wersja skrócona

Laboratorium z matematyki finansowej / LN / NE FiR
Literatura
M. Dobija, E. Smaga (1995). Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej. WN PWN,
Warszawa.
M. Podgórska, J. Klimkowska (2005). Matematyka finansowa. WN PWN, Warszawa.
K. Piasecki, W. Ronka-Chmielowiec (2011). Matematyka finansowa. Wydawnictwo C.H. Beck.
M. Sobczak (2008). Matematyka finansowa. Wydawnictwo PLACET, Warszawa.
Oznaczenia, definicje i konwencje
O ile nie jest wyraźnie określone, że ma być inaczej, obowiązuje tzw. czas bankowy, a stopa
procentowa podawana jest w skali roku. Dni założenia i likwidacji lokaty nie są uwzględniane przy
dopisywaniu odsetek przez bank, natomiast są uwzględniane w przypadku brania kredytu od banku.
Końcowy wynik obliczeń finansowych podaje się zazwyczaj do dwóch miejsc po przecinku
(w zaokrągleniu do jednego grosza).
Rok według czasu bankowego trwa 360 dni (12 miesięcy po 30 dni każdy).
FV – wartość przyszła (future value) kapitału. PV – wartość bieżąca (present value) kapitału.
ଵ
1% = 0,01; promil – ଵ଴ % = 0,001.
- stopa procentowa; ௘௙ – efektywna stopa procentowa; ௡௢௠ - nominalna stopa procentowa;
- czas (wyrażany w latach); ௧ = () – wartość kapitału w chwili ;
– liczba okresów kapitalizacji (w okresie jednego roku).
Procent prosty (kapitalizacja prosta) – do obliczania odsetek uwzględnia się tylko kapitał początkowy
(bez odsetek z odsetek) – = 0(1 + ).
Procent składany (kapitalizacja złożona) – odsetki podlegają kapitalizacji (są doliczane do kapitału od
którego oblicza się odsetki).
Model kapitalizacji złożonej:
• z dołu: odsetki są dopisywane pod koniec okresu kapitalizacji – = 01 + /௠௧ .
• z góry (odsetki dopisuje się na początku okresu kapitalizacji) – = 01 − /ି௠௧ .
• ciągły (odsetki dopisuje się według wzoru = 0 ௧௥ ).
‫݊ ݔ‬
lim݊→∞ 1 + ݊ = ௫ , gdzie ≈ 2,71828 - stała Eulera.
௥ ଶ௧
1 + ௧ ≤ 1 + ଶ
௧௥ ≤ ⋯ ≤ 1 − ଷ଺଴
௥
௥ ସ௧
≤ 1 + ସ
ିଷ଺଴௧
௥ ଵଶ௧
≤ 1 + ଵଶ
≤ 1 + ଷ଺଴
௥
ଷ଺଴௧
≤ ⋯ ≤ ௧௥
≤ ⋯ ≤ 1 − ି௧ etc.
Dyskonto proste – to wartość o jaką należy potrącić wartość przyszłą kapitału, aby otrzymać wartość
bieżącą kapitału. Dyskontowanie jest operacją odwrotną do oprocentowania prostego. Innymi
słowy, dyskontowanie umożliwia odpowiedź na pytanie, ile trzeba mieć obecnie, aby w
ி௏
௥௧
przyszłości otrzymać określoną z góry kwotę. ௣ = − = − ଵା௥௧ = ଵା௥௧.
Dyskonto składane – odwrotność oprocentowania składanego. ௦ = 1 − ሺଵା௥ሻ೟.
ଵ
Dyskonto handlowe – metoda oprocentowania wkładu pieniężnego, w której odsetki naliczane są na
początku okresu na podstawie wartości przyszłej. Stosuje się je np. w przypadku rachunku weksli
lub bonów skarbowych.
Renta – ciąg wpłat/wypłat dokonywanych w regularnych odstępach czasu (zwanych inaczej ratami).
ଵି௥ ೙
ଵ
Dla || < 1 1 + + ଶ + ⋯ + ௡ିଵ = ௡ିଵ =
. ஶ = lim௡→ஶ ௡ =
.
ଵି௥
ଵି௥
Przykłady
1. Dla pewnego towaru wzrosła o 16 punktów procentowych stawka podatku od towarów i usług
(VAT): z 7% na 23%. O ile procent wzrosła końcowa cena tego towaru?
Odp. - cena towaru bez podatku VAT. ∗ (1,07) - stara cena, ∗ (1,23) - nowa cena.
