1 Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej

1
1.1
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej
Pojęcie funkcji
Niech X , Y będą dwoma dowolnymi niepustymi zbiorami.
Definicja 1.1 (Funkcji) Funkcją ( odwzorowaniem ) f określoną na zbiorze X o
wartościach ze zbioru Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y i oznaczamy f : X 7→ Y . Zbiór X
nazywamy dziedziną funkcji (oznaczamy Df = X ), a zbiór Y przeciwdziedziną.
Definicja 1.2 ( Obrazu funkcji) Zbiór wszystkich wartości jakie przyjmuje funkcja f ,
nazywamy obrazem funkcji f i oznaczamy f (X) .
Definicja 1.3 ( Wykresu funkcji ) Wykresem funkcji f : X 7→ Y nazywamy zbiór
{(x, y) ½∈ X × Y ) : y = f (x)}
Definicja 1.4 ( Funkcji tożsamościowej ) Funkcję idX : X 7→ X taką, że
(∀x ∈ X) idX (x) = x nazywamy funkcją tożsamościową.
Definicja 1.5 ( Zwężenia funkcji ) Zwężeniem ( obcięciem ) funkcji f : X 7→ Y
do zbioru
A ½ X nazywamy odwzorowanie f|A : A 7→ Y o wartościach określonych wzorem
(∀x ∈ A) f|A (x) = f (x) .
Przykład 1.1 A = h0, 2
i , X = Y = R, f (x) = sin x .
Definicja 1.6 (Odwzorowania ”na”) Funkcję f nazywamy odwzorowaniem ”na”,
jeżelif (X) = Y .
Przykład 1.2
X = R, Y = h−1, 1i, f (x) = sin x .
Definicja 1.7 ( Odwzorowanie różnowartościowe) Funkcję f nazywamy
różnowartościową w zbiorze X , jeżeli dla każdej pary różnych elementów
x1 , x2 ∈ X , f (x1 ) 6= f (x2 ) .
Przykład 1.3 X = h− 2 , 2 i, Y = R, f (x) = sin x .
Definicja 1.8 (Funkcji wzajemnie jednoznacznej) Funkcję f nazywamy wzajemnie jednoznaczną, jeżeli jest różnowartościowa i ”na”.
Przykład 1.4
X = h− 2 , 2 i, Y = h−1, 1i, f (x) = sin x .
Definicja 1.9 (Funkcji złożonej) Niech będą dane dwie funkcje f : X 7→ Y
i g : Y 7→ Z . Funkcję h : X 7→ Z taką, że (∀ x ∈ X) h(x) = g(f (x)) nazywamy funkcją
złożoną i oznaczamy h = g ± f .
Przykład 1.5 X = Y = Z = R , f (x) = sin x , g(y) = 2y , to h(x) = 2sin x .
1
Definicja 1.10 ( Funkcji odwrotnej) Niech funkcja, f : X 7→ Y będzie odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym. Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję
f −1 : Y 7→ X określoną następująco:
f −1 (y)) = x ⇔ f (x) = y
Przykład 1.6 Funkcję odwrotną do funkcji f (x) = sin x, X = h− 2 , 2 i, Y = h−1, 1i
oznaczamy
f −1 (x) = arc sin x . Dziedziną jest X = h−1, 1i ,a zbiorem wartości Y = h− 2 , 2 i .
1.2
Granica funkcji
Definicja 1.11 (Punktu wewnętrznego zbioru) Punkt x0 ∈ R jest punktem wewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
(∃
∈R
+ ) : (x0 −
, 0x+
)½A
Zbiór punktów wewnętrznych zbioru A oznaczmy int A i nazywamy wnętrzem tego zbioru.
Definicja 1.12 (punktu skupienia zbioru) Punkt x0 nazywamy punktem skupienia
zbioru A , jeśli
(∃ {xn } ∈ A) : lim xn = x0
n→∞
Uwaga 1.1 Punkt skupienia zbioru nie musi do niego należeć.
Definicja 1.13 (Domknięcia zbioru) Domknięciem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich granic ciągów złożonych z jego elementów. Oznaczamy ten zbiór A .
x0 ∈ A ⇔ (∃ {xn } ∈ A , xn 6= x0 ) :
lim xn = x0
n→∞
Uwaga 1.2 Zauważmy, że A ½ A , ponieważ każdy element x ∈ A możemy traktować
jako granicę ciągu stałego xn = x0 .
Niech dane będą: zbiór A ½ R , funkcja f : A → R i x0 -punkt skupienia zbioru A .
Definicja 1.14 (Granicy funkcji w sensie Heinego) Liczbę g ∈ R nazywamy granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x0 , jeżeli
(∀{xn } ½ A, xn 6= x0 ) ,
lim xn = x0 ⇒ lim f (xn ) = g
n→∞
n→∞
Definicja 1.15 (Granicy funkcji w sensie Cauchy’ego ) Liczbę g ∈ R nazywamy
granicą w sensie Cauchy’ego funkcji f w punkcie x0 , jeżeli
(∀ε > 0) (∃
(ε, 0x) > 0) (∀x ∈ A) [0 < |x − x0 | <
⇒ |f (x) − g| < ε].
Uwaga 1.3 Liczba g ∈ R jest granicą funkcji w sensie Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy,
gdy jest granicą w sensie Heinego. Granicę oznaczamy symbolem lim f (x) = g .
x→x0
2
Przykład 1.7 Udowodnić, że lim cos x = 1 .
x→0
Dowód: Mamy pokazać, że
(∀ε > 0) (∃
(ε, 0) > 0) (∀x ∈ R) [0 < |x| <
⇒ | cos x − 1| < ε]
Korzystamy z własności: (∀x ∈ R) |cosx−cos0| = |−2sin x2 sin x2 | = 2| sin x2 sin x2 | ¬ 2| x2 | .
Biorąc
= ε otrzymujemy |x| <
⇒ | cos x − 1| < ε.
♥
Twierdzenie 1.1 ( O zachowaniu nierówności w granicy)
Jeżeli funkcje f, g : A → R mają w punkcie x0 granice oraz ( ∀x ∈ A ) f (x) ­ g(x), to
lim f (x) ­ lim g(x)
x→x0
x→x0
Dowód: Wprowadzimy oznaczenia: g1 = lim f (x) , g2 = lim g(x) .
x→x0
x→x0
Niech {xn } ½ A , xn 6= x0 będzie dowolnym ciągiem zbieżnym do x0 -punktu skupienia
zbioru A. Na podstawie definicji granicy w sensie Heinego mamy:
lim f (x) = g1 ,
x→x0
lim g(x) = g2
x→x0
Stosujemy twierdzenie ?? o zachowaniu nierówności przy przejściu do granicy dla ciągów
i otrzymujemy g1 ­ g2 .
