0 - Irek.edu.pl

Styczna do wykresu funkcji.
Podstawy teoretyczne.
1. Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy pochodnej funkcji w
punkcie styczności: jeżeli punkt styczności ma współrzędne
P = ( x 0 , y 0 ) , a styczna ma równanie y = ax + b , to a = f ' ( x 0 ) .
2. Styczna do wykresu funkcji f(x) w punkcie P = ( x0 , y 0 ) ma równanie:
y = f ' ( x 0 ) ⋅ (x − x 0 ) + y 0 .
3. Punkt styczności należy zarówno do wykresu funkcji, jak i do
stycznej. Z tego prostego faktu korzysta się bardzo często.
Przykładowe zadania.
Zadanie 1.
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f ( x) = x 3 + x 2 − 3x + 5 ,
prostopadłej do prostej o równaniu x − 2y + 7 = 0
Rozwiązanie.
x − 2y + 7 = 0 ⇔ y =
1
7
x+
2
2
Styczna ma być prostopadła do tej prostej, czyli musi mieć równanie
y = −2x + b .
Oznacza to, że jeśli punkt P = ( x0 , y 0 ) jest punktem styczności, to f ' ( x 0 ) = −2 .
f ' ( x ) = 3x 2 + 2x − 3
f ' ( x 0 ) = 3x 02 + 2x 0 − 3 = −2
3x 02 + 2x 0 − 1 = 0
∆ = 4 + 12 = 16
−2−4
−2+4 1
x0 =
= −1 lub x 0 =
=
6
6
3
Punkt styczności należy do wykresu funkcji f ( x) = x 3 + x 2 − 3x + 5 ; jego
współrzędne spełniają równanie funkcji.
Jeżeli x 0 = −1 , to y 0 = ( −1)3 + ( −1)2 − 3 ⋅ ( −1) + 5 = 8 .
3
2
1
1
1
1
1 1
112
Jeżeli x0 = , to y 0 =   +   − 3 ⋅ + 5 = + + 4 =
3
3
27 9
27
 3  3
Zadanie ma dwa rozwiązania:
1. y = −2x + b , P1 = ( −1,8) jest punktem styczności.
8 = 2 ⋅ ( −1) + b ⇔ b = 10
Pierwsza styczna ma równanie: y = −2x + 10
2. y = −2x + b , P2 =  ,
1 112 
 jest punktem styczności.
 3 27 
112
1
112 2 94
= 2⋅ + b ⇔ b =
− =
27
3
27 3 27
Druga styczna ma równanie: y = −2x +
94
27
Zadanie 2.
Dana jest funkcja f ( x) = x 3 + x . Udowodnij, że dla dowolnego x 0 ≠ 0 , styczne
do wykresu tej funkcji poprowadzone w punktach x 0 i − x 0 są prostymi
równoległymi.
Rozwiązanie.
f ' ( x ) = 3x 2 + 1
Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie x 0 jest równy:
a1 = f ' ( x 0 ) = 3x02 + 1
Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie − x 0 jest równy:
a 2 = f ' ( − x0 ) = 3( − x 0 )2 + 1 = 3x02 + 1
a1 = a 2 , czyli styczne są prostymi równoległymi, co kończy dowód.
Zadanie 3.
f ( x) =
4
. Udowodnij, że pole trójkąta wyznaczonego przez punkty przecięcia
x
dowolnej stycznej do wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych, oraz
punkt S = (0,0) nie zależą od wyboru punktu styczności.
Rozwiązanie.
f ' ( x) = −
y0 =
4
. Niech P = ( x0 , y 0 ) , x 0 ≠ 0 będzie punktem styczności.
x2
4
.
x0
Styczna do wykresu funkcji w punkcie P ma równanie:
y = f ' (x0 ) ⋅ (x − x0 ) + y 0
y=−
4
4
⋅ ( x − x0 ) +
2
x0
x0
y=−
4
4
4
⋅ x + 2 ⋅ x0 +
2
x0
x0
x0
y=−
4
8
⋅x+
2
x0
x0
Współrzędne punktów przecięcia stycznej z osiami układu współrzędnych:

