Kolokwium II z algebry, 16 stycznia 2017 Proszę wybrać 5 - E-SGH

Kolokwium II z algebry, 16 stycznia 2017
Proszę wybrać 5 zadań.
Imię i nazwisko
Nazwisko prowadzącej ćwiczenia

1. Dana jest macierz A =




Nr albumu

2
3 1 

.
1
2 1 

−1 −1 0
a) Wyznaczyć wartości własne macierzy A oraz wektor własny odpowiadający największej wartości
własnej.
b) Wyznaczyć wartości własne macierzy B = A2 − 2A − I. Czy macierz B jest nieosobliwa?
Odpowiedź uzasadnić.
2. Przekształcenie liniowe f : W2 (R) → W2 (R) dane jest wzorem f (ϕ)(t) = ϕ(2 − t).
a) Wyznaczyć wartości własne f oraz ich krotności algebraiczne i geometryczne.
b) Czy istnieje taki niezerowy wielomian φ ∈ W2 (R), że f (φ)(t) = 3φ(t)? Odpowiedź uzasadnić.
3. Funkcjonał dwuliniowy g : R3 × R3 → R dany jest wzorem
g(x, y) = 2x1 y1 + 2x2 y2 + 2x3 y3 + x1 y3 + x2 y3 + x3 y1 + x3 y2 .
a) Wyznaczyć bazę R3 , w której g ma macierz diagonalną.


b) Wykazać, że g jest iloczynem skalarnym i obliczyć 


1
1
1



 ,
 g
gdzie k · kg jest normą indukowaną
przez iloczyn skalarny g.
√
4. Dane są takie wektory x, y, że kxk = 2 2, kyk = 1 oraz kąt między x i y ma miarę 14 π.
a) Obliczyć cosinus kąta między wektorami a i b, jeśli a = x − y, b = x + 3y.
b) Dla jakiej wartości parametru α ∈ R wektory c = x i d = x + αy są ortogonalne?
5. Zbadać rodzaj określoności formy f : R3 → R, f (x) = mx21 + mx22 + 2x23 + 2x1 x2 − 2x1 x3
w zależności od wartości parametru m ∈ R.
6. Dana jest podprzestrzeń W = {x ∈ R3 : x1 + 2x2 − x3 = 0} przestrzeni R3 z iloczynem skalarnym
(x|y) = xT y.
a) Wyznaczyć bazę ortogonalną podprzestrzeni W .
b) Wyznaczyć bazę ortonormalną podprzestrzeni W .
c) Sprawdzić, czy wektor y = [2 2 − 2]T należy do podprzestrzeni W ⊥ .
Kolokwium II z algebry, 16 stycznia 2017
Proszę wybrać 5 zadań.
Imię i nazwisko
Nazwisko prowadzącej ćwiczenia



1. Dana jest macierz A = 

Nr albumu

2 1 −1 

.
3 2 −1 

1 1
0
a) Wyznaczyć wartości własne macierzy A oraz wektor własny odpowiadający największej wartości
własnej.
b) Wyznaczyć wartości własne macierzy B = A2 − 2A − 2I. Czy macierz B jest nieosobliwa?
Odpowiedź uzasadnić.
2. Przekształcenie liniowe f : W2 (R) → W2 (R) dane jest wzorem f (ϕ)(t) = ϕ(3 − t).
a) Wyznaczyć wartości własne f oraz ich krotności algebraiczne i geometryczne.
b) Czy istnieje taki niezerowy wielomian φ ∈ W2 (R), że f (φ)(t) = −φ(t)? Odpowiedź uzasadnić.
3. Funkcjonał dwuliniowy g : R3 × R3 → R dany jest wzorem
g(x, y) = 2x1 y1 + 4x2 y2 + 2x3 y3 − 2x1 y2 − 2x2 y1 − x2 y3 − x3 y2 .
a) Wyznaczyć bazę R3 , w której g ma macierz diagonalną.


b) Wykazać, że g jest iloczynem skalarnym i obliczyć 


1
0
1



 ,
 g
gdzie k · kg jest normą indukowaną
przez iloczyn skalarny g.
√
4. Dane są wektory x, y, takie że kxk = 1, kyk = 2 3 oraz kąt między x i y ma miarę 61 π.
a) Obliczyć cosinus kąta między wektorami a i b, jeśli a = 2x − y, b = x + y.
b) Dla jakiej wartości parametru α ∈ R wektory c = αx − y i d = y są ortogonalne?
5. Zbadać rodzaj określoności formy f : R3 → R, f (x) = mx21 + mx22 + 2x23 − 2x1 x2 + 2x2 x3
w zależności od wartości parametru m ∈ R.
6. Dana jest podprzestrzeń W = {x ∈ R3 : x1 − x2 + 2x3 = 0}.
a) Wyznaczyć bazę ortogonalną podprzestrzeni W .
b) Wyznaczyć bazę ortonormalną podprzestrzeni W .
c) Sprawdzić, czy wektor y = [2 − 1 1]T należy do podprzestrzeni W ⊥ .