♥
Definicja 1.16 ( Granicy lewostronnej)
lim f (x) = g ⇔ (∀ {xn } ½ A , xn < x0 )
x→x−
0
lim xn = x0 ⇒ lim f (x) = g
n→∞
n→∞
Definicja 1.17 ( Granicy prawostronnej)
lim f (x) = g ⇔ (∀ {xn } ½ A , xn > x0 )
x→x+
0
lim xn = x0 ⇒ lim f (x) = g
n→∞
n→∞
Uwaga 1.4 Podane definicje granic: lewostronnej i prawostronnej są równoważne następującym:
lim f (x) = g ⇔ (∀ε > 0) (∃
1 (ε, x0 )
> 0) (∀x ∈ A) [ x0 −
lim f (x) = g ⇔ (∀ε > 0) (∃
2 (ε, x0 )
> 0) (∀x ∈ A) [ x0 < x < x0 +
x→x−
0
x→x+
0
Przykład 1.8
• f (x) =
• g(x) =
1
< x < x0 ⇒ |f (x) − g| < ε ]
2
⇔ |f (x) − g| < ε ]
1. Znaleźć granice lewostronne i prawostronne funkcji w punkcie x0 :
x2 −3x+2
,
x−1
|x|
x , x0 =
x0 = 1
0
1
2. Udowodnić, że lim 2 x = 0
x→0−
3
Twierdzenie 1.2 Funkcja f ma w punkcie x0 granicę wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją
granice jednostronne oraz
lim f (x) = lim f (x)
x→x+
0
x→x−
0
Granicą funkcji w punkcie x0 jest wspólna wartość obu granic jednostronnych.
Dowód:
”⇒” Wynika natychmiast z definicji granicy lim f (x) = g
x→x0
” ⇐ ”Niech (∀ε > 0) (∃ 1 (ε, x0 ) > 0) (∀x ∈ A) [ x0 − 1 < x < x0 ⇒ |f (x) − g| < ε ] oraz
(∀ε > 0) (∃ 2 (ε, x0 ) > 0) (∀x ∈ A) [ x0 < x < x0 + 2 ⇔ |f (x) − g| < ε ], wówczas
(∀ε > 0) (∃
= min(1 ,
2 ))
(∀x ∈ A) [0 < |x − x0 | <
⇔ |f (x) − g| < ε ]
Przykład 1.9 Udowodnić, że lim sinx x = 1
x→o
Dowód: Dla 0 < x < 2 mamy sin x ¬ x ¬ tg x , a po przekształceniach nierówności te są
równoważne nierównościom cos x ¬ sinx x ¬ 1 .
Korzystając z definicji (w sensie Heine’go) granicy funkcji oraz twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy:
sin x
lim
=1
+
x
x→0
Podobnie udawadniamy, że lim
x→0−
sin x
x
= 1 . W tym przypadku należy skorzystać z nierów¢
¡
ności tgx ¬ x ¬ sin x prawdziwej dla x ∈ − 2 , 0
♥
Definicja 1.18 (Granica niewłaściwa w sensie Heine’go)
lim f (x) = +∞ ⇔ (∀ {xn } ½ A , xn 6= x0 ) [ lim xn = x0 ⇒ lim f (xn ) = ∞]
x→x0
n→∞
n→∞
Definicja 1.19 ( Granica niewłaściwa w sensie Cauchy’ego)
lim f (x) = +∞ ⇔ (∀E ∈ R) (∃
(x
0 , E) > 0) (∀x ∈ A) [ 0 < |x − x0 | <
x→x0
⇒ f (x) > E]
Analogicznie określa się granice niewłaściwe:
lim f (x) = −∞ ,
lim f (x) = +∞
x→x0
lim f (x) = +∞ ,
x→x+
0
x→x−
0
lim f (x) = −∞ ,
x→x−
0
lim f (x) = −∞
x→x+
0
1
Przykład 1.10 Udowodnić, że lim 2 x = +∞ .
x→0+
1
Dowód: Niech E > 1 będzie dowolną liczbą. Wówczas 2 x > E wtedy i tylko wtedy, gdy
1
x
> log2 E, czyli x <
1
log2 E .
Stąd dla
=log12 E mamy 0 < x <
♥
4
1
⇒ x2 > E .
Definicja 1.20 ( Granicy w nieskończoności)
Liczba g jest granicą funkcji f w +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy
(∀ε > 0) (∃M (ε) > 0) (∀x ∈ R)[ x > M ⇒ |f (x) − g| < ε]
Granicę tę zapisujemy
lim f (x) = g .
x→+∞
Analogicznie definiujemy granice:
lim f (x) = g , lim f (x) = −∞ ,
x→−∞
x→+∞
Przykład 1.11 Udowodnić, że
lim f (x) = +∞ .
x→−∞
lim 13
x→+∞ x
= 0.
Dowód: Wystarczy brać pod uwagę x > 0 . Dla dowolnego ustalonego ε > 0 nierówność
1
x3
1
√
3
< ε jest równoważna nierówności x >
x > M nierówność
przy x → +∞ .
1
x3
=|
1
x3
ε
. Przyjmując M =
1
√
3
ε
otrzymamy dla
− 0 |< ε , a to oznacza, że 0 jest granicą funkcji f (x) =
1
x3
♥
Przykład 1.12 Wykazać, że
Przykład 1.13 Wykazać, że
lim (1 + x1 )x = e .
x→+∞
lim (1 + x1 )x = e .
x→−∞
1
Przykład 1.14 Wykazać, że lim (1 + x) x = e .
x→0
Przykład 1.15 Udowodnić, że nie istnieje granica lim sin x1 .
x→0
1
n
1
, xn = +2n
2
zbieżne do 0 przy n → ∞ . Wówczas lim f (xn ) = lim sin n = 0 ,
n→∞
n→∞
a lim f (xn ) = lim sin( 2 + 2n ) = 1 . Granica ta nie istnieje, gdyż dwa ciągi
n→∞
n→∞
{f (xn )} , {f (xn )} posiadają różne granice.
Dowód: Korzystamy z definicji Heinego. Weźmy dwa ciągi xn =
♥
Twierdzenie 1.3 ( O granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji)
Jeżeli f : A 7→ R , g : A 7→ R , i x0 jest punktem skupienia zbioru A oraz istnieją
granice lim f (x) , lim g(x), to:
x→x0
x→x0
1. Istnieje granica sumy tych funkcji w punkcie x0 i równa się sumie granic:
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x)
x→x0
x→x0
x→x0
Analogiczną własność ma różnica funkcji.
2. Dla dowolnej liczby rzeczywistej
lim (
x→x0
istnieje lim(
x→x0
f (x)) =
f (x)) i
lim
f (x)
x→x0
3. Istnieje granica iloczynu tych funkcji i równa się iloczynowi granic
lim (f (x)g(x)) = lim f (x) lim g(x)
x→x0
x→x0
5
x→x0
4. Przy dodatkowym założeniu , że (∀x ∈ A , g(x) 6= 0) oraz lim g(x) 6= 0 istnieje
x→x0
granica ilorazu tych funkcji i równa się ilorazowi granic
lim
x→x0
lim f (x)
f (x)
x→x0
=
g(x)
lim g(x)
x→x0
Uwaga 1.5 Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jednostronnych funkcji
w punkcie x0 oraz w −∞ lub +∞
Przykład 1.16 Znaleźć granice
• lim cos x + tgxx
x→0
³
sin 5x
x→0 sin 7x
√
3
√
lim 8−x−4
x
x→64
´
• lim
•
1.3
Ciągłość funkcji
Rozpatrujemy funkcję f : A 7→ R , gdzie A ½ R i x0 ∈ A jest punktem skupienia
zbioru A.
