Liczby zespolone

Liczby zespolone
1
Wiadomości wstępne
Rozważmy równanie wielomianowe postaci
x + 2 = 0.
Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi
i jedyny pierwiastek x = −2 jest liczbą całkowitą. Rozważmy jednak równanie
wielomianowe postaci
3x − 2 = 0.
Tutaj współczynniki wielomianu są w dalszym ciągu całkowite, ale pierwiastek
x = 32 jest niecałkowitą liczbą wymierną. Stąd pojawiła się potrzeba rozszerzenia
zbioru liczb całkowitych do zbioru liczb wymiernych. Łatwo jednak zauważyć,
że istnieją wielomiany o współczynnikach wymiernych, których pierwiastki są
liczbami niewymiernymi. Istotnie, równanie
x2 − 2 = 0
√
ma pierwiastek x = 2, który nie jest liczbą wymierną. Zatem pojawia się
potrzeba rozszerzenia zbioru liczb wymiernych do zbioru liczb rzeczywistych.
Okazuje się jednak, że zbiór liczb rzeczywistych nie spełnia jeszcze warunku
mówiącego, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki
rzeczywiste. Na przykład równanie
x2 + 1 = 0,
(1)
jak dobrze wiadomo, nie ma pierwiastków rzeczywistych. Pojawia się więc potrzeba rozszerzenia zbioru liczb rzeczywistych do większego zbioru liczbowego
(czyli takiego, w którym są określone działania dodawania i mnożenia spełniające standardowe własności takie, jak przemienność, łączność, rozdzielność), w
którym byłby spełniony warunek:
Każdy wielomian o współczynnikach z tego zbioru ma pierwiastki w tym zbiorze.
W niniejszym wykładzie zajmiemy się konstruowaniem tego zbioru, działań
na elementach tego zbioru oraz omówieniem pewnych własności tego zbioru i
jego elementów.
1
2
Konstrukcja zbioru liczb zespolonych i działań
na liczbach zespolonych
Rozważmy płaszczyznę kartezjańską R2 . Każdy element (x, y) tej płaszczyzny
będziemy traktować, jak liczbę. Oczywiście liczby (x, y) i (x0 , y 0 ) są równe wtedy
i tylko wtedy, gdy x = x0 i y = y 0 . Określimy działania na tych liczbach:
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ,
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) .
Definicja 2.1. Płaszczyznę kartezjańską z określonymi wyżej działaniami nazywać będziemy zbiorem liczb zespolonych i oznaczać będziemy symbolem C. Elementy tej płaszczyzny nazywamy liczbami zespolonymi. Płaszczyznę kartezjańską traktowaną jako zbiór liczb zespolonych nazywamy płaszczyzną zespoloną i
wówczas oś odciętych nazywamy osią rzeczywistą, zaś oś rzędnych osią urojoną.
Zwykle na oznaczenie liczb zespolonych będziemy używać litery z. Będziemy
więc pisać z = (x, y).
Łatwo sprawdzić, że zarówno określone wyżej dodawanie, jak i mnożenie
są działaniami przemiennym i łącznymi. Dodatkowo mnożenie jest rozdzielne
względem dodawania. Przykładowo sprawdzimy to ostatnie prawo. Mamy wykazać, że zachodzi równość
(x1 , y1 ) · [(x2 , y2 ) + (x3 , y3 )] = (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) + (x1 , y1 ) · (x3 , y3 ) .
Istotnie,
L = (x1 , y1 ) · [(x2 , y2 ) + (x3 , y3 )] = (x1 , y1 ) · (x2 + x3 , y2 + y3 )
= (x1 · (x2 + x3 ) − y1 · (y2 + y3 ) , x1 · (y2 + y3 ) + y1 · (x2 + x3 ))
= (x1 x2 + x1 x3 − y1 y2 − y1 y3 , x1 y2 + x1 y3 + y1 x2 + y1 x3 )
= (x1 x2 − y1 y2 + x1 x3 − y1 y3 , x1 y2 + y1 x2 + x1 y3 + y1 x3 )
= (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 ) + (x1 x3 − y1 y3 , x1 y3 + y1 x3 )
= (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) + (x1 , y1 ) · (x3 , y3 ) = P .
