Twierdzenia graniczne i statystyki z próby Zadanie 1 Wiadomo, że
Transkrypt
Twierdzenia graniczne i statystyki z próby Zadanie 1 Wiadomo, że
Twierdzenia graniczne i statystyki z próby Zadanie 1 Wiadomo, że prawdopodobieństwo zgłoszenia reklamacji wynosi 0,1. Które z poniższych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne: a) spośród 4 klientów przynajmniej 1 zgłosi reklamację, b) spośród 400 klientów reklamację zgłosi co najmniej 38 osób? Proszę uzasadnić metodę rozwiązania. Zadanie 2 Ostatnie badania przeprowadzone w Wielkiej Brytanii wykazały, że 7 na 10 Brytyjczyków żyje w ciągłym stresie. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że w grupie 500 Brytyjczyków znajdzie się: a) od 300 do 350 osób “zestresowanych”; b) od 370 do 410 osób “zestresowanych”; c) udział „zestresowanych” będzie większy niż 0,6. Zadanie 3 Dobowy czas snu dorosłej osoby jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(8 godz.; 1 godz.). Załóżmy, że rozkład ten jest identyczny dla wszystkich osób dorosłych. Obliczyć prawdopodobieństwo, że a) łączny czas snu grupy 120 osób dorosłych w ciągu 1 doby przekroczył 1000 godzin. b) czas snu grupy 300 osób wyniósł w sumie od 2350 do 2440 godzin. c) grupa 300 osób spędziła we śnie w ciągu jednej doby w sumie od 2410 do 2460 godzin. d) w grupie 100 osób średni czas snu na dobę wyniesie od 8 do 9 godzin. Zadanie 4 W Urzędzie ds. Walki z Biurokracją pracuje 900 osób. Każda z nich pisze średnio 40 notatek służbowych w miesiącu, przy wariancji 49 notatek2. Rozkład liczby notatek w miesiącu jest taki sam dla każdego pracownika. Za każdą notatkę pracownik płaci karę 10 zł. Obliczyć i zinterpretować prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym miesiącu łączna wartość zapłaconych kar będzie mniejsza niż 347 400. Zadanie 5 Prędkość czytania u dorosłego człowieka jest zmienną losową, gdzie E(X)=200 (słów na minutę) oraz D(X)=40 (słów na minutę). Załóżmy, że rozkład niezależnych zmiennych Xk jest identyczny dla wszystkich dorosłych. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przeciętna prędkość czytania (na jedną osobę) w grupie 200 dorosłych osób będzie się zawierała w przedziale 195-203 słów na minutę. Zadanie 6 Dzienne przychody ze sprzedaży pasty do zębów są zmienną losową o wartości oczekiwanej równej 4000 zł i odchyleniu standardowym stanowiącym 50% poziomu wartości oczekiwanej. Rozkład tej zmiennej losowej jest jednak nieznany. Oblicz, jeśli jest to możliwe, prawdopodobieństwo, że w przeciągu 100 losowo wybranych dni przeciętne przychody ze sprzedaży pasty będą zawierać się w przedziale 3800-4500 zł. Uzasadnij sposób rozwiązania. Zadanie 7 Zakład ubezpieczeń Poli S.A. zatrudnia 400 agentów (ubezpieczeniowych). Liczba klientów zdobywanych przez każdego z nich miesięcznie ma jednakowy rozkład z wartością oczekiwaną 50 klientów i wariancją 100 klientów2. Za każdego zdobytego klienta zakład wypłaca premię 25 zł. Obliczyć i zinterpretować prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym miesiącu wartość wypłaconych premii przekroczy 525 tys. zł. 1 Zadanie 8 Wartość jednorazowych zakupów dokonywanych przez mieszkańca osiedla w najbliższym supermarkecie jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(38,5 zł; 9 zł). Jeśli w ciągu dnia supermarket odwiedza 500 mieszkańców osiedla, to jak często obrót ten przekracza 25 000 zł? Zadanie 9 Waga produkowanych w zakładzie mleczarskim kostek masła ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną 20 dag i odchyleniem standardowym 0,8 dag. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) waga wybranej kostki masła będzie mieścić się w przedziale od 19,5 do 20,5 dag? b) w losowej próbie 40 kostek masła średnia waga kostki masła przekroczy 20,3 dag? Zadanie 10 Miesięczne zużycie energii elekt.