Definicja 1.21 ( Ciągłości funkcji w punkcie)
Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 ∈ A , jeżeli istnieje granica lim f (x) oraz
x→x0
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
Uwaga 1.6 Ciągłość funkcji w x0 ∈ A oznacza:
(∀ {xn } ½ A)
lim xn = x0 ⇒ lim f (x) = f (x0 )
n→∞
x→x0
i jest równoważna warunkowi:
(∀ε > 0) (∃
(ε, 0x) > 0) (∀x ∈ A)[ |x − x0 | <
=⇒ |f (x) − f (x
0 |) < ε ]
Definicja 1.22 ( Ciągłości funkcji na zbiorze)
Funkcja f określona na zbiorze A ½ R nazywa się ciągła na tym zbiorze, jeżeli jest ciągła
w każdym jego punkcie.
Uwaga 1.7 Ciągłość funkcji f : < a, b >7→ R na przedziale domkniętym < a, b > oznacza w szczególności , że lim f (x) = f (a) i lim f (x) = f (b) .
x→a+
x→b−
Przykład 1.17
Wykazać , że funkcja f (x) = sin x jest ciągła na R.
Dowód: Niech x0 będzie dowolnym punktem i x0 ∈ R . Ze wzoru na różnicę sinusów
sin x − sin x0 = 2 sin
6
x − x0
x + x0
cos
2
2
x−x0
x+x0
0
oraz własności | sin x−x
2 | ¬ | 2 | i | cos 2 | ¬ 1 otrzymujemy oszacowanie
| sin x − sin x0 | ¬ |x − x0 |
Wtedy dla dowolnej liczby ε > 0 wystarczy wziąć
|x − x0 | <
= ε , aby otrzymać implikację
⇒ | sin x − sin 0x| < ε
która udawadnia ciągłość funkcji w punkcie x0 . Z dowolności tego punktu wynika ciągłość
funkcji na całej osi liczbowej.
♥
Twierdzenie 1.4 ( O ciągłości sumy, iloczynu i ilorazu funcji)
Jeżeli f : A 7→ R , g : A 7→ R są funkcjami ciągłymi na A, to również funkcje:
·f (
f +g,
|f | , oraz
∈ R) ,
f ·g
f
(przy dodatkowym założeniu, że (∀x ∈ A , g(x) 6= 0))
g
są ciągłe na A.
Dowód: Ciągłość funkcji |f | wynika z ciągłości funkcji f oraz nierówności:
||f (x)| − |f (x0 )|| < |f (x) − f (x0 )|
Dowód pozostałych punktów tezy wynika z Twierdzenia 1.3.
Przykład 1.18 Pokazać , że f (x) = x sin x jest funkcją ciągłą na R.
Przykład 1.19 Zbadać ciągłość funkcji f (x) =
(
sin x
|x|
dla x ∈ R \ {0}
.
1 dla x = 0
Twierdzenie 1.5 ( O ciągłości funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja f : A 7→ B jest ciągła w puncie x0 ∈ A , a funkcja g : B 7→ C jest ciągła
w punkcie y0 = f (x0 ) ∈ B , to funkcja złożona h = g ± f, jest ciągła w puncie 0x.
Dowód:
Weźmy dowolny ciąg {xn } ½ A , różny od ciągu stałego i zbieżny do x0 . Z ciągłości funkcji
f wynika, że lim f (xn ) = f (x0 ) .
n→∞
Ciągłość funkcji g daje lim g (f (xn )) = g (f (x0 )) . Udowodniliśmy więc, że
n→∞
(∀ {xn } ½ A , xn 6= x0 )
lim xn = x0 ⇒ lim g (f (xn )) = g (f (x0 ))
n→∞
n→∞
co oznacza ciągłość funkcji g ± f w punkcie 0x.
♥
Przykład 1.20 Funkcja h(x) = exp(sin x) jest ciągła na R.
Definicja 1.23 ( Punktów nieciągłości)
Punkt x0 nazywa się punktem nieciągłości I rodzaju funkcji f, jeśli istnieją granice
właściwe lim f (x) , lim f (x) , ale przynajmniej jedna z nich jest różna od f (x0 ) .
x→x−
0
x→x+
0
Punkt nieciągłości I rodzaju nazywa się punktem nieciągłości usuwalnej, jeżeli granice
właściwe jednostronne są równe, ale różne od f (x0 ) .
Punktami nieciągłości II rodzaju nazywają się pozostałe punkty nieciągłości. W punktach tych nie istnieje przynajmniej jedna z granic lim f (x), lim f (x) lub przynajmniej
x→x−
0
jedna jest niewłaściwa.
7
x→x+
0
Przykład 1.21 Funkcja Heaviside’a f (x) =


 0 dla x < 0
1
dla x = 0 ,
2

 1 dla x > 0
stosowana w mechanice i teorii sprężystości ma punkt nieciągłości I rodzaju w punkcie
x0 = 0 .
(
1
x
dla x ∈ R \ {0}
,
0 dla x = 0
ma punkt nieciągłości x0 = 0 II rodzaju.
Przykład 1.22 Funkcja f (x) =
Twierdzenie 1.6 ( O ciągłości funkcji odwrotnej)
O ile istnieje funkcja odwrotna do funkcji ciągłej określonej na < a, b >, to jest ona funkcją
ciągłą.
Przykład 1.23 Funkcja f (x) = arc sin x , x ∈ h−1, 1i jest ciągła.
1.4
Własności funkcji ciągłych
Twierdzenie 1.7 (Twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów)
Jeżeli funkcja f : A 7→ R jest ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym
A = ha, bi , to jest funkcją ograniczoną na A i istnieją punkty x1 , x2 ∈ A takie, że
f (x1 ) = inf f (x) ,
f (x2 ) = sup f (x)
x∈A
x∈A
Twierdzenie 1.8 ( O lokalnym zachowaniu znaku)
Jeżeli f : A 7→ R jest ciągła w punkcie x0 ∈ A i f (x0 ) > 0 , to
(∃
> 0) (∀x ∈ A) [|x − 0x| <
⇒ f (x) > 0]
(Jeżeli f (x0 ) < 0 , to (∃
> 0) (∀x ∈ A) [|x − 0x| <
⇒ f (x) < 0])
Twierdzenie 1.9 (Darboux)
Jeżeli f :< a, b >7→ R jest ciągła na przedziale < a, b >, f (a) 6= f (b) , a liczba r jest
zawarta między liczbami f (a), f (b), to istnieje c ∈ (a, b) takie, że f (c) = r.
Wniosek 1.1 Jeżeli f :< a, b >7→ R jest ciągła na przedziale < a, b > oraz
f (a)f (b) < 0, to istnieje c ∈ (a, b) takie, że f (c) = 0.
Przykład 1.24 Pokazać, że równanie 2 sin x = x ma w przedziale < 0,
rzeczywisty różny od zera .
>, pierwiastek
Przykład 1.25 Znaleźć rozwiązanie równania 4x = x2 na przedziale (-1,0) z dokładnością do 18 .
Przykład 1.26 Wykazać, że przez dowolny punkt wewnętrzny wielokąta wypukłego można
przeprowadzić sieczną w ten sposób, aby punkt ten był jej środkiem.
8
2
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
2.1
Pochodna
Definicja 2.1 ( Pochodnej)
Funkcja f : A 7→ R ma pochodną w punkcie wewnętrznym x0 ∈ intA , jeżeli istnieje
granica ilorazu różnicowego
f (x) − f (x0 )
lim
x→x0
x − x0
Granicę tę oznaczamy f ′ (x0 ) lub
df (x0 )
dx
i nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 .