Rolę zera dla liczb zespolonych odgrywa (0, 0), gdyż dla dowolnej liczby
zespolonej (x, y) mamy
(x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y) .
Zauważmy teraz, że dla dowolnej liczby zespolonej z istnieje liczba do niej
przeciwna z 0 tzn. taka, że dodając ją do z otrzymujemy zero. Istotnie, jeżeli
z = (x, y), to połóżmy z 0 = (−x, −y). Wtedy
z + z 0 = (x, y) + (−x, −y) = (x − x, y − y) = (0, 0) .
Liczbę przeciwną względem z oznaczać będziemy symbolem −z.
2
Wiedząc już co to jest liczba przeciwna względem danej, możemy w zbiorze
liczb zespolonych określić działanie odejmowania:
z1 − z2 = z1 + (−z2 ) .
Podobnie, rolę jedynki dla liczb zespolonych odgrywa (1, 0), gdyż dla dowolnej liczby zespolonej (x, y) mamy
(x, y) · (1, 0) = (x · 1 − y · 0, x · 0 + y · 1) = (x, y) .
Niech teraz z = (x, y) 6= (0, 0) będzie dowolną niezerową liczbą zespoloną.
Zdefiniujmy
−y
x
0
,
.
z =
x2 + y 2 x2 + y 2
Dzięki założeniu niezerowości z dzielenia w ostatnim nawiasie mają sens. Liczba
z 0 jest odwrotna względem z. Istotnie,
z · z 0 = (x, y) ·
x
−y
,
x2 + y 2 x2 + y 2
x2
−y 2
−xy
xy
=
−
,
+
= (1, 0) .
x2 + y 2
x2 + y 2 x2 + y 2
x2 + y 2
Liczbę odwrotną względem z oznaczać będziemy symbolem z −1 .
Wiedząc już co to jest liczba odwrotna względem z, możemy w zbiorze liczb
zespolonych określić działanie dzielenia przez liczby niezerowe:
z1
−1
= z1 · (z2 ) .
z2
Mamy więc w zbiorze liczb zespolonych wszystkie cztery działania, jak w
zbiorze liczb rzeczywistych.
Będziemy utożsamiać liczbę zespoloną postaci (x, 0) z liczbą rzeczywistą x.
Zauważmy, że utożsamienie to jest zgodne z działaniami dodawania i mnożenia, tzn. jeżeli dodamy liczby zespolone (x1 , 0) + (x2 , 0), to otrzymamy liczbę
(x1 + x2 , 0), czyli liczbę utożsamioną ze zwykłą sumą liczb rzeczywistych x1 +x2 .
Podobnie mnożąc przez siebie liczby zespolone (x1 , 0) · (x2 , 0) otrzymujemy
(x1 x2 , 0), czyli liczbę utożsamianą ze zwykłym iloczynem x1 x2 liczb rzeczy−1
wistych. Łatwo także sprawdzić, że − (x, 0) = (−x, 0) i (x, 0) = x1 , 0 . Zatem
nasze utożsamienie jest zgodne z braniem elementu przeciwnego i odwrotnego.
Stąd wynika zgodność tego utożsamienia z działaniami odejmowania i dzielenia.
Dzięki tym zgodnościom możemy pisać po prostu: (x, 0) = x.
Definicja 2.2. Liczbę zespoloną (0, 1) nazywać będziemy jednostką urojoną. Jednostkę urojoną oznaczamy symbolem i.
Zauważmy, że
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1.
3
(2)
Widzimy więc, że jednostka urojona jest pierwiastkiem równania (1).
Niech teraz (x, y) będzie dowolną liczbą zespoloną. Wykażemy, że
(x, y) = x + yi.
