MACIERZE I ICH RODZAJE. DZIAŁANIA NA MACIERZACH

MACIERZE I ICH RODZAJE. DZIAŁANIA
NA MACIERZACH
Definicja. Macierzą o wymiarach m × n nazywamy
układ liczb rzeczywistych w postaci tablicy prostokątnej, mającej m wierszy i n kolumn:


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 
.
A = [aij ] = 
 ... ... ... ... 
am1 am2 . . . amn
Liczby {aij } nazywamy elementami macierzy.
Macierze A i B o tych samych wymiarach są równe,
jeśli wszystkie odpowiednie elementy macierzy są sobie
równe, tzn. aij = bij dla wszystkich i, j.
W zależności od kształtu rozróżniamy macierze prostokątne (m ̸= n, m > 1, n > 1) oraz kwadratowe
(m = n > 1; liczbę n nazywamy stopniem macierzy).
Gdy m = 1, n > 1, mówimy o wektorze-wierszu;
gdy m > 1, n = 1, mówimy o wektorze-kolumnie.
Macierz, wszystkie elementy której to zera, nazywamy
macierzą zerową.
U macierzy kwadratowej stopnia n wyróżniamy przekątną, złożoną z elementów a11, a22, . . . , ann.
1
Jeśli wszystkie pozostałe elementy macierzy kwadratowej, oprócz elementów na przekątnej, są równe zeru, to
macierz nazywamy diagonalną.
Macierzą jednostkową nazywamy macierz diagonalną,
której wszystkie elementy na przekątnej to jedynki.
Macierz kwadratową nazywamy symetryczną, jeśli aij =
aji dla wszystkich i, j.
Macierzą transponowaną do macierzy A o wymiarach
m×n nazywamy macierz AT o wymiarach n×m, która
powstaje z macierzy A w wyniku zamiany wierszy na
kolumny.
Działania na macierzach.
Wynikiem mnożenia macierzy A = [aij ] przez liczbę
c ∈ R będzie macierz

ca11 ca12 . . . ca1n
 ca21 ca22 . . . ca2n 
.
cA = [caij ] = 
 ... ... ... ... 
cam1 cam2 . . . camn
Sumą macierzy A i B o tych samych wymiarach nazywamy macierz


a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
 a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n 
.
A+B = [aij +bij ] =


...
...
...
...
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn
2
Iloczynem macierzy A o wymiarach m × k i macierzy
B o wymiarach k × n nazywamy macierz C = AB o
wymiarach m×n, elementy której są określone wzorem
cij =
k
∑
ail blj , i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n.
l=1
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A nazywamy liczbę detA określoną (dla n = 2 i n = 3) jako:
[
]
a11 a12
det
= a11a22 − a21a12,
a21 a22


a11 a12 a13
det  a21 a22 a23  = a11a22a33+a21a32a13+a12a23a31−
a31 a32 a33
−a31a22a13−a32a23a11−a21a12a33
(dla macierzy kwadratowych stopnia powyżej 3 stosowane są bardziej skomplikowane wzory).
Macierz kwadratowa nazywa się osobliwą, jeśli jej wyznacznik jest równy zeru, oraz nieosobliwą w przeciwnym przypadku.
3