Twierdzenie 2.1 Jeżeli funkcja f : A 7→ R ma w punkcie x0 ∈ intA pochodną f ′ (x0 ),
to jest ciągła w tym punkcie.
Dowód: Obierzmy punkt x ∈ A . Możemy zapisać:
f (x) =
f (x) − f (x0 )
· (x − x0 ) + f (x0 )
x − x0
Po przejściu do granicy otrzymujemy:
lim f (x) = lim
x→x0
x→
f (x) − f (x0 )
· lim (x − x0 ) + f (x0 ) = f ′ (x0 ) + f (x0 )
x→x0
x − x0
Zatem funkcja f jest ciągła w punkcie x0 .
♥
Definicja 2.2 (Pochodnej na zbiorze)
Jeżeli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie wewnętrznym x ∈ A , to funkcję x 7→ f ′ (x)
df
.
nazywamy pochodną funkcji f na zbiorze A i oznaczamy ją symbolem f ′ lub dx
Przykład 2.1 Znaleźć pochodną funkcji f (x) = sin x na zbiorze R.
Rozwiązanie:
Niech x0 będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Oznaczmy ∆x = x − x0 .
2 sin ∆x
sin(x0 + ∆x) − sin x0
2 cos(x0 +
= lim
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x
lim
∆x
2 )
= lim
∆x→0
sin ∆x
2
∆x
2
cos(x0 +
∆x
) = cos x0
2
Z dowolności x0 wynika, że (∀x ∈ R) (sin x)′ = cos x .
Przykład 2.2 Wykazać, że (cos x)′ = − sin x.
Interpretacja geometryczna pochodnej
Niech
oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )) i dodatnim kierunkiem osi Ox. Wtedy
f ′ (x0 ) = tg
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )) ma postać:
y = f (x0 ) + f ′ (x0 ) (x − x0 )
9
Przykład
2.3 Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = cos x w punkcie
¡ ¢
,
0
.
2
Przykład 2.4 Wyprowadzić wzór na miarę kąta ostrego pod jakim przecinają się wykresy
dwóch funkcji.
Znaleźć miarę kąta pod jakimi przecinają się wykresy f (x) = x2 , g(x) = x3 .
Definicja 2.3 ( Pochodnej jednostronnej)
Niech x0 ∈ A i istnieje takie
> 0 , że (x
, 0xi ½ A . Pochodną lewostronną funkcji
0−
f w punkcie x0 nazywamy granicę lewostronną właściwą:
f−′ (x0 ) = lim
x→x−
0
f (x) − f (x0 )
x − x0
Analogicznie definiujemy pochodną prawostronną:
f+′ (x0 ) = lim
x→x+
0
f (x) − f (x0 )
x − x0
Uwaga 2.1 Funkcja f ma w punkcje x0 pochodną wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją pochodne lewostronna i prawostronna w tym punkcie i są równe.
Przykład 2.5 Zbadać istnienie pochodnej funkcji f (x) = |x| w punkcie x0 = 0 .
Rozwiązanie: Obliczamy pochodne jednostronne:
f−′ (0) = lim
x→0−
|x| − |0|
−x
= lim
= −1
x→0− x
x
x
|x| − |0|
= lim
= 1
x→0+ x
x→0+
x
Skoro f−′ (x0 ) 6= f−′ (x0 ) , to nie istnieje pochodna funkcji f (x) = |x| w x0 = 0.
f+′ (x0 ) = lim
Przykład 2.6
1. Zbadać istnienie pochodnej funkcji f (x) = | sin x| w punkcie x0 = 0 .
2. Znaleźć pochodną f (x) = x|x| w punkcie x0 = 0
Przykład 2.7 Pokazać, że dla x > 0 mamy (ln x)′ = x1 .
Dowód: Ustalmy dowolne x0 > 0 i oznaczmy ∆x = x − x0 .
ln(x0 + ∆x) − ln x0
1
∆x x0
1
1
= lim
ln(1 +
) ∆x =
ln e =
∆x→0
∆x→0 x0
∆x
x0
x0
x0
lim
Przy obliczaniu powyższej granicy wykorzystano ciągłość funkcji f (x) = ln x na prze1
dziale (0, ∞) oraz własność lim (1 + z) z = e, ( bierzemy z = ∆x
x0 ). Z dowolności
z→0
x0 > 0 otrzymujemy wzór:
1
(∀x ∈ R+ ) (ln x)′ =
x
Definicja 2.4 ( Pochodnej na przedziale domkniętym)
Jeżeli funkcja f : ha, bi 7→ R ma pochodną w każdym punkcie przedziału otwartego (a, b)
oraz istnieją pochodne f ′ (a+ ) oraz f ′ (b− ) , to mówimy, że funkcja f ma pochodną na całym
przedziale ha, bi .
10
Definicja 2.5 ( Klas funkcji) Zbiór wszystkich funkcji mających pochodną na całym
zbiorze A oznaczamy przez D1 (A) . Zbiór wszystkich funkcji mających ciągłe pochodne na
zbiorze A oznaczamy C 1 (A) .
Twierdzenie 2.2 ( O pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu dwóch funkcji)
Jeżeli funkcje f : A 7→ R , g : A 7→ R mają pochodne w punkcie x0 ∈ A , to pochodną w
punkcie x0 mają też funkcje: f + g , f − g , f · g , oraz fg ( o ile g(x0 ) 6= 0 ).Ponadto
• (f + g)′ (x0 ) = f ′ (x0 ) + g ′ (x0 ) .
• (f − g)′ (x0 ) = f ′ (x0 ) − g ′ (x0 ) .
• (f · g)′ (x0 ) = f ′ (x0 )g(x0 ) + f (x)g ′ (x0 ) .
• ( fg )′ (x0 ) =
f ′ (x0 )g(x0 )−f (x0 )g ′ (x0 )
(g ′ (x0 ))2
.
Przykład 2.8 Wyprowadzić wzory na pochodne funkcji f (x) = tg(x) i g(x) = ctg(x).
Twierdzenie 2.3 (O pochodnej funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x0 , funkcja g ma pochodną w punkcie f (x0 ) ,
to funkcja złożona (g ± f ) ma pochodną w 0x oraz
(g ± f′ )(x0 ) = g ′ (f (x0 )) · f ′ (x0 )
Twierdzenie 2.4 ( O pochodnej funkcji odwrotnej)
Niech funkcja f
• będzie ciągła i wzajemnie jednoznaczna na zbiorze A
• ma pochodną f ′ (x0 ) 6= 0
Wtedy funkcja odwrotna f −1 ma pochodną w punkcie y0 = f (x0 ) i
¡
¢
³
f −1
´
′
(y0 ) =
1
f ′ (x0 )
Uwaga 2.2 Jeżeli funkcja y = f (x) jest określona na A ½ R i ma funkcję odwrotną
w A oraz w każdym punkcie x ∈ A istnieje pochodna funkcji f i f ′ (x) 6= 0 , to funkcja
odwrotna x = f −1 (y) ma w każdym punkcie swojej dziedziny pochodną (f −1 )′ (y) i
(f −1 )′ (y) =
1
| −1
f ′ (x) x=f (y)
Przykład 2.9 Udowodnić, że dla x ∈ R (ex )′ = ex .