௑∗ଵ,ଶଷି௑∗ଵ,଴଻
ଵ,ଵ଺
=
≈ 0,1495 = 14,95%.
௑∗ଵ,଴଻
ଵ,଴଻
2. Założono lokatę w dniu 23 stycznia, a zlikwidowano ją 18 października. Obliczyć czas trwania
lokaty według czasu bankowego (uwaga: dzień założenia i likwidacji lokaty nie jest
uwzględniany).
Odp. Według czasu bankowego lokata trwała przez 7 dni stycznia (24, 25, …, 30), 8 pełnych miesięcy
(po 30 dni) i 17 dni października. Czyli = 264/360 ≈ 0,7333.
3. Wpłacono z dniem 23 stycznia na lokatę 2 tys. zł. W dniu 18 października lokata ta była warta
2059 zł. Obliczyć stopę oprocentowania lokaty (przy modelu kapitalizacji prostej).
Odp. 20001 + 0,7333 = 2059 Stąd ≈ 4%.
4. Wpłacono na lokatę 1000 zł. Obliczyć wartość lokaty po 4 latach przy = 6,5% dla: a) modelu
kapitalizacji prostej; b) dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu; c) dla modelu kapitalizacji z dołu
z kwartalnym okresem kapitalizacji; d) dla modelu kapitalizacji złożonej z góry z miesięcznym
okresem kapitalizacji; e) dla modelu kapitalizacji ciągłej.
Odp. a) 4 = 10001 + 0,065 ∗ 4 = 1260;
b) 4 = 10001,065ସ ≈ 1286,47;
଴,଴଺ହ ଵ଺
ସ
ସ∗଴,଴଺ହ
c) 4 = 1000 1 +
e) 4 = 1000
≈ 1294,22;
d) 4 = 1000 1 −
଴,଴଺ହ ିସ଼
ଵଶ
≈ 1297,85;
≈ 1296,93.
5. Ile lat i miesięcy musi minąć aby wartość lokaty się podwoiła, jeśli obowiązuje model kapitalizacji
miesięcznej złożonej z dołu, przy = 6% ?
Odp. 1 +
଴,଴଺ ௡
ଵଶ
≥ 2. Stąd ≥ log2 /log (1,005) ≈ 139. Czyli (przynajmniej) 11 lat i 7 miesięcy.
6. Ile trzeba wpłacić na lokatę oprocentowaną na 6% aby po pół roku otrzymać 1500 zł, jeśli
obowiązuje a) kapitalizacja prosta; b) kapitalizacja miesięczna z dołu.
Odp. a) = 1500/(1 + 0,06 ) ≈1456,31 b) = 1500/ 1 +
ଵ
ଶ
଴,଴଺ ଺
ଵଶ
≈ 1477,70.
7. Obliczyć przeciętną roczną stopę oprocentowania lokaty, jeśli bank zmieniał oprocentowanie lokaty
przy miesięcznej kapitalizacji lokaty z dołu co kwartał: W I kwartale = 6%, w II kwartale
= 4,5%, a w III i IV kwartale = 3%
Odp. 1 +
଴,଴଺ ଷ
଴,଴ସହ ଷ
଴,଴ଷ ଺
1
+
1
+
ଵଶ
ଵଶ
ଵଶ
௥ҧ ଵଶ
= 1 + ଵଶ
భ
Stąd ≈ 121,04203భమ − 12 ≈ 0,041.
8. Zainwestowano fundusze w inwestycję, która będzie przynosić 6% zysku rocznie. Jaka będzie
planowana realna roczna stopa zwrotu z tej inwestycji po dwóch latach, przy założeniu, że inflacja
w pierwszym roku wyniesie 3,5% a w drugim 2,8%?
Odp. 2 = 0 ሺଵା଴,଴ଷହሻ∙(ଵା଴,଴ଶ଼) = 01 + ௘௙ Stąd ௘௙ = 2,76%.
ሺଵା଴,଴଺ሻమ
ଶ
9. Wpłacamy na konto oprocentowane na = 5% przy kapitalizacji kwartalnej z dołu a) na początku
pierwszego kwartału 300 zł, na początku drugiego 500 zł, trzeciego 150 zł i odpowiednio
czwartego 250 zł; b) na początku każdego kwartału 300 zł. Obliczyć stan konta po roku.