8
a) z osią OY: A =  0, 
 x0 
b) z osią OX: 0 = −
4
8
4
8
⋅x+
⇔ x = 2x 0 . Stąd B = ( 2x 0 ,0)
⇔ 2 ⋅x=
2
x0
x0
x0
x0
Pole trójkąta ASB, gdzie S = (0,0) :
P=
1
1 8
1 16x 0
⋅ SA ⋅ SB = ⋅
⋅ 2x 0 = ⋅
= 8 , czyli pole nie zależy od wyboru
2
2 x0
2 x0
punktu styczności, co należało udowodnić.
Zadanie 4.
Znajdź równanie wspólnej stycznej do wykresów funkcji f ( x ) = x 2 + 4x + 8
oraz g( x) = x 2 + 8x + 4 .
Rozwiązanie.
Prosta y = ax + b ma być styczną do wykresów obydwu funkcji. Punkty
styczności mogą być jednak różne.
Oznaczmy:
- punkt styczności do wykresu funkcji f: Pf = (m, m 2 + 4m + 8)
- punkt styczności do wykresu funkcji g: Pg = (p, p 2 + 8p + 4)
Wiadomo, że a = f ' (m ) = g' (p )
f ' ( x ) = 2x + 4
g' ( x) = 2x + 8
, f ' (m ) = 2m + 4
, g' (p ) = 2p + 8
Równanie stycznej w punkcie Pf :
y = f ' (m ) ⋅ ( x − m ) + f (m )
y = ( 2m + 4)( x − m ) + m 2 + 4m + 8
y = ( 2m + 4)x − 2m 2 − 4m + m 2 + 4m + 8
y = ( 2m + 4)x − m 2 + 8
Równanie stycznej w punkcie Pg :
y = g' ( p ) ⋅ ( x − p ) + g ( p )
y = ( 2p + 8)( x − p ) + p 2 + 8p + 4
y = ( 2p + 8)x − 2p 2 − 8p + p 2 + 8p + 4
y = ( 2p + 8)x − p 2 + 4
Ponieważ obie styczne są tą samą prostą, musi być spełniony układ równań:
 2m + 4 = 2p + 8

2
2
− m + 8 = −p + 4
p 2 − (p + 2) 2 + 4 = 0
m = p + 2
⇔  2
2
p − m + 4 = 0
p 2 − p 2 − 4p − 4 + 4 = 0
p=0
Szukane równanie stycznej:
rozwiązaniem zadania.
y = ( 2p + 8)x − p 2 + 4
⇔ y = 8x + 4 ,
co jest
Zadanie 5.
π
Dla jakich wartości α ∈  0,  wykres funkcji f ( x) = x 3 − x − cos 2α − sin α + 3
 2
jest styczny do prostej y = 2x ?
Rozwiązanie.
Jeżeli P oznacza punkt styczności, to ma on współrzędne P = (p,2p ) .
f ' ( x ) = 3x 2 − 1 .
Wiemy, że f ' (p ) = 2 , czyli 3p 2 − 1 = 2 ⇔ p 2 = 1 ⇔ (p1 = −1 , p 2 = 1)
Mamy dwa punkty styczności:
P1 = (− 1,−2 ) , P2 = (1,2)
a) Punkt P1 = (− 1,−2) należy do wykresu funkcji f, czyli:
(− 1)3 − (− 1) − cos 2α − sin α + 3 = −2
− cos 2α − sin α + 5 = 0
− (1 − 2 sin 2 α ) − sin α + 5 = 0
2 sin 2 α − sin α + 4 = 0
Pomocnicza niewiadoma : t = sin α
2t 2 − t + 4 = 0
∆ = 1 − 4 ⋅ 2 ⋅ 4 < 0 − równanie nie ma rozw .
b) Punkt P2 = (1,2) należy do wykresu funkcji f, czyli:
13 − 1 − cos 2α − sin α + 3 = 2
(
)
− 1 − 2 sin 2 α − sin α + 1 = 0
2 sin 2 α − sin α = 0
sin α( 2 sin α − 1) = 0
sin α = 0 ∨ sin α =
1
2
π
Ponieważ α ∈  0,  , więc rozwiązaniem równania, a zarazem i całego

2
π
6
zadania jest α = .