stat z proby_zadania - E-SGH

Rozkłady statystyk z próby
Zadanie 1. Waga produkowanych w zakładzie mleczarskim kostek masła ma rozkład
normalny z wartością oczekiwaną 20 dag i odchyleniem standardowym 0,8 dag. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że:
• waga wybranej kostki masła będzie mieścić się w przedziale od 19,5 do 20,5 dag?
• w losowej próbie 40 kostek masła średnia waga kostki masła przekroczy 20,3 dag?
Zadanie 2. Miesięczne zużycie energii elekt.(kWh) w rodz. czteroosobowych ma
rozkład N(300,100). a) Obliczyć prawdopodobieństwo zużycia ponad 450 kWh w
miesiącu przez losowo wybraną rodzinę czteroosobową.
b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 25 losowo wybranych rodzin średnie
zużycie energii będzie niższe niż 320 kWh.
Zadanie 3. Przypuszcza się , że czas eksploatacji komputerów (w latach) jest zmienną
losową o rozkładzie normalnym N (6;1,2)
a) Podać prawdopodobieństwo, że losowo wybrany komputer będzie eksploatowany
krócej niż 5 lat i jeden kwartał.
b) Zaznaczyć obliczone w p. a) prawdopodobieństwo na wykresie funkcji gęstości
oraz dystrybuanty rozkładu normalnego.
c) Jaki czas pracy ma 80 % komputerów najszybciej wycofanych z eksploatacji?
d) Wiedząc, że komputery stoją w pracowniach po 16 sztuk, odpowiedzieć, jakie jest
prawdopodobieństwo, że średni czas eksploatacji komputerów w losowo wybranej
pracowni przekroczy 6,5 roku
Zadanie 4. Rozkład obrotów przedsiębiorstw pewnej branży jest normalny, z
odchyleniem standardowym równym 2 mln zł. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
średnie obroty w 40-elementowej próbie przedsiębiorstw będą się różniły od średniej
w populacji o:
• mniej niż 0,8 mln zł?
• więcej niż 0,5 mln zł?
Zadanie 5. Na podstawie danych o wysokości opłat ( €) za wizytę u lekarza internisty
w krajach Unii Europejskiej ustalono, że rozkład opłat był zgodny z rozkładem
normalnym o przeciętnej równej 33,68 €.
a) Określ typ rozkładu średniej opłaty dla 9 losowo wybranych krajów, jeśli
dodatkowo wiadomo, że w grupie tych krajów nieobciążone odchylenie standardowe
wyniosło 23,10€.
b) Oblicz P( x9 > 48) . Wynik zilustruj graficznie.
Zadanie 6. Dzienne przychody ze sprzedaży pasty do zębów są zmienną losową o
wartości oczekiwanej równej 4000 zł i odchyleniu standardowym stanowiącym 50%
poziomu wartości oczekiwanej. Rozkład tej zmiennej losowej jest jednak nieznany.
Oblicz, jeśli jest to możliwe, prawdopodobieństwo, że w przeciągu 100 losowo
wybranych dni przeciętne przychody ze sprzedaży pasty będą zawierać się w
przedziale 3800-4500 zł. Uzasadnij sposób rozwiązania.
Zadanie 7. W wyniku obserwacji rocznych wydatków na książki mieszkańców miast i
mieszkańców wsi stwierdzono, że mieszkańcy miast wydają na książki przeciętnie 500
zł rocznie z odchyleniem standardowym 100zł , natomiast mieszkańcy wsi 350 zł z
odchyleniem standardowym 50zł. Pobrano niezależnie 50-elementową próbę losową
mieszkańców miast oraz 60-elementową próbę losową mieszkańców wsi. Wiedząc, że
rozkład wydatków na książki zarówno w mieście jak i na wsi jest rozkładem
normalnym, oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że:
• średnie wydatki na książki w mieście są większe od średnich wydatków na książki
na wsi o ponad 120zł
• średnie wydatki na książki w mieście są większe od średnich wydatków na książki
na wsi o 150zł.
Zadanie 8. Czas poświęcany na oglądanie telewizji przez osobę dorosłą dziennie jest
zmienną losową o rozkładzie normalnym N(3 godziny; 1 godzina). Załóżmy, że
rozkład ten jest identyczny dla wszystkich osób dorosłych. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że
• grupa 120 osób dorosłych w ciągu 1 dnia spędziła w sumie powyżej 350 godzin
przed telewizorem.
• grupa 300 osób spędziła przed telewizorem w sumie od 860 do 930 godzin.
• grupa 300 osób spędziła przed telewizorem w sumie od 910 do 960 godzin.
• w grupie 100 osób średni czas spędzony przed telewizorem wyniesie od 3 do 3,5
dziennie.