Istotnie,
P = x + yi = (x, 0) + (y, 0) · (0, 1) = (x, 0) + (0, y) = (x, y) = L.
Definicja 2.3. Postać x + yi liczby zespolonej nazywamy postacią kartezjańską
(kanoniczną). Dla liczby zespolonej z = x + yi liczbę rzeczywistą x nazywamy
częścią rzeczywistą liczby z i oznaczamy symbolem re z, zaś liczbę rzeczywistą y
nazywamy częścią urojoną liczby z i oznaczamy symbolem im z.
Okazuje się, że działania na postaciach kanonicznych wykonuje się w sposób
naturalny pamiętając o (2):
(x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = x1 + x2 + (y1 + y2 ) i,
(x1 + y1 i)·(x2 + y2 i) = x1 x2 +x1 y2 i+x2 y1 i+y1 y2 i2 = x1 x2 −y1 y2 +(x1 y2 + x2 y1 ) i.
Widać więc, że wykonując działania w sposób naturalny otrzymaliśmy wyniki
zgodne z definicjami.
Zajmijmy się teraz dzieleniem, które jest najtrudniejszym z czterech działań.
Wprowadźmy najpierw następującą definicję:
Definicja 2.4. Dla liczby zespolonej z = x + yi liczbę x − yi nazywamy sprzężeniem liczby z i oznaczamy symbolem z.
Zachodzi następujące
Stwierdzenie 2.5. Dla każdej liczby zespolonej z = x + yi mamy
z · z = x2 + y 2 ∈ R.
Weźmy teraz dwie dowolne liczby zespolone z1 = x1 +y1 i i z2 = x2 +y2 i 6= 0.
Chcemy obliczyć iloraz zz21 . W tym celu rozszerzymy ten ułamek przez liczbę z2
i wykorzystując Stwierdzenie 2.5 otrzymujemy:
z1
x1 + y1 i
(x1 + y1 i) (x2 − y2 i)
x1 x2 + y1 y2
−x1 y2 + x2 y1
=
=
=
+
2
2
2
2
2
2 i.
z2
x2 + y2 i
(x2 ) + (y2 )
(x2 ) + (y2 )
(x2 ) + (y2 )
3
Postać trygonometryczna
Niech z = x + yi ∈ C.
Definicja 3.1. Liczbę rzeczywistą
lonej z i oznaczamy symbolem |z|.
p
x2 + y 2 nazywamy modułem liczby zespo-
4
Zauważmy, że jeżeli liczba z jest rzeczywista, to jej moduł w sensie zespolonym pokrywa się ze √
znanym dobrze modułem liczby rzeczywistej. Istotnie, jeśli
z = (x, 0), to |z| = x2 = |x|, gdzie po prawej stronie mamy zwykłą wartość
bezwzględną liczby rzeczywistej. Wykorzystując wiedzę z geometrii analitycznej, można zauważyć, że moduł z liczby zespolonej z jest równy odległości na
płaszczyźnie od punktu z do początku układu współrzędnych.
Weźmy teraz dowolną niezerową liczbę zespoloną z = x + yi. Wówczas
!
y
x
+p
i .
(3)
z = x + yi = |z| p
x2 + y 2
x2 + y 2
Zauważmy, że suma kwadratów części rzeczywistej i urojonej liczby występującej
w nawiasie wynosi 1. Zatem istnieje liczba ϕ taka, że
x
p
x2 + y 2
y
= cos ϕ i p
= sin ϕ.
x2 + y 2
(4)
Definicja 3.2. Każdą liczbę ϕ spełniającą warunki (4) nazywamy argumentem
liczby z = x + yi i oznaczamy symbolem arg z.
Zauważmy, że argument liczby zespolonej nie jest wyznaczony jednoznacznie.
Jeśli ϕ jest argumentem liczby z, to każda liczba postaci ϕ+2kπ, gdzie k ∈ Z jest
także argumentem tej liczby. Jeżeli zażądamy, aby argument leżał w przedziale
h 0, 2π), to będzie on już wyznaczony jednoznacznie.