(kWh) w rodzinach czteroosobowych ma rozkład N(300,100). Obliczyć prawdopodobieństwo: a) zużycia ponad 450 kWh w miesiącu przez losowo wybraną rodzinę czteroosobową. b) że wśród 25 losowo wybranych rodzin średnie zużycie energii będzie niższe niż 320 kWh. Zadanie 11 Przypuszcza się , że czas eksploatacji komputerów (w latach) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N (6;1,2) a) Podać prawdopodobieństwo, że losowo wybrany komputer będzie eksploatowany krócej niż 5 lat i jeden kwartał. b) Zaznaczyć obliczone w p. a) prawdopodobieństwo na wykresie funkcji gęstości oraz dystrybuanty rozkładu normalnego. c) Jaki czas pracy ma 80% komputerów najszybciej wycofanych z eksploatacji? d) Wiedząc, że komputery stoją w pracowniach po 16 sztuk, odpowiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo, że średni czas eksploatacji komputerów w losowo wybranej pracowni przekroczy 6,5 roku Zadanie 12 Rozkład obrotów przedsiębiorstw pewnej branży jest normalny, z odchyleniem standardowym równym 2 mln zł. Obliczyć prawdopodobieństwo, że średnie obroty w 40-elementowej próbie przedsiębiorstw będą się różniły od średniej w populacji o: a) mniej niż 0,8 mln zł? b) więcej niż 0,5 mln zł? Zadanie 13 Na podstawie danych o wysokości opłat (€) za wizytę u lekarza internisty w krajach Unii Europejskiej ustalono, że rozkład opłat był zgodny z rozkładem normalnym o przeciętnej równej 33,68 €. a) Określ typ rozkładu średniej opłaty dla 9 losowo wybranych krajów, jeśli dodatkowo wiadomo, że w grupie tych krajów nieobciążone odchylenie standardowe wyniosło 23,10€. b) Oblicz P( X 9 > 48) . Wynik zilustruj graficznie. Zadanie 14 Trener (a zarazem miłośnik statystyki) oświadczył trójskoczkowi, że pojedzie na olimpiadę do Pekinu, jeśli będzie skakał daleko i regularnie tzn. spełni dwa poniższe warunki: a) średni wynik wśród 25 losowo wybranych skoków w sezonie nie będzie niższy niż 16,32 m b) rozrzut wyników (mierzony odchyleniem standardowym) wśród losowo wybranych 25 skoków nie przekroczy 0,38 m. Który z warunków łatwiej będzie spełnić trójskoczkowi, jeśli rozkład jego wyników jest N(16,2 ; 0,5) 2 Zadanie 15 W rozgrywkach sportowych można zdobyć maksymalnie 50 punktów, przy czym rozkład liczby punktów zdobytych przez pojedynczego gracza ma wartość oczekiwaną 30 i odchylenie standardowe 5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że a) drużyna licząca 30 graczy zdobędzie wspólnie ponad 1000 punktów? b) średnia liczba punktów zdobytych przez 30 graczy jest większa niż 32. Zadanie 16 W wyniku obserwacji rocznych wydatków na książki mieszkańców miast i mieszkańców wsi stwierdzono, że mieszkańcy miast wydają na książki przeciętnie 500 zł rocznie z odchyleniem standardowym 100zł , natomiast mieszkańcy wsi 350 zł z odchyleniem standardowym 50zł. Pobrano niezależnie 50-elementową próbę losową mieszkańców miast oraz 60-elementową próbę losową mieszkańców wsi. Wiedząc, że rozkład wydatków na książki zarówno w mieście jak i na wsi jest rozkładem normalnym, oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że: a) średnie wydatki na książki w 50-elementowej próbie w mieście są większe od średnich wydatków na książki w 60-elementowej próbie na wsi o ponad 120zł b) średnie wydatki na książki w 50-elementowej próbie w mieście są większe od średnich wydatków na książki w 60-elementowej próbie na wsi o 150zł. Zadanie 17 Zmienne X1 i X2 mają rozkłady normalne odpowiednio: N(90,12) i N(30,8). Sprawdź, czy przy założeniu, że pobrane niezależnie próby losowe liczyły po 25 jednostek, zachodzi nierówność: P (55 < x1 − x 2 < 65) >2 P ( x1 > 90) Zadanie 18 Ostatnie badania pt. “Polak w Internecie” wykazały, że 86% młodych Polaków łączy się z siecią co najmniej raz w tygodniu. Oblicz prawdopodobieństwo, że w próbie 150 młodych Polaków odsetek osób łączących z siecią nie przekroczy 83%. Zadanie 19 Wiadomo, że w El Salvador 76 mężczyzn na 100 oraz 70 na 100 kobiet potrafi czytać. Oblicz prawdopodobieństwo, że odsetek kobiet umiejących czytać w losowo wybranej grupie 220 kobiet będzie większy od odsetka wylosowanych 325 mężczyzn. Zadanie 20 Na studiach dziennych 25% studentów wybiera specjalizację w zakresie zarządzania i marketingu, na studiach zaocznych tę samą specjalizację wybiera 20% studentów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowo wybranej próbie liczącej 200 studentów studiów dziennych udział wybierających badaną specjalizację będzie przynajmniej o 7 punktów procentowych wyższy od udziału specjalizujących się w zarządzaniu i marketingu w grupie 150 studentów studiów zaocznych. Dodatkowe zadania do rozwiązania w domu: Zbiór zadań: 3.1.3, 3.1.4, 3.1.7, 3.3.3., 3.3.5, 3.3.9 Zestaw dr Wieczorek: 12-28, 31, 32. 3