Lista2

STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Lista 2
Część teoretyczna
Prawdopodobieństwo warunkowe
Definicja 1 Niech B bedzie
zdarzeniem takim, że P (B) > 0. Prawdopodobieństwem
,
warunkowym zdarzenia A przy warunku B nazywamy liczbe,
P (A | B) =
P (A ∩ B)
.
P (B)
Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu “słuszną” kostką niech A oznacza zdarzenie, że wypadła ścianka z parzystą liczbą oczek, natomiast zdarzenie B, że wypadła ścianka
z liczbą oczek większą od 3. Wówczas A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6}, A ∩ B = {4, 6} oraz
P (A | B) =
2/6
2
= .
3/6
3
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
(tzn. Bi ∩ Bj = ∅,
Twierdzenie 1∪Jeżeli zdarzenia B1 , B2 , . . . , Bn sa, parami rozłaczne
,
gdy i ̸= j) oraz ni=1 Bi = Ω, P (Bi ) > 0, dla i = 1, 2, . . . , n, to dla każdego zdarzenia A
P (A) =
n
∑
P (A | Bi )P (Bi ).
i=1
Twierdzenie to jest również prawdziwe, gdy mamy do czynienia z ciagiem
zdarzeń {Bi },
,
i = 1, 2, . . . , gdzie zbiory te maja, dodatnie prawdopodobieństwo, sa, parami rozłaczne,
,
a ich suma jest równa Ω.
Przykład 2 Test ELISA na obecność wirusa HIV w organizmie (stosowany w USA w połowie lat osiemdziesiatych)
daje wynik pozytywny z prawdopodobieństwem 0, 98 i nega,
tywny z prawdopodobieństwem 0, 02, jeśli wirus jest w organizmie. Jeżeli wirusa w organizmie nie ma, prawdopodobieństwo wyniku pozytywnego wynosi 0, 07. Zakłada sie,
, że 1%
populacji jest zarażony tym wirusem. Obliczyć prawdopodobieństwo, że u losowo wybranej
osoby z tej populacji test da wynik pozytywny.
Rozwiązanie. Oznaczmy przez W zdarzenie, że wirus jest w organizmie i przez T zdarzenie, że test dał wynik pozytywny. Wówczas zdarzenie W ′ , przeciwne do zdarzenia W ,
oznacza, że wirusa w organizmie nie ma, a T ′ oznacza, że test dał wynik negatywny.
Z treści zadania mamy:
P (T | W ) = 0.98,
P (T ′ | W ) = 0.02,
P (T | W ′ ) = 0.07,
P (W ) = 0.01.
W zadaniu mamy obliczyć P (T ). Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite
mamy
P (T ) = P (T | W )P (W ) + P (T | W ′ )P (W ′ ) = 0.98 ∗ 0.01 + 0.07 ∗ 0.99 = 0.0791,
gdzie P (W ′ ) = 0.99, stąd, że suma prawdopodobieństw dowolnego zdarzenia (tutaj W )
i zdarzenia do niego przeciwnego (tutaj W ′ ) wynosi 1. Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia, że u losowo wybranej osoby test da wynik pozytywny wynosi 0.0791.
Wzór Bayesa
Twierdzenie 2 Jeżeli zdarzenia B1 , B2 , . . . , Bn spełniaja, założenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym oraz P (A) > 0, to
P (Bk | A) =
P (A | Bk )P (Bk )
n
∑
P (A | Bi )P (Bi )
=
P (A | Bk )P (Bk )
,
P (A)
i=1
k = 1, 2, . . . , n.
Przykład 3 (kontynuacja poprzedniego przykładu) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest rzeczywiście zarażona wirusem, jeśli wiadomo, że test dał wynik
pozytywny.
Rozwiązanie. W tym zadaniu mamy policzyć P (W | T ). Ze wzoru Bayesa mamy
P (W | T ) =
P (T | W )P (W )
0.98 ∗ 0.01
=
= 0.1238938.
P (T )
0.791
Zatem prawdopodobieństwo, że osoba, u której test dał wynik pozytywny, jest rzeczywiście
zarażona wirusem wynosi w przybliżeniu 0.12.
Zadania
1. Pewien wyrób może mieć dwa rodzaje defektów: defekt typu a oraz defekt typu b.
Przypuśćmy, że w partii takich wyrobów dostarczonych przez pewnego producenta
20% wyrobów ma defekt typu a, 30% – defekt typu b oraz 10% oba te defekty.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że wyrób wylosowany z partii dostarczonej przez
tego producenta nie bedzie
miał żadnego defektu.
,
2. Pewna, metoda, izotopowa, wykrywa sie, istniejace
w wyrobie uszkodzenia w 90%
,
przypadków oraz błednie
wskazuje uszkodzenie w 1% przypadków. Wiadomo, że 2%
,
produkowanych w fabryce wyrobów ma uszkodzenia. Obliczyć prawdopodobieństwo,
że
(a) dla wybranego losowo elementu metoda wykaże uszkodzenie,
(b) wybrany losowo wyrób jest uszkodzony, gdy metoda izotopowa wskazuje uszkodzenie.
3. Z badań genetycznych wynika, że losowo wybrana kobieta jest nośnikiem hemofilii
z prawdopodobieństwem 0.5. Jeżeli kobieta jest nośnikiem hemofilii, to każdy jej syn
dziedziczy te, chorobe, z prawdopodobieństwem 0.5. Kobiety, które nie sa, nośnikami
hemofilii, rodza, zdrowych synów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kobieta nie jest
nośnikiem hemofilii, jeśli jej dwaj synowie sa, zdrowi. Jeżeli jej pierwszy syn jest
zdrowy, to ile wynosi prawdopodobieństwo, że jej drugi syn bedzie
zdrowy?
,
4. Prawdopodobieństwo tego, że przy określonym procesie technologicznym wyprodukowany wyrób odpowiada wymaganiom normy wynosi 0.9. Każdy wyrób podlega
dwuetapowej kontroli i opuszcza zakład wtedy, gdy przejdzie z wynikiem pozytywnym oba etapy kontroli. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wyrób przeznaczony
do sprzedaży odpowiada wymaganiom normy, gdy prawdopodobieństwo pozytywnego przejścia przez poszczególne etapy kontroli jest takie samo dla obu etapów
i wynosi 0.95 dla wyrobu odpowiadajacego
wymaganiom normy i 0.1 dla wyrobu
,
niezgodnego z tymi wymaganiami.
5. Wybranej grupie studentów zadano pytanie, czy ściagaj
a, na egzaminach. Ponieważ
,
wielu studentów nie chciało udzielić odpowiedzi, zastosowano metode, “odpowiedzi
na tym, że każdy ze studentów rzuca moneta., Jeżeli wypadnie
losowej”polegajacej
,
orzeł i student nie ściaga
na egzaminach, powinien odpowiedzieć “nie”, w pozosta,
łych przypadkach powinien powiedzieć “tak”. Jak oszacować procent ściagaj
acych
,
,
studentów, jeśli w wybranej grupie było 39% odpowiedzi “nie”?
Alicja Jokiel-Rokita
7 października 2016