Definicja 3.3. Argument ϕ liczby z należący do przedziału h 0; 2π) nazywamy
argumentem głównym liczby z i oznaczamy symbolem Arg z.
Zaznaczając liczbę z na płaszczyźnie zespolonej, łatwo jest pojęcie argumentu zinterpretować geometrycznie. Mianowicie, argument główny liczby z jest
miarą kąta między dodatnią półosią rzeczywistą a promieniem wodzącym liczby
z, tzn. odcinkiem łączącym początek układu współrzędnych z punktem z.
Ze wzoru (3) mamy teraz
z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) .
(5)
Definicja 3.4. Postać (5) liczby zespolonej z nazywamy postacią trygonometryczną tej liczby.
Zwróćmy uwagę, że liczba 0 nie ma postaci trygonometrycznej, bo nie ma
argumentu.
Zachodzi następujące
Stwierdzenie 3.5. Dla liczb zespolonych z1 , z2 mamy
!
z1 = z2 ⇐⇒
|z1 | = |z2 | ∧
_
k∈Z
5
arg z1 − arg z2 = 2kπ .
Okazuje się, że postać trygonometryczna liczby zespolonej pozwala na elegancką interpretację mnożenia i dzielenia liczb zespolonych. Zachodzi mianowicie następujące
Twierdzenie 3.6. Jeżeli z1 = |z1 | (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) i z2 = |z2 | (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ),
to
z1 z2 = |z1 | · |z2 | (cos (ϕ1 + ϕ2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ2 ))
(6)
oraz
z1
|z1 |
=
(cos (ϕ1 − ϕ2 ) + i sin (ϕ1 − ϕ2 )) .
z2
|z2 |
(7)
Ze wzoru (6) otrzymujemy łatwo wzór na potęgę liczby zespolonej o wykładniku naturalnym.
Stwierdzenie 3.7. Dla n ∈ N i z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) zachodzi następujący
wzór
z n = |z|n (cos nϕ + i sin nϕ) .
(8)
W szczególności jeżeli |z| = 1, to otrzymujemy
Twierdzenie 3.8 (Wzór de Moivre’a). Dla n ∈ N mamy
n
(cos ϕ + i sin ϕ) = cos nϕ + i sin nϕ.
4
Pierwiastkowanie liczb zespolonych
W zbiorze liczb zespolonych nie definiuje się porządku, tzn. Dla dwóch liczb
zespolonych nie da się powiedzieć która z nich jest większa. W związku z tym nie
działa w zbiorze liczb zespolonych definicja pierwiastka obowiązująca dla liczb
rzeczywistych, gdyż nie ma sensu zwrot „ jest to liczba nieujemna spełniająca
warunek”. Musimy więc zdefiniować pierwiastek od nowa.
Definicja 4.1. Niech k ∈ N i k ­ 2. Dla dowolnej liczby w ∈ C pierwiastkiem
stopnia k z liczby w nazywamy każdą liczbę zespoloną z spełniającą warunek
z k = w.
W szczególności pierwiastkami kwadratowymi z liczby 4 w sensie powyższej
definicji są liczby 2 i -2 (w dziedzinie rzeczywistej tylko 2 jest pierwiastkiem
kwadratowym z 4). Widać więc, że w dziedzinie zespolonej pierwiastek może
przyjmować więcej niż jedną
√ wartość. Mimo to będziemy używać na oznaczenie
pierwiastka symbolu z = k w, pamiętając o niejednoznaczności tego symbolu.
Zachodzi następujące:
Twierdzenie 4.2. Dla każdego w 6= 0, gdzie w = |w| (cos ϕ + i sin ϕ), pierwiastek stopnia k (k ∈ N i k ­ 2) ma dokładnie k wartości i wyrażają się one
wzorami:
p
ϕ + 2jπ
ϕ + 2jπ
zj = k |w| cos
+ i sin
,
(9)
k
k
gdzie j = 0, 1, . . . , k − 1 i pierwiastek po prawej stronie tego wzoru jest zwykłym
pierwiastkiem w dziedzinie rzeczywistej.
