniowa lista 10
Transkrypt
Algebra abstrakcyjna i liniowa lista 10
Algebra abstrakcyjna i liniowa lista 10 - 22 kwietnia 2007 I rok informatyki, IZ Temat: przestrzeń euklidesowa, iloczyn skalarny, baza ortonormalna, ortogonalizacja GramaSchmidta, rzut ortogonalny, forma kwadratowa. 1. Niech x = [x1 , x2 ]T , y = [y1 , y2 ]T ∈ R2 . Czy wyrażenie < x, y >= 5x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 10x2 y2 definiuje iloczyn skalarny w R2 ? 2. Dane są następujące wartości iloczynów skalarnych i norm wektorów u, v, w < u, v >= 2, < v, w >= −3, < u, w >= 5, ||u|| = 1, ||v|| = 2, ||w|| = 3. Oblicz wartość następujących iloczynów skalarnych i norm: < 2v −w, 3u+2w >, √ Przypomnienie. ||u|| = < u, u >. < u−v −2w, 4u+v >, < u+v, v +w >, ||u+v||, ||2w −v||. 3. Udowodnij następujący związek między normami ||u + v||2 + ||u − v||2 = 2||u||2 + 2||v||2 . 4. Niech < u, v >= 0. Udowodnij, że ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2 . 5. Niech p(x) i q(x) będą wielomianami z przestrzeni liniowej P2 wielomianów stopnia ¬ 2 o współczynnikach rzeczywistytch. Pokaż, że < p, q >= p(0)q(0) + p(1/2)q(1/2) + p(1)q(1) definiuje iloczyn skalarny w P2 . Uwaga. W następnych zadaniach rozważa się standardowy iloczyn skalarny w Rn : < x, y >= y T x. 6. Dla jakich wartości parametru k wektor u jest prostopadły do wektora v: (a) u = [2, 1, 3]T , v = [1, 7, k]T , (b) u = [k, k, 1]T , v = [k, 5, 6]T . 7. Wyznaczyć w przestrzeni euklidesowej R4 wektory o normie 1, które są prostopadłe do następujących trzech wektorów: u = [2, 1, −4, 0]T , v = [−1, −1, 2, 2]T , w = [3, 2, 5, 4]T 8. Czy następujące układy wektorów tworzą bazę ortonormalną przestrzeni R3 : (a) [ √12 , 0, √12 ]T , −1 T [ √13 , √13 , √ ] , 3 −1 [√ , 0, √12 ]T , 2 1 1 T T (b) [ 23 , −2 [ 23 , 31 , −2 [ 13 , 32 , 23 ]T , 3 , 3] , 3 ] , (c) [1, 0, 0]T , [0, 0, 1], [0, 21 , 12 ]T . 9. Zastosować ortogonalizacje Grama-Schmidta do przekształcenia bazy u1 = [1, 1, 1]T , u2 = [−1, 1, 0]T , u3 = [1, 2, 1]T . przestrzeni R3 w bazę ortonormalną. 10. Wyznaczyć współrzędne wektora v = [2, −1, 3]T w bazie u1 = [1, 0, 0]T , u2 = [2, 2, 0]T , u3 = [3, 3, 3]T . To samo wykonać dla: v = [5, −12, 3]T , u1 = [1, 2, 3]T , u2 = [−4, 5, 6]T , u3 = [7, −8, 9]T . 11. Niech S będzie podprzestrzenią liniową rozwiązań układu Ax = 0. Udowodnić, że wektor x należy do S wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadły do każdego wiersza macierzy A. 12. Sprawdzić, czy wektor v = [2, −3, 0]T ∈ R3 jest prostopadły do każdego wektora z podprzestrzeni W = {[x1 , x2 , x3 ]T : 2x1 = 3x2 = 5x3 }. 13. Wyznaczyć dowolną bazę podprzestrzeni W = {[x1 , x2 , x3 , x4 ]T ∈ R4 : 2x1 + 3x3 + x4 = 0, x1 − x2 − x3 + x4 = 0}. Następnie za pomocą ortogonalizacji Grama-Schmidta wyznaczyć bazę ortonormalną. 14. Niech podprzestrzeń liniowa W przestrzeni R3 będzie rozpięta (generowana) przez wektory: [2, 1, 3]T , [1, 6, 2]T . Wyznaczyć bazę ortonormalną podprzestrzeni W za pomocą ortogonalizacji Grama-Schmidta. 15. Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora v = [−1, 2]T na podprzestrzeń liniową: W = {[x1 , x2 ]T : x1 − 3x2 = 0}. 16. Znaleźć macierz A następującej formy kwadratowej: xT Ax = 3x21 + 4x1 x2 − 2x22 . 17. Znaleźć formę kwadratową xT Ax, która ma następującą macierz 0 −2 −2 3 1 . A = −2 −2 1 −1 Czy ta forma kwadratowa jest dodatnio określona? Literatura pomocnicza: 1. J. Klukowski, I. Nabiałek, Algebra dla studentów, WNT, Warszawa 2005. 2. T. Jurlewicz, Zb. Skoczylas, Algebra Liniowa 2, GIS, Wrocław. 3. H. Anton, Ch. Rorres, Elementary linear algebra. Applications version, Wiley 1995. Krystyna Ziętak 2