Zastosowania pochodnej

Zastosowania pochodnej.
A. Przybli anie funkcji przy pomocy funkcji liniowej – ró niczka
Załó my, e funkcja f okre lona na przedziale (a,b), ma sko czon pochodn (czyli jest
ró niczkowalna) w punkcie x0∈(a,b). Wówczas funkcj f mo emy przedstawi w postaci
sumy dwóch funkcji,
f ( x) = l ( x) + r ( x)
z których jedna jest liniowa, za druga d y do zera gdy x d y do x0. Rzeczywi cie,
poniewa
f ' ( x0 ) = lim
x → x0
f ( x) − f ( x0 )
x − x0
wi c wystarczy podstawi
l ( x) = f ' ( x) ⋅ ( x − x0 ) + f ( x0 )
oraz
Cz
r ( x) = f ( x) − l ( x)
liniow funkcji l (pomijaj c przesuni cia na obu osiach) nazywamy ró niczk funkcji
f w punkcie x0 i oznaczamy zwyczajowo symbolem df. Zatem
df x0 ( x − x0 ) = f ' ( x0 ) ⋅ ( x − x0 )
czyli
df x0 (h) = f ' ( x0 ) ⋅ h
Przykład: Poniewa funkcja f ( x) = 3 x jest ró niczkowalna oraz
2
wi c
przyjmuj c
x0=1,
1 −
1
f ' ( x) = ⋅ x 3 =
3
33 x 2
3
otrzymujemy
1
1,1 ≈ ⋅ 0,1 + 3 1 = 1,0333...
3
B. Przybli anie funkcji przy pomocy wielomianu – wzór Taylora
Je eli wszystkie pochodne funkcji f do rz du n-1 wł cznie s ci głe w przedziale [x0,x0+h]
oraz istnieje pochodna rz du n w przedziale (x0,x0+h), to
f ' ( x0 )
f ' ' ( x0 ) 2
f ( n−1) ( x0 ) n−1
f ( x + h ) = f ( x0 ) +
h+
h + ... +
h + Rn
(n − 1)!
1!
2!
gdzie reszta wzoru Taylora Rn jest postaci
f ( n ) ( x0 + ah) n
Rn =
h
n!
dla pewnej liczby a z przedziału (0,1).
Wielomian
Wn−1 (h) = f ( x0 ) +
f ( k ) ( x0 ) k
h
k!
n −1
k =1
nazywamy wielomianem Taylora funkcji f w punkcie x0.
Je li x0=0, to wzór Taylora przyjmuje posta zwan wzorem Maclaurina
gdzie
f ' ( 0)
f ' ' ( 0) 2
f ( n−1) (0) n−1
f ( x ) = f ( 0) +
x+
x + ... +
x + Rn ( x)
(n − 1)!
1!
2!
f ( n ) (ax) n
Rn ( x) =
x
n!
Przykład: Stosuj c wzór Maclaurina do funkcji f(x)=ex mo emy obliczy liczb e z dowoln
dokładno ci . Rzeczywi cie, poniewa dla dowolnego x
wi c
f ' ( x) = f ' ' ( x) = ... = f ( n ) ( x) = e x
f (0) = f ' (0) = f ' ' (0) = ... = f ( n ) (0) = 1
Zatem
oraz
1
1
1
e1 = 1 + 1 + 12 + ... +
1n−1 + Rn (1)
1! 2!
(n − 1)!
Rn (1) =
Je eli chcemy wyznaczy liczb
wielomian Taylora dla n=8, gdy
R8 (1) <
ea
e 3
< <
n! n! n!
e z dokładno ci
do 0,0001, to wystarczy obliczy
3
1
1
=
<
= 0,0001
8! 13440 10000
Przybli ona warto
liczby e wynosi w tym przypadku
W7 (1) = 1 + 1 +
1 1 1 1 1 1
+ + + + + = 2,7183
2! 3! 4! 5! 6! 7!
C. Obliczanie granic wyra e nieoznaczonych – twierdzenia de l’Hospitala
Załó my, e funkcje
f ' ( x)
f ( x)
i
s okre lone w pewnym s siedztwie punktu x0 oraz
h' ( x )
h( x )
lim f ( x) = lim g ( x) = g
x → x0
gdzie g=0, g=∞ lub g=Je li istnieje granica lim
x→ x
0
x → x0
∞.
f ' ( x)
f ( x)
f ' ( x)
= lim
, to lim
.
x→ x0 h( x )
x→ x0 h' ( x )
h' ( x )
Analogiczne twierdzenie zachodzi tak e dla granic jednostronnych oraz dla x→∞ i x→-∞.
sin(3 x)
0
sin' (3 x)
cos(3 x) ⋅ 3
=
= lim
= lim
=3
x →0 sin x
x → 0 sin' x
x →0
0
cos x
lim
Przykłady:
x
0
=
= lim
x →0 tg ( x )
x →0
0
lim xctg ( x) = lim
x →0
1
= lim cos 2 x = 1
x →0
1
2
cos x
1
(ln x )' = lim x = 0
ln x
∞
lim
=
= lim
x →∞ x
x →∞
x →∞ 1
∞
x'
Uwaga: Warunkiem koniecznym stosowania twierdzenia de l’Hospitala jest granica postaci
0
∞
lub
.
∞
0