Kolokwium II z algebry Studia stacjonarne SGH 14 stycznia 2013

Kolokwium II z algebry
Studia stacjonarne SGH
14 stycznia 2013
Imię i Nazwisko
Grupa
Nr indeksu
1. Dany jest funkcjonał dwuliniowy g : R3 × R3 → R,
g(x, y) = 2x1 y1 + 3y2 x2 + 2y3 x3 − x1 y2 − x2 y1 + x3 y2 + x2 y3 .
a) Wyznaczyć bazę przestrzeni R3 , w której g ma macierz diagonalną.
b) Sprawdzić, czy g jest iloczynem skalarnym.
2. Zbadać, w zależności od wartości parametru m ∈ R, określoność formy kwadratowej
f : R2 → R,
f (x) = (2 − m) x21 − mx22 + 2mx1 x2 .
3. Dane jest przekształcenie liniowe f : R3 → R3 określone wzorem


x2 cos α − x3 sin α


x1
f (x) = 
,
x2 sin α + x3 cos α
gdzie α ∈ R. Obliczyć cosinus kąta między wektorami
f (e1 − e2 ) , f (e1 + 3e2 + e3 ) ,
gdzie e1 , e2 , e3 są wektorami jednostkowymi w przestrzeni R3 .
4. Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora
wektora

 i obliczyć
  odległość
W

 x na podprzestrzeń
1
0
2
1
 

 



x od podprzestrzeni W , gdzie x =  0  , W = L  1  ,  1  ,  2  .
1
−1
−1
1
5. Niech Wm będzie zbiorem określonym układem nierówności:



3x1 + x2 + x3 ¬ 6,
x1 + x3 ¬ m,


x1 ­ 0 , x2 ­ 0, x3 ­ 0.
a) Narysować zbiór W3 .
b) Wyznaczyć w zależności od wartości parametru m ∈ R liczbę wierzchołków zbioru
Wm .
Kolokwium II z algebry
Studia stacjonarne SGH
14 stycznia 2013
Imię i Nazwisko
Grupa
Nr indeksu
1. Dany jest funkcjonał dwuliniowy g : R3 × R3 → R,
g(x, y) = x1 y1 + 3y2 x2 + 2y3 x3 − 2x1 y2 − 2x2 y1 − x3 y2 − x2 y3 .
a) Wyznaczyć bazę przestrzeni R3 , w której g ma macierz diagonalną.
b) Sprawdzić, czy g jest iloczynem skalarnym.
2. Zbadać, w zależności od wartości parametru m ∈ R, określoność formy kwadratowej
f : R2 → R,
f (x) = (m − 2) x21 + mx22 + 2mx1 x2 .
3. Dane jest przekształcenie liniowe f : R3 → R3 określone wzorem


x1 cos α + x2 sin α


x3
f (x) = 
,
x1 sin α − x2 cos α
gdzie α ∈ R. Obliczyć cosinus kąta między wektorami
f (e1 − e2 + 2e3 ) , f (e1 + e3 ) ,
gdzie e1 , e2 , e3 są wektorami jednostkowymi w przestrzeni R3 .
4. Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora
wektora

 odległość

 x na
 podprzestrzeń
 Wi obliczyć
1
1
1
−1


 
 


x od podprzestrzeni W , gdzie x =  −1  , W = L  2  ,  0  ,  1  .
2
1
0
1
5. Niech Wm będzie zbiorem określonym układem nierówności:



x1 + 2x2 + x3 ¬ 6,
x1 + x3 ¬ m,


x1 ­ 0 , x2 ­ 0, x3 ­ 0.
a) Narysować zbiór W3 .
b) Wyznaczyć w zależności od wartości parametru m ∈ R liczbę wierzchołków zbioru
Wm .