Dowód:
Funkcja f −1 (x) = ex , x ∈ R jest funkcją odwrotną do funkcji f (t) = ln t, t ∈ R+ .
Korzystając z Twierdzenia 2.4 o pochodnej funkcji odwrotnej i Przykładu 2.7 otrzymujemy
(f −1 )′ (x) =
1
|t=ex
f ′ (t)
Przykład 2.10 Pokazać, że
11
=
1
x
1 |t=e
t
= ex
• (loga x)′ =
1
x ln a
,
• (ax )′ = ax ln a ,
x ∈ R+ , a ∈ R+ \ {1} .
x ∈ R,
a ∈ R+ \ {1} .
Przykład 2.11 Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = arc sin x, x ∈ h−1, 1i .
Rozwiązanie: Niech y = sin x, x ∈ h− 2 , 2 i .
Funkcją odwrotną do tej funkcji jest f −1 (y) = g(y) = arc sin y, y ∈ h−1, 1i .
Z twierdzenia 2.4 wynika, że
g ′ (y) =
1
| −1
f ′ (x) x=f (y)
Ale dla x ∈< − 2 ,
Stąd g ′ (y) = √ 1
Ostatecznie
2
1
1
|y=sin x =
|y=sin x , x 6= i x =6= −
′
(sin x)
cos x
2
2
=
>, cos x =
√
p
1 − sin x2 =
1 − y2 .
, dla y ∈ (−1, 1) .
1−y 2
1
(arc sin x)′ = √1−x
2
, dla x ∈ (−1, 1) .
Przykład 2.12 Wyprowadzić wzory na pochodne funkcji: y = arc cos x, y = arctg x.
Definicja 2.6 (Pochodnych rzędu n )
Drugą pochodną funkcji f : A 7→ R w punkcie x0 definiujemy jako pochodną pierwszej
pochodnej i oznaczamy
′
³′´
f ′′ (x0 ) = f
(x0 )
Pochodną n-tego rzędu w punkcie x0 definiujemy indukcyjnie
³
f (n) (x0 ) = f (n−1)
′
´
(x0 )
Przykład 2.13 Obliczyć drugą pochodną funkcji f (x) = cos3 x2 .
Definicja 2.7 ( Klas funkcji dowolnego rzędu)
Zbiór wszystkich funkcji mających n - tą pochodną na zbiorze A oznaczamy Dn (A) , a
zbiór wszystkich funkcji mających ciągłą n - tą pochodną na A, przez C n (A) .
Przez C ∞ (A) oznaczamy zbiór funkcji posiadających na A pochodne dowolnego rzędu.
Wniosek 2.1
1. f ∈ D∞ (A) ⇐⇒ {(∀n ∈ N ∪ {0}), f ∈ C n (A)}
(Przyjmujemy, że C 0 (A) = C(A))
2. f ∈ Dn (A) =⇒ {f ∈ C (n−1) (A)} =⇒ {(∀k ¬ n − 1) , f ∈ C k (A)}
3. Jeśli f ∈ C n (A), to f ∈ Dn (A)
4. Z tego,że f ∈ Dn (A) nie wynika, że f ∈ C n (A)
12
2.2
Różniczka funkcji
Rozpatrujemy funkcję f → A , A ½ R.
Niech punkt x0 będzie punktem wewnętrznym zbioru A. Określamy przyrost:
∆x = x − x0 taki, że x = x0 + ∆x również należy do A.
Definicja 2.8 (Różniczki funkcji)
Niech funkcja f ma pochodną w punkcie wewnętrznym x0 ∈ A .
Różniczką funkcji f w punkcie x0 nazywamy funkcję df zmiennej ∆x = x−x0 określoną
wzorem
df (∆x) = f ′ (x0 ) · ∆x
Twierdzenie 2.5
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x0 , to
(f (x0 + ∆x) − f (x0 )) − df (∆x)
=0
∆x→0
∆x
lim
Uwaga 2.3 Dla dostatecznie małych przyrostów ∆x do obliczeń przybliżonych stosujemy
wzór
f (x0 + ∆x) ¼ f (x0 ) + df (∆x)
Przykład 2.14 Korzystając z różniczki funkcji obliczyć wartości przybliżone wyrażeń:
√
√
4
a) 1.2 b) 15.96 c) arctg 0.98
2.3
Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego
Twierdzenie 2.6 (Twierdzenie Rolle’a)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi i różniczkowalna wewnątrz (a, b) oraz
f (a) = f (b) , to istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że f ′ (c) = 0.
Dowód:
Jeżeli f jest funkcją stałą na ha, bi , to f ′ (x) = 0 w każdym punkcie x ∈ (a, b).
Jeżeli f nie jest funkcją stałą, to z jej ciągłości na odcinku domkniętym i ograniczonym
wynika (Twierdzenie Weierstrassa 1.7), że f osiąga w tym przedziale wartość największą
M i najmniejszą m.
Ponieważ f (a) = f (b) , więc jedna z liczb m, M jest różna od f (a) = f (b) .
Istnieje więc c ∈ (a, b) takie, że f (c) jest wartością największą lub najmniejszą funkcji f
w ha, bi .
Na przykład, niech w punkcie c ∈ (a, b) funkcja osiąga kres górny.
Wtedy (∀x ∈ ha, bi) f (x) ¬ f (c) , więc prawdziwe są implikacje:
f (x) − f (c)
x>c⇒
¬0
x−c
µ
¶
i
f (x) − f (c)
x<c⇒
­0
x−c
µ
¶
Z twierdzenia 1.8 o zachowaniu znaku w granicy wynika, że:
lim
x→c+
f (x) − f (c)
= f+′ (c) ¬ 0 i
x−c
lim
x→c−
f (x) − f (c)
= f−′ (c) ­ 0
x−c
Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie c , więc f ′ (c) = f−′ (c) = f+′ (c) , a to jest możliwe
jedynie gdy f ′ (c) = 0.
♥
13
Przykład 2.15 Zbadać czy można zastosować twierdzenie Rolle’a do funkcji:
2
• f (x) = x 3 , x ∈< −1, 1 >
• g(x) = cos x , x ∈< − 2 ,
• h(x) = |x −
1|3 ,
2
x ∈< 0, 2 >
Twierdzenie 2.7 (Twierdzenie Lagrange’a)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi i różniczkowalna wewnątrz (a, b) , to
istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że f (b) − f (a) = f ′ (c) · (b − a).
Dowód:
Rozważamy funkcję pomocniczą F (x) = (b − a) · f (x) − (f (b) − f (a)) · x.
Funkcja F spełnia założenia twierdzenia Rolle’a.
Zatem istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że
F ′ (c) = (b − a) · f ′ (c) − (f (b) − f (a)) = 0
♥
Uwaga 2.4 Jeżeli funkcja f spełnia założenia twierdzenia Lagrange’a, to istnieje taki
punkt (c, f (c)) na wykresie tej funkcji, w którym styczna jest równoległa do siecznej, to
znaczy prostej przechodzącej przez punkty (a, f (a)) i (b, f (b)).