Zadanie 9. Prędkość czytania u dorosłego człowieka jest zmienną losową, gdzie
E(X)=200 (słów na minutę) oraz D(X)=40 (słów na minutę). Załóżmy, że rozkład
niezależnych zmiennych Xk jest identyczny dla wszystkich dorosłych. Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, że przeciętna prędkość czytania (na jedną osobę) w grupie
200 dorosłych osób będzie się zawierała w przedziale 195 – 203 słów na minutę.
Zadanie 10. Wartość jednorazowych zakupów dokonywanych przez mieszkańca
osiedla w najbliższym supermarkecie jest zmienną losową o rozkładzie normalnym
N(38,5 zł ; 9 zł). Jeśli w ciągu dnia supermarket odwiedza 500 mieszkańców osiedla,
to jak często obrót ten przekracza 25 000 zł?
Zadanie 11. W rozgrywkach sportowych można zdobyć maksymalnie 50 punktów,
przy czym rozkład liczby punktów zdobytych przez pojedynczego gracza ma wartość
oczekiwaną 30 i odchylenie standardowe 5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
• drużyna licząca 30 graczy zdobędzie wspólnie ponad 1000 punktów?
• średnia liczba punktów zdobytych przez 30 graczy jest większa niż 32.
Zadanie 12. Zakład ubezpieczeń
Poli S.A. zatrudnia 400 agentów
(ubezpieczeniowych). Liczba klientów zdobywanych przez każdego z nich
miesięcznie ma jednakowy rozkład z wartością oczekiwaną 50 klientów i wariancją
100 klientów2. Za każdego zdobytego klienta zakład wypłaca premię 25 zł. Obliczyć i
zinterpretować prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym miesiącu wartość
wypłaconych premii przekroczy 525 tys. zł.
Zadanie 13. W Urzędzie ds. Walki z Biurokracją pracuje 900 osób. Każda z nich
pisze średnio 40 notatek służbowych w miesiącu, przy wariancji 49 notatek2. Rozkład
liczby notatek w miesiącu jest taki sam dla każdego pracownika. Za każdą notatkę
pracownik płaci karę 10 zł. Obliczyć i zinterpretować prawdopodobieństwo, że w
losowo wybranym miesiącu łączna wartość zapłaconych kar będzie mniejsza niż
347 400.
Zadanie 14. Trener ( a zarazem miłośnik statystyki) oświadczył trójskoczkowi, że
pojedzie na olimpiadę do Pekinu, jeśli będzie skakał daleko i regularnie tzn. spełni
dwa poniższe warunki:
• średni wynik wśród 25 losowo wybranych skoków w sezonie nie będzie niższy niż
16,32 m
• rozrzut wyników (mierzony odchyleniem standardowym) wśród losowo wybranych
25 skoków nie przekroczy 0,38 m.
Który z warunków łatwiej będzie spełnić trójskoczkowi, jeśli rozkład jego wyników
jest N(16,2 ; 0,5)
Zadanie 15. Wiadomo, że prawdopodobieństwo zgłoszenia reklamacji wynosi 0,1.
Które z poniższych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne:
• spośród 4 klientów przynajmniej 1 zgłosi reklamację,
• spośród 400 klientów reklamację zgłosi co najmniej 38 osób? Proszę uzasadnić
metodę rozwiązania.
Zadanie 16. Ostatnie badania przeprowadzone w Wielkiej Brytanii wykazały, że 7 na
10 Brytyjczyków żyje w ciągłym stresie. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że
w grupie 500 Brytyjczyków znajdzie się:
• od 300 do 350 osób “zestresowanych”;
• od 370 do 410 osób “zestresowanych”.
Zadanie 17. Ostatnie badania pt. “Polak w Internecie” wykazały, że 86% Polaków
łączy się z siecią. Oblicz prawdopodobieństwo, że w próbie 150 Polaków odsetek osób
łączących z siecią nie przekroczy 83%.
Zadanie 18. Wiadomo, że w El Salvador 76 mężczyzn na 100 oraz 70 na 100 kobiet
potrafi czytać. Oblicz prawdopodobieństwo, że odsetek kobiet umiejących czytać w
losowo wybranej grupie 220 kobiet będzie większy od odsetka wylosowanych 325
mężczyzn.
Zadanie 19. Na studiach dziennych 25% studentów wybiera specjalizację w zakresie
zarządzania i marketingu, na studiach zaocznych tę samą specjalizację wybiera 20%
studentów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowo wybranej próbie liczącej 200
studentów studiów dziennych udział wybierających badaną specjalizację będzie
przynajmniej o 7% wyższy od udziału specjalizujących się w zarządzaniu i
marketingu w grupie 150 studentów studiów zaocznych.