elewyk5

Wykład 5
Def.5 (różniczka funkcji)
Niech funkcja f ma pochodną w punkcie x0. Różniczką funkcji f w punkcie
x0 nazywamy funkcję df zmiennej
określoną wzorem
.
Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych)
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x0 to
.
Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji
jej różniczką
tzn.
dąży szybciej do zera niż
lim
x 0
f  df
0
x
Fakt 4. (zastosowanie różniczki do szacowania błędów pomiarów)
Niech wielkości fizyczne x i y będą związane zależnością y=f(x), przy czym
pochodna
gdzie
jest wynikiem pomiaru wielkości x, jest
właściwa. Ponadto niech
oznacza błąd bezwzględny pomiaru
wielkości x. Wtedy błąd bezwzględny
obliczanej wielkości y wyraża się
y  f ' ( x0 ) x
wzorem przybliżonym
Def. 6
Pochodną n-tego rzędu funkcji f w punkcie x0 definiujemy następująco:
f ( n) ( x0 )  [ f ( n1) ]( x0 )
dla n2.
Niektóre zastosowania pochodnej.
Reguła de l’Hospitala
Tw.4. (dla nieoznaczoności )
Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki:
a) lim f ( x)  lim g ( x)  0,
x  x0
x  x0
przy czym
g ( x)  0 dla
b) istnieje granica
lim
x  x0
to
f ( x)
x  S ( x0 )
f ' ( x)
g ' ( x)
f ' ( x)
lim g ( x)  lim g ' ( x)
x  x0
x  x0
,
Tw.5. (dla nieoznaczoności
)
Jeżeli funkcje f i g spełnia warunki:
a) lim f ( x)  lim g ( x)  ,
x  x0
x  x0
przy czym
g ( x)  0 dla
b) istnieje granica
lim
x  x0
to
lim
x  x0
x  S ( x0 )
f ' ( x)
g ' ( x)
,
f ( x)
f ' ( x)
 lim
g ( x ) x  x0 g ' ( x )
Uwaga.
Z tego, że nie istnieje granica
nie wynika, że granica
lim
x x0
lim
x x0
f ' ( x)
g ' ( x)
f ( x)
g ( x)
nie istnieje.
Tożsamości zmieniające rodzaje nieoznaczoności.
nieoznaczoność
tożsamość
nieoznaczoność
0•∞
lub
∞-∞
Tw. 6. (Rolle’a)
Jeżeli funkcja spełnia warunki :
1. jest ciągła na
,
2. ma pochodna właściwą lub niewłaściwą na
,
3.
to istnieje punkt
taki, że
Interpretacja geometryczna:
Na wykresie funkcji ciągłej na przedziale domkniętym, mającej pochodną
wewnątrz tego przedziału i przyjmującą na jego końcach jednakowe
wartości, istnieje punkt, w którym styczna jest pozioma.
Tw. 7. (Lagrange’a o wartości średniej)
Jeżeli funkcja spełnia warunki :
1. jest ciągła na
,
2. ma pochodna właściwą lub niewłaściwą na
to istnieje punkt
taki, że
Interpretacja geometryczna:
Na wykresie funkcji ciągłej na przedziale domkniętym, mającej pochodną
wewnątrz tego przedziału, istnieje punkt, w którym styczna do wykresu jest
równoległa do siecznej łączącej jego końce.
Badanie monotoniczności funkcji w przedziale.
Tw. 8. (warunki wystarczające monotoniczności funkcji)
Niech J oznacza dowolny przedział, w którym dla każdego x z tego przedziału
funkcja f spełnia warunki:
1.
f’(x)=0, to funkcja stała na J
2.
f’(x)>0, to funkcja rosnąca na J
3.
f’(x)<0, to funkcja malejąca na J.
Uwaga:
Jeżeli
dla każdego xJ, przy czym
zachodzi tylko dla
skończonej liczby punktów tego przedziału, to funkcja f jest rosnąca na tym
przedziale. Podobnie jest dla funkcji malejącej.
Poszukiwanie ekstremum lokalnego
Def. 7
Funkcja f ma w punkcie x0 minimum lokalne, jeżeli istnieje takie r>0, że dla
każdego xS(x0,r), f(x)>f(x0).
Funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie r>0, że dla
każdego xS(x0,r), f(x)<f(x0).
Tw. 9 ( Warunek konieczny istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja f ma
1.
ekstremum lokalne w punkcie x0,
2.
pochodną f’(x0)
to f’(x0)=0.
Tw. 10 (I warunek wystarczający)
A)Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1.
f’(x0)=0,
2.
istnieje takie r>0, że
f’(x)>0 dla każdego xS(x0-,r),
f’(x)<0 dla każdego xS(x0+,r),
to w punkcie x0 ma maksimum lokalne.
B)Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1.
f’(x0)=0,
2.
istnieje takie r>0, że
f’(x)<0 dla każdego xS(x0-,r),
f’(x)>0 dla każdego xS(x0+,r),
to w punkcie x0 ma minimum lokalne.
Tw. 11 (II warunek wystarczający)
Jeżeli funkcja f spełnia warunki
1.
f’(x0)=0
2.
f’’(x0)>0
to w punkcie x0 ma minimum lokalne.
Jeżeli funkcja f spełnia warunki
1.
f’(x0)=0
2.
f’’(x0)<0
to w punkcie x0 ma maksimum lokalne.
Def.8
Liczba mR jest wartością najmniejszą funkcji f na zbiorze ADf jeżeli

x0  A
f ( x0 )  m

 f ( x)  m
x A
Liczba MR jest wartością największą funkcji f na zbiorze ADf jeżeli

x0 A
f ( x0 )  M

 f ( x)  M
xA
Algorytm szukania wartości najmniejszej i największej (ekstremum globalne)
1. Znajdujemy punkty c1, c2,…,cn w których pochodna jest równa zero na
przedziale (a,b) oraz punkty d1,d2,…,dm w których nie istnieje pochodna
właściwa.
2. Obliczamy wartości funkcji w punktach końcowych a, b oraz w c1, …, cn i
d1,…,dm.
3. Spośród wartości z punktu 2. wybieramy najmniejszą i największą.