௥ ସ
௥ ଷ
Odp. a) (1) = ଵ 1 + ସ + ଶ 1 + ସ + ⋯ + ସ 1 + ସ ≈ 1241,17;
௥ ସ
௥ ଷ
௥
b) = 1 + ସ + 1 + ସ + ⋯ + (1 + ସ) = 300
௥
ଵି௦ర
ଵି௦
≈ 1237,97, gdzie = 1 + ସ.
௥
10. Wpłacamy na konto oprocentowane na = 5% przy kapitalizacji miesięcznej z dołu pod koniec
każdego miesiąca 100 zł. Po ilu miesiącach stan konta przekroczy 10 000 zł?
Odp. ௡ିଵ + ௡ିଶ + ⋯ + + = ௥
1 − (1 + ଵଶ)௡ <
ଵ଴଴଴଴
௥
1 − 1 − ଵଶ,
ோ
ଵି௦೙
ଵି௦
< 10000, gdzie = 1 +
௥
.
ଵଶ
czyli ln 1 + ଵଶ > ln(1 + 100 ଵଶ). Czyli > 83,77.
௥
௥
Zadania
1. O pewne stanowisko ubiega się pięciu kandydatów. Uzyska je ten, kto w pierwszej turze
głosowania dostanie więcej niż 50% ważnych głosów. W przypadku nierozstrzygnięcia pierwszej
tury, odbywa się druga tura głosowania, do której przechodzi tylko dwóch kandydatów którzy
dostali najwięcej głosów w pierwszej turze. W pierwszej turze głosowania oddano łącznie 125 038
głosów, przy czym poszczególni kandydaci dostali (w kolejności malejącej): 59 138, 37 251,
13 752, 3 750 i 1 251 głosów. Ile procent głosów dostali poszczególni kandydaci? Czy druga tura
głosowania jest potrzebna?
2. Ile wynoszą koszta produkcji pewnego towaru, jeśli po doliczeniu do tych kosztów 10% marży
hurtownika, 15% marży detalisty i 23% podatku VAT cena sprzedaży wynosi 140 zł?
3. Odsetki od lokaty założonej w dniu 20 marca przy kapitalizacji prostej i oprocentowanej na 6,5%
w skali roku w dniu 1 października wyniosły 72,22 zł. Obliczyć kapitał początkowy tej lokaty.
4. Odsetki od sumy 1000 zł wpłaconej na lokatę oprocentowanej na 6,5% w skali roku dla kapitalizacji
prostej w dniu 18 września wyniosły 21,67 zł. W jakim dniu założono tą lokatę?
5. Przedsiębiorca otrzymał półroczną pożyczkę w wysokości 20 tys. zł, zobowiązując się spłacać co
miesiąc bieżące odsetki przy rocznej stopie procentowej 15% i zwrócić pożyczkę po pół roku.
Obliczyć wysokość tych odsetek.
6. Pożyczka 2700 zł otrzymana na początku roku ma być spłacona w trzech kolejnych ratach na koniec
marca, lipca i września. W każdej racie ma być spłacona 1/3 początkowej kwoty pożyczki oraz
bieżące odsetki naliczane według kapitalizacji prostej przy miesięcznej stopie procentowej
w wysokości 1,5%. Obliczyć wysokość tych rat.
7. Na rachunek oszczędnościowy oprocentowany na 6% w skali roku wpłacono 1 maja 450 zł, 23 maja
350 zł, 15 czerwca 820 zł i 150 zł 30 czerwca. Obliczyć wartość kapitału na koncie w dniu 1
sierpnia: a) przy kapitalizacji prostej; b) przy kapitalizacji z dołu pod koniec każdego miesiąca.
8. Rachunek oszczędnościowo – rozliczeniowy (ROR) oprocentowany jest na 3%, a kredyt na nim na
-20%. 1 stycznia wpłacono na nie 1000 zł, 2 lutego wypłacono 450 zł, 20 lutego wpłacono 300 zł,
15 marca wypłacono 1000 zł, 15 kwietnia wpłacono 800 zł. Obliczyć jego stan na dzień 1 maja,
jeśli: a) obowiązuje kapitalizacja prosta; b*) odsetki są dopisywane do stanu konta w ostatnim
dniu każdego miesiąca.
9. Oprocentowanie rachunku oszczędnościowego zmieniało się w ciągu roku. W I kwartale = 6,5%,
w II i III = 5%, w IV = 3%. Obliczyć stan konta na koniec roku, gdy na jego początku
wpłacono 1000 zł: a) w przypadku kapitalizacji prostej; b) w przypadku kapitalizacji kwartalnej
złożonej z dołu. Ile wynosi przeciętna roczna stopa oprocentowania w obu tych przypadkach?