6
Z twierdzenia powyższego widać, że wszystkie wartości pierwiastka k-ego
stopnia z liczby
p w 6= 0 leżą na okręgu o środku w początku układu oraz promieniu równym k |w| i dzielą ten okrąg na k równych łuków.
Używając wzoru (8), łatwo sprawdzić, że liczby podane we wzorze (9) faktycznie są wartościami pierwiastka stopnia k z liczby w.
Pierwiastkiem dowolnego stopnia z liczby 0 jest jedynie 0, a więc w tym
przypadku jest tylko jedna wartość pierwiastka.
Przykład 4.3. Wyznaczymy wszystkie wartości pierwiastków stopnia trzeciego
z liczby w = −i.
W tym celu zapiszmy najpierw liczbę w w postaci trygonometrycznej:
3
3
w = cos π + i sin π.
2
2
Z wzoru (9) otrzymujemy następujące wartości pierwiastka stopnia trzeciego:
3
3
z0 = cos π + i sin π = i,
6
6
√
3
3
π
+
2π
7
7
3 1
2
2 π + 2π
z1 = cos
+ i sin
= cos π + i sin π = −
− i,
3
3
6
6
2
2
√
3
3
π
+
4π
π
+
4π
11
11
1
3
z2 = cos 2
+ i sin 2
= cos π + i sin π =
− i.
3
3
6
6
2
2
5
Wielomiany o współczynnikach zespolonych
Niech n ∈ N ∪ {0}.
Definicja 5.1. Wielomianem stopnia n o współczynnikach zespolonych nazywamy funkcję zmiennej zespolonej z postaci
W (z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 ,
(10)
gdzie a0 , a1 , . . . , an ∈ C, przy czym an 6= 0. Dodatkowo wielomianem zerowym
nazywamy funkcję zadaną wzorem W (z) = 0 dla z ∈ C.
Definicja 5.2. Liczbę zespoloną z0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu (10),
gdy W (z0 ) = 0.
W dziedzinie zespolonej obowiązuje także
Twierdzenie 5.3 (Twierdzenie Bezouta). Liczba z0 jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest podzielny przez dwumian
z − z0 .
W związku z tym twierdzeniem ma sens następująca definicja:
Definicja 5.4. Jeżeli z0 jest pierwiastkiem wielomianu W to jego krotnością
k
nazywamy taką liczbę naturalną k, że wielomian W jest podzielny przez (z − z0 )
k+1
i nie jest podzielny przez (z − z0 )
.
7
Zachodzi następujące:
Twierdzenie 5.5 (Podstawowe twierdzenie algebry). Każdy wielomian W stopnia n w dziedzinie zespolonej ma dokładnie n pierwiastków zespolonych (uwzględniając krotności) i daje się zapisać w postaci
W (z) = an (z − z1 ) · · · · · (z − zn ) ,
gdzie z1 , . . . , zn są wszystkimi pierwiastkami wielomianu W z uwzględnieniem
krotności.
W szczególności każdy trójmian kwadratowy W (z) = az 2 + bz + c, gdzie
a, b, c ∈ C i a 6= 0, daje się zapisać w postaci
W (z) = a (z − z1 ) (z − z2 ) ,
przy czym z1 , z2 są pierwiastkami tego trójmianu wyrażającymi się wzorami
zj =
−b + δj
, j = 1, 2.
2a
W powyższym wzorze symbolami δ1 , δ2 oznaczone zostały dwie wartości pierwiastka kwadratowego z ∆ = b2 − 4ac.
Przykład 5.6. Rozwiążemy równanie
iz 2 + (2 − 2i) z − i − 2 = 0.
Obliczmy wyróżnik trójmianu stojącego po lewej stronie równania:
2
∆