Kolokwium I z algebry i analizy matematycznej Szkoła - E-SGH

Kolokwium I z algebry i analizy matematycznej
Szkoła Główna Handlowa
7 kwietnia 2016
Imię i Nazwisko
Grupa
Nr albumu
1. Niech g : R3 × R3 → R, będzie funkcjonałem dwuliniowym określonym wzorem
g(x, y) = x1 y1 − 2x2 y2 + 3x3 y3 + 2x1 y2 + 2x2 y1 − 2x2 y3 − 2x3 y2 .
a) Wyznaczyć macierz g w bazie kanonicznej przestrzeni R3 .
b) Wykazać, że g jest funkcjonałem symetrycznym.
c) Wyznaczyć bazę R3 , w której g ma macierz diagonalną.

1
2
2. Dana jest macierz A =  √0

3
2
√

0 − 23

1
0 .
1
0
2
a) Wykazać, że A jest macierzą ortogonalną.




1
−1




b) Obliczyć cosinus kąta między wektorami a = Ax i b = Ay, gdzie x =  1 , y =  1  .
1
1
3. Niech
n
o
X = x ∈ R4 : x1 + x2 − x3 − x4 = 0 .
Wyznaczyć bazę ortogonalną podprzestrzeni X.
4. Dana jest podprzestrzeń
n
o
X = x ∈ R3 : x1 + 2x2 − x3 = 0
i wektor x =
h
1 1 1
iT
.
a) Wyznaczyć rzut ortogonalny x̂ wektora x na podprzestrzeń W .
b) Obliczyć odległość wektora x od podprzestrzeni W.
c) Obliczyć odległość wektora y = 2x od podprzestrzeni W.




−1
2




5. Niech a =  −1 , b =  1 .
1
2
a) Wyznaczyć równanie parametryczne odcinka łączącego punkty a i b.
b) Czy odcinek wyznaczony w podpunkcie a) ma punkty wspólne z płaszczyzną o równaniu
x1 + 2x2 + x3 = −1? Odpowiedź uzasadnić.
c) Które punkty z odcinka łączącego punkty a i b należą do zbioru
n
o
W = x ∈ R3 : |x1 + 2x2 | + x3 ¬ 3 ?
Odpowiedź uzasadnić.
Kolokwium I z algebry i analizy matematycznej
Szkoła Główna Handlowa
7 kwietnia 2016
Imię i Nazwisko
Grupa
Nr albumu
1. Niech g : R3 × R3 → R, będzie funkcjonałem dwuliniowym określonym wzorem
g(x, y) = x1 y1 − 2x2 y2 + 2x3 y3 − 2x1 y3 − 2x3 y1 − 3x2 y3 − 3x3 y2 .
a) Wyznaczyć macierz g w bazie kanonicznej przestrzeni R3 .
b) Wykazać, że g jest funkcjonałem symetrycznym.
c) Wyznaczyć bazę R3 , w której g ma macierz diagonalną.

1
0

1
2. Dana jest macierz A =  0 −
√2
0 23
0
√
3
2
1
2


.
a) Wykazać, że A jest macierzą ortogonalną.




1
1




b) Obliczyć cosinus kąta między wektorami a = Ax i b = Ay, gdzie x =  1 , y =  1  .
−1
1
3. Niech
n
o
X = x ∈ R4 : x1 − x2 − x3 + x4 = 0 .
Wyznaczyć bazę ortogonalną podprzestrzeni X.
4. Dana jest podprzestrzeń
n
o
X = x ∈ R3 : −x1 + x2 − 2x3 = 0
i wektor x =
h
1 1 1
iT
.
a) Wyznaczyć rzut ortogonalny x̂ wektora x na podprzestrzeń W .
b) Obliczyć odległość wektora x od podprzestrzeni W.
c) Obliczyć odległość wektora y = 3x od podprzestrzeni W.




1
1




5. Niech a =  2 , b =  −2 .
−1
1
a) Wyznaczyć równanie parametryczne odcinka łączącego punkty a i b.
b) Czy odcinek wyznaczony w podpunkcie a) ma punkty wspólne z płaszczyzną o równaniu
x1 + 2x2 + x3 = 2? Odpowiedź uzasadnić.
c) Które punkty z odcinka łączącego punkty a i b należą do zbioru
n
o
W = x ∈ R3 : |3x1 + x2 | + x3 ¬ 4 ?
Odpowiedź uzasadnić.