10. Obliczyć szereg kolejnych wartości lokaty 15 000 zł w kolejnych latach oprocentowanej na 12% w
przypadku gdy obowiązuje kapitalizacja: a) prosta; b) złożona z dołu, c) miesięczna, złożona z
dołu; d) złożonej z góry. Przedstawić te wartości na wspólnym wykresie.
11. Obliczyć efektywną roczną stopę procentową dla sumy 1000 zł ulokowanej na następujących
lokatach:
a) lokata roczna, odsetki są dopisywane z dołu co kwartał, = 5%;
b) lokata roczna, odsetki są dopisywane z dołu co kwartał, = 5,5%, przy czym odsetki
pomniejsza się o 20% podatek;
c) lokata roczna, odsetki są dopisywane z góry co miesiąc, = 5%, przy czym odsetki pomniejsza
się o 20% podatek;
d) lokata roczna, odsetki są dopisywane z góry codziennie, = 4,5%;
e) lokata roczna, odsetki są dopisywane z góry codziennie, = 9%, przy czym bank na koniec
każdego miesiąca potrąca z niej 5 zł.
12. Znaleźć takie wartości stóp procentowych dla lokat z zad. 11 a) - e), żeby dla kwoty 1000 zł
otrzymać takie same odsetki jak przy kapitalizacji prostej dla = 6%.
13. Jakich wpłat należy dokonać na lokaty określone w zad. 11 a) – e), tak aby dla każdej z nich
otrzymać tyle samo, co w przypadku lokaty 1000 zł dla kapitalizacji prostej dla = 6%.
14. W tabeli obok przedstawiono
wartości inflacji w latach
1980 -2009 w Polsce. Przedstawić
na wykresie: a) realną wartość
miliona złotych z roku 1980 w
tym okresie (po uwzględnieniu
inflacji); b) ile trzeba mieć
pieniędzy w każdym roku, aby ich
siła nabywcza była równoważna
milionowi z roku 1980.
15. Obliczyć średni poziom inflacji
w latach a) 1988-1991; b) 2001 –
2009.
Rok
Inflacja
Rok
Inflacja
Rok
Inflacja
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1%
21,20%
100,80%
22,10%
15,00%
15,10%
17,70%
25,20%
60,20%
639,60%
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
249,30%
60,40%
44,30%
37,60%
29,50%
21,60%
18,50%
13,20%
8,60%
9,80%
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
8,50%
3,60%
0,80%
1,70%
4,40%
0,70%
1,40%
4,00%
3,30%
3,50%
16. Spłata długu ma mieć postać renty składającej się z 30 równych rat płatnych a) co miesiąc z góry;
b) co kwartał z dołu; c) co kwartał z dołu, przy czym pierwsza rata jest płacona dopiero w drugim
kwartale. Obliczyć jakiej wielkości powinny być raty, aby przy = 12% i miesięcznej
kapitalizacji spłacić 10 tys. zł długu.
17. Pewna firma sprzedaje swój towar na kredyt, w postaci 12 miesięcznych rat przy = 6%
(płatnych z dołu) w wysokości 212 zł każda. Jaka powinna być wysokość tych rat by firma dostała
za swój towar zbliżoną cenę, gdyby a) tych rat miało być cztery płatnych co kwartał b) dwie,
płatne po półrocznym okresie zawieszenia, w trzecim i czwartym kwartale. c) Ile miało by być
tych rat, jeżeli klient może płacić co miesiąc po 100 zł?
18. Aby zgromadzić kapitał na zakup mieszkania pewna osoba wpłacała na rachunek w pewnej kasie
oszczędnościowej co miesiąc (z dołu) 500 zł w pierwszym roku, 530 w drugim, 550 w trzecim i
600 w czwartym. W pierwszym roku oprocentowanie rachunku wynosiło 5%, w drugim 4,5%, w
trzecim 4,25%, w czwartym 4%. Ile w ten sposób ta osoba uzbierała przez okres?
19. Kredyt oprocentowany na 12% spłacany jest w postaci 10 rocznych rat, przy czym a) pierwsza rata
wynosi 1500 zł, a każda następna jest większa od poprzedniej o 200 zł. Jaka jest wartość końcowa
tej renty? b) Jaka będzie wartość końcowa tej renty jeśli każda kolejna rata będzie większa od
poprzedniej o 5%?