Przykład 2.16 Znaleźć punkty na wykresie podanych funkcji, w których styczna jest równoległa do siecznej.
a) f (x) = x2 , x ∈< −1, 2 >
b) g(x) =
1
, x ∈< 0, 3 >
1+x
c) h(x) = arc cos x , x ∈< −1, 1 >
Twierdzenie 2.8 (Twierdzenie o wartości średniej)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi i różniczkowalna wewnątrz (a, b) , to dla
dowolnych punktów x0 , x ∈ ha, bi takich, że x0 6= x istnieje liczba
∈ (0, 1) taka, że
f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 +
(x − 0x)) · (x − x0 )
Dowód:
Stosując twierdzenie Lagrange’a 2.7 dla przedziału < x0 , x > , gdy x0 < x lub < x, x0 > ,
c−x0
gdy x < x0 otrzymujemy tezę twierdzenia z
=x−x
.
0
Przykład 2.17 Korzystając z powyższego twierdzenia uzasadnić podane nierówności:
1. (∀x > 0)
x
1+x
2. (∀x ∈ R)
ex ­ 1 + x
< ln(1 + x) < x
3. (∀x, y ∈< −1, 1 >) | arc sin x − arc sin y| ­ |x − y|
Wniosek 2.2
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi i różniczkowalna wewnątrz (a, b) oraz
(∀x ∈ (a, b)) f ′ (x) = 0 , to f jest funkcją stałą na < a, b >.
14
Przykład 2.18 Udowodnić, że:
√
√
2
1. (∀x ∈ (0, 1 >) arc cos x = arc sin 1 − x2 = arctg 1−x
x
1
2. (∀x > 0) arc cos √1+x
= arcctg x1
2
Definicja 2.9 Funkcję f określoną na przedziale (a, b) nazywamy na tym przedziale
• rosnącą, jeśli (∀x1 , x2 ∈ (a, b)) [x2 > x1 =⇒ f (x2 ) > f (x1 )]
• niemalejąca, jeśli (∀x1 , x2 ∈ (a, b)) [x2 > x1 =⇒ f (x2 ) ­ f (x1 )]
• malejąca, jeśli (∀x1 , x2 ∈ (a, b)) [x2 > x1 =⇒ f (x2 ) < f (x1 )]
• nierosnącą, jeśli (∀x1 , x2 ∈ (a, b)) [x2 > x1 =⇒ f (x2 ) ¬ f (x1 )]
Wniosek 2.3 Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi , ma pochodną wewnątrz
(a, b) oraz
• f ′ (x) > 0 na (a, b) , to funkcja f jest na przedziale ha, bi rosnąca.
• f ′ (x) ­ 0 na (a, b) , to funkcja jest na przedziale ha, bi niemalejąca.
• f ′ (x) < 0 na (a, b) , to funkcja f jest na przedziale ha, bi malejąca.
• f ′ (x) ¬ 0 na (a, b) , to funkcja f jest na przedziale ha, bi nierosnąca.
Dowód: (dla f ′ (x) > 0 )
Niech x1 , x2 będą dowolnymi punktami z przedziału ha, bi takimi, że x1 < x2 . Z twierdzenia Lagrange’a 2.7 dla przedziału hx1 , x2 i wynika, że istnieje takie c ∈ (x1 , x2 ), że
f (x2 ) − f (x1 ) = f ′ (c)(x2 − x1 ) . Skoro f ′ (c) > 0 i (x2 − x1 ) > 0, to f (x2 ) − f (x1 ) > 0,
więc funkcja f jest rosnąca.
Dowody dla pozostałych przypadków są podobne.
Przykład 2.19 Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji f (x) = xx .
Twierdzenie 2.9 ( Twierdzenie Taylora)
T
Jeżeli funkcja f jest klasy C n (ha, bi) Dn+1 ((a, b)) , to istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że
f (b) = f (a) +
f ′ (a)
1! (b
− a) +
f ′′ (a)
2! (b
− a)2 +
f (n) (a)
n! (b
− a)n +
f (n+1) (c)
(n+1)! (b
− a)n+1 .
Wniosek 2.4
T
Jeżeli funkcja f jest klasy C n (ha, bi) Dn+1 ((a, b)) , to dla dowolnych dwóch punktów
x0 , x ∈< a, b > , istnieje liczba rzeczywista
∈ (0, 1) , że
f (x) = f (x0 ) +
∞
X
f (k) (x0 )
k=1
k!
(x − x0 ) +
15
f (n+1) (x0 + (x − 0x)
(x − x0 )n+1
(n + 1)!
Uwaga 2.5
Powyższy wzór nazywamy wzorem Taylora, przy czym ostatni składnik w tym wzorze
nosi nazwę n-tej reszty w postaci Lagrange’a.
W szczególnym przypadku, gdy x0 = 0 , wzór nazywamy wzorem Maclaurina:
f (x) = f (0) +
n
X
f (k) (0)
k!
k=1
f (n+1) ( x) n+1
x
,
(n + 1)!
x+
∈ (0, 1)
Przykład 2.20 Wykazać, że:
a) (∀x ∈ R) (∃
b) (∀x ∈ R+ ) (∃
2.4
∈ (0, 1))
x
∈ (0, 1))
e= 1 +
n
X
xk
k=1
n
X
ln(1 + x) =
(−1)k−1
k=1
k!
+e
xn+1
(n + 1)!
x
xk
xn+1
+ (−1)n
k
(n + 1) (1 +
n+1
x)
Twierdzenia o granicach nieoznaczonych
Wyrażenia nieoznaczone typu
0
0
i
∞
∞
Twierdzenie 2.10 (Reguła de l’Hospitala dla nieoznaczoności 00 )
′
Niech funkcje f, g, fg , fg′ będą określone w zbiorze (x0 − , 0x)∪(x0 , x0 + ) oraz spełniają
warunki:
• lim f (x) = lim g(x) = 0
x→x0
x→x0
f ′ (x)
′
x→x0 g (x)
• istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) lim
f (x)
x→x0 g(x)
Wtedy istnieje lim
f (x)
x→x0 g(x)
i lim
f ′ (x)
′
x→x0 g (x)
= lim
Twierdzenie 2.11 (Reguła de l’Hospitala dla nieoznaczoności ∞
∞)
f f′
Niech funkcje f, g, g , g′ będą określone w zbiorze (x0 − , 0x)∪(x0 , x0 + ) oraz spełniają
warunki:
• lim f (x) = lim g(x) = ∞
x→x0
x→x0
f ′ (x)
′
x→x0 g (x)
• istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) lim
f (x)
x→x0 g(x)
Wtedy istnieje lim
f (x)
x→x0 g(x)
i lim
f ′ (x)
′
x→x0 g (x)
= lim
Uwaga 2.6 Powyższe dwa twierdzenia są prawdziwe także dla granic jednostronnych w
punkcie x0 oraz dla granic w −∞ i +∞.
Przykład 2.21 Znaleźć granice:
ln(1 + x)
x→0
x
a) lim
x − sin x
x→0
x3
b) lim
16
x2
x→∞ ex
c) lim
Inne typy nieoznaczoność: 0 · ∞, ∞ − ∞, 00 , ∞0 , 1∞
Jeżeli jeden z wyrazów iloczynu f (x) g(x) dąży do zera a drugi do nieskończoności, to
mówimy o nieoznaczoności (0 · ∞) . Jeśli w wyrażeniu f (x) − g(x) obydwie funkcje dążą
do +∞ lub −∞ , to nieoznaczoność jest typu ( ∞ − ∞ ). W wyrażeniach postaci f (x)g(x)
występują nieoznaczoności typu 00 , ∞0 , 1∞ .
Uwaga 2.7 Przy badaniu granic wyrażeń postaci f (x)g(x) , f (x) > 0 należy skorzystać
z tożsamości
f (x)g(x) = eg(x) ln f (x)
Przykład 2.22 Znaleźć granice:
1. lim x ln x
x→0+
2. lim
x→0
³
1
x2
−
sin x
x3
3. lim xx
´
x→0+
4. lim (ctg x)x
x→0+
5. lim
x→∞
2.5
³
2
´
x
arctgx
Ekstrema funkcji
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej w pewnym otoczeniu punktu x0 .
Definicja 2.10
• Funkcja f ma w punkcie x0 minimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie tego
punktu (x0 − , 0x+ ),
> 0 , że dla każdego x ∈0(x
− , 0x, x0 + )
f (x0 ) ¬ f (x)
(1)
• Funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie
punktu (x0 − , 0x+ ),
> 0 , że dla każdego x ∈0(x
− , 0x, x0 + )
f (x0 ) ­ f (x)
(2)
Minima i maksima lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi.
Jeżeli nierówności są ostre, to ekstema lokalne nazywamy właściwymi.
Twierdzenie 2.12 (Lemat Fermata)
Niech funkcja f :< a, b >→ R osiąga w punkcie c ∈ (a, b) ekstremum lokalne oraz istnieje
pochodna f ′ (c) . Wtedy f ′ (c) = 0.
Dowód:
Niech f (c) będzie maksimum lokalnym funkcji f . Wtedy istnieje taki przedział
(c − , c + ) ,
> 0 , że dla każdego x ∈ (c − , c + ) , f (c) ­ f (x).
W punkcie c funkcja ma pochodną, więc
f ′ (c) = f+′ (c) = f−′ (c)
17
Dla x > c mamy
f (x)−f (c)
x−c
f (x)−f (c)
x−c
¬ 0 . Stąd lim
x→c+
= f+′ (c) ¬ 0.
Analogicznie, dla x < c otrzymujemy pochodną lewostronną f−′ (c) 6= 0.
To jest możliwe jedynie, gdy f ′ (c) = 0.
Dowód dla minimum lokalnego jest podobny.
Uwaga 2.8
Punkty w których zeruje się pierwsza pochodna nazywamy punktami stacjonarnymi.
Zbiór punktów w których funkcja może osiągać ekstrema składa się z punktów stacjonarnych i tych, w których pierwsza pochodna nie istnieje.
Twierdzenie 2.13 ( I warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale (a, b), ma pochodną w (a, x0 ) ∪ (x0 , b) i istnieje
pewne otoczenie punktu x0 , w którym f ′ (x) ¬ 0 dla x < x0 i f ′ (x) ­ 0 dla x > x0 , to
funkcja f osiąga w x0 minimum lokalne.
Jeżeli f ′ (x) ­ 0 dla x < x0 , a f ′ (x) ¬ 0 dla x > x0 , to funkcja f osiąga w x0
maximum lokalne.
Dowód: wynika z Definicji ekstremum 2.10 i Wniosku 2.3.
Ekstrema właściwe są osiągane wtedy, gdy nierówności (1), (2) są ostre.
Przykład 2.23 Zbadać istnienie extremów lokalnych funkcji:
f (x) = | ln x| ,
g(x) = e−|x|
Twierdzenie 2.14 ( II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)
Jeżeli f ∈ C 2 (ha, bi), x0 ∈ (a, b) i f ′ (x0 ) = 0 oraz f ′′ (x0 ) 6= 0 , to funkcja f osiąga w
punkcje x0
• minimum lokalne właściwe, gdy f ′′ (x0 ) > 0 ,
• maksimum lokalne właściwe, gdy f ′′ (x0 ) < 0 .
Dowód:
Niech f ′′ (x0 ) > 0 . Na mocy Twierdzenia1.8 o lokalnym zachowaniu znaku istnieje
takie, że dla x ∈ (x0 − , 0x+ ) ′′f(x) > 0 .
Na mocy Twierdzenia Taylora 2.9 dla n = 1 , mamy
f (x) = f (x0 ) +
f ′ (x0 )
f ′′ (c)
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 , gdzie c ∈ (x0 −
1!
2!
, 0x+
′′
).
Wykorzystując warunek f ′ (x0 ) = 0 , otrzymujemy f (x) − f (x0 ) = f 2!(c) (x − x0 )2 .
Z założenia f ′′ (c) > 0, więc f (x) − f (x0 ) > 0 dla x ∈ (x0 − , 0x+ ), x 6= 0x.
Oznacza to, że w punkcie x0 funkcja f osiąga minimum lokalne właściwe.
Dowód dla maksimum jest analogiczny.
Przykład 2.24 Zbadać istnienie ekstremów lokalnych funkcji:
f (x) = (sinh x)2 ,
.
18
g(x) = − cosh x
> 0,
(3)
2.6
Wklęsłość i wypukłość funkcji. Punkty przegięcia
Definicja 2.11 ( Zbioru wypukłego )
Niech X będzie przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych.
Zbiór D ½ X nazywamy wypukłym, jeżeli dla każdych x1 , x2 ∈ D i
x1 + (1 −
∈ h0, 1i
)x2 ∈ D
Przykład 2.25 Niech X = Rn , x1 , x2 ∈ Rn .
Odcinek łączący punkty x1 , x2 ∈ Rn zdefiniowany w następująco:
hx1 , x2 i = {z ∈ Rn : x =
x1 + (1 −
)x2 ,
∈ h0, 1i}
jest zbiorem wupukłym.
Uwaga 2.9 Zbiór D ½ Rn jest wypukły, jeżeli z każdymi dwoma punktami x1 , x2 ∈ D
do zbioru tego należy również odcinek łączący te punkty.
Przykład 2.26 Przedział otwarty (a, b) ½ R jest zbiorem wypukłym.
Definicja 2.12 ( Wypukłości funkcji )
Niech f będzie funkcją rzeczywistą f : (a, b) 7→ R . Funkcję tę nazywamy wypukłą w
(a, b) , jeżeli dla każdych dwóch punktów x1 , x2 ∈ (a, b) i każdego
∈ h0, 1i , spełniona
jest nierówność
f(
x
1 + (1 −
)x
2) ¬
f (x
1 ) + (1 −
)f (x
2 ).
(4)
Jeżeli spełniona jest nierówność przeciwna (­) , to funkcję nazywamy wklęsłą w (a, b) .
Przykład 2.27
Pokazać, że funkcja f (x) = |x| jest wypukła w zbiorze liczb rzeczywistych.
Dowód:
Weźmy dwa dowolne punkty x1 , x2 ∈ R i dowolne
∈ h0, 1i . Wówczas
f( x
+
(1
−
)x
)
=
|
x
+
(1
−
)x
|
¬
|
x
|
+
|(1
−
)x
||x
1
2
1
2
1
2| = |
1 | + |1 −
|x
)|x
f (x
)f (x
1 | + (1 −
2| =
1 ) + (1 −
2) .
||x
2| =
♥
Definicja 2.13 ( ścisłej wypukłości funkcji )
Funkcję f : (a, b) 7→ R nazywamy ściśle wypukłą w (a, b) , jeżeli dla każdych dwóch
punktów x1 , x2 ∈ (a, b), (x1 6= x2 ) i każdego
∈ (0, 1) spełniona jest nierówność
f(
x
1 + (1 −
)x
2) <
f (x
1 ) + (1 −
)f (x
2 ).
(5)
Jeżeli spełniona jest nierówność przeciwna (>) , to funkcję nazywamy ściśle wklęsłą w
(a, b) .
Przykład 2.28 Wykazać, że funkcja f (x) = x2 jest ściśle wypukła w zbiorze liczb rzeczywistych.
Dowód:
Niech x1 , x2 będą dwoma różnymi punktami należącymi do R, a
dowolną liczbą z prze2 =
działu (0, 1) . Wówczas f ( x
+
(1
−
)x
)
=
[
x
+
(1
−
)x
]
1
2
1
2
19
2
2 (x − x )2 + 2
2
(x
(x
1 − x2 ) + x2 ] =
1
2
1 − x2 )x2 + x2 <
2
2
2
2
(x
(x
x
)x
f (x
)f (x
1 − x2 ) + 2
1 − x2 )x2 + x2 =
1 ) + (1 −
2) .
1 + (1 −
2 =
2
W dowodzie wykorzystano nierówność
<
, prawdziwą dla
∈ (0, 1) i założenie, że
x1 6= x2 .
♥
[
Definicja 2.14 (Epigrafu funkcji)
Epigrafem funkcji f : (a, b) 7→ R , nazywamy zbiór
epi f = {(x, y) ∈ R2 : f (x) ¬ y}
Twierdzenie 2.15
Funkcja f : (a, b) 7→ R jest wypukła w (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy epi f jest zbiorem
wypukłym.
Przykład 2.29 Pokazać, że epigraf funkcji f (x) = |x| jest zbiorem wypukłym.
Dowód:
Niech (x, y1 ), (x2 , y2 ) ∈ epi f (tzn: |x1 | ¬ y1 i |x2 | ¬ y2 ).
Dla x =
x1 + (1 − )x2 i
∈ h0, 1i mamy | 1x+ (1 − )x2 | ¬ |
|x1 | + (1 − )|x2 | ¬ 1y + (1 − )y2 .
Oznacza to, że ( x1 + (1 − ) x2 ,
y + (1 − ) 2y) ∈ epi f .
1
||x1 | + |1 −
||x2 | =
♥
Definicja 2.15 (Punktu przegięcia wykresu funkcji)
Punkt x0 ∈ (a, b) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji f ∈ D1 ((a, b)) ,
jeżeli istnieje liczba (
> 0) taka, że dla x ∈ (x
, 0x) funkcja jest ściśle wypukła (
0 −
ściśle wklęsła), a dla x ∈ (x0 , x0 + ) ściśle wklęsła ( ściśle wypukła ).
Twierdzenie 2.16 (Warunek wystarczający ścisłej wypukłości ( ściśłej wklęsłości ))
Jeżeli f ∈ D2 ((a, b)) i f ′′ (x) > 0 (f ′′ (x) < 0) , dla każdego x ∈ (a, b) , to funkcja f jest
ściśle wypukła ( ściśle wklęsła ).
Twierdzenie 2.17 ( Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)
Niech punkt (x0 , f (x0 )) będzie punktem przegięcia wykresu funkcji
f ∈ C 2 ((a, b)) . Wtedy f ′′ (x0 ) = 0 .
Dowód:
Niech f ”(x0 ) 6= 0 . Z ciągłości drugiej pochodnej funkcji f w punkcie x0 i Twierdzenia1.8
wynika, że istnieje takie
> 0 , że dla x ∈ (x
, 0x+ ), f ”(x) > 0 lub f ”(x) < 0 .
0−
Przeczy to założeniu, że punkt x0 jest punktem przegięcia funkcji.
♥
Uwaga 2.10 ( Warunki dostateczne istnienia punktu przegięcia)
• I warunek
Niech f ∈ C 2 ((a, b)) , f ′′ (x0 ) = 0 oraz f ′′ zmienia znak przy przejściu przez punkt
x0 .
20
• II warunek
Niech f ∈ C 3 ((a, b)) , f ′′ (x0 ) = 0 oraz f ′′′ (x0 ) 6= 0 .
Przykład 2.30 Wyznaczyć przedziały ścisłej wklęsłości i ścisłej wypukłości oraz punkty
przegięcia funkcji :
a) f (x) = x3 ,
2.7
b) f (x) = sinh x , c) f (x) = xe−x ,
d) f (x) = e−x
2
Asymptoty wykresu funkcji
Definicja 2.16 (Asymptota pionowa lewostronna wykresu funkcji)
Prosta x = a nazywa się asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji
y = f (x) , jeżeli
lim f (x) = ∞ albo lim f (x) = −∞
x→a−
x→a−
Definicja 2.17 (Asymptota pionowa prawostronna wykresu funkcji)
Prosta x = a nazywa się asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji
y = f (x) , jeżeli
lim f (x) = ∞ albo lim f (x) = −∞
x→a+
x→a+
Jeżeli prosta x = a jest jednocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną,
to mówimy, że jest asymptotą pionową obustronną.
Uwaga 2.11 (O lokalizacji asymptot pionowych funkcji)
Funkcja elementarna może mieć asymptoty pionowe jedynie w skończonych krańcach swej
dziedziny.
Przykład 2.31
Zbadać, czy podane proste są asymptotami pionowymi wskazanych funkcji:
a) f (x) =
sin2 x
, a=0
x
1
b) g(x) = e x , a = 0
c) h(x) =
x2 + x − 2
, a=2
x−2
Definicja 2.18 (Asymptota ukośna wykresu funkcji)
Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji y = f (x) w +∞ wtedy i
tylko wtedy, gdy
lim (f (x) − ax − b) = 0
x→+∞
Podobnie definiuje się asymptotę ukośną w −∞. Jeżeli a = 0 , to asymptotę y = b
nazywamy poziomą.
Twierdzenie 2.18
Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną w +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy
f (x)
i
x→+∞ x
a = lim
lim (f (x) − a x)
x→+∞
Przykład 2.32 Znaleźć asymptoty wykresu funkcji:
f (x) =
x
1−x ,
f (x) =
|x|
x ,
f (x) =
x2
|x+1| ,
1
f (x) = x2 e−x , f (x) = xe x .
21
2.8
Badanie funkcji
• Ustalenie naturalnej dziedziny funkcji, jeżeli dziedzina wcześniej nie została podana.
• Wskazanie podstawowych własności funkcji:
parzystość, nieparzystość, okresowość, miejsca zerowe, ciągłość.
• Obliczenie granice funkcji na ”krańcach” dziedziny.
• Znalezienie asymptot pionowych i ukośnych.
• Badanie pierwszej pochodnej funkcji:
1. wyznaczenie dziedziny pochodnej i jej obliczenie
2. wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema
3. ustalenie przedziałów monotoniczności funkcji
4. znalezienie ekstremów
• Badanie drugiej pochodnej, określenie przedziałów wypukłości i wklęsłości wykresu
funkcji orazwyznaczenie punków przegięcia
• Sporządzenie tabelki
• Sporządzenie wykresu funkcji
Przykład 2.33 Zbadać przebieg zmienności funkcji:
f (x) = x2 e−x ,
g(x) = x + 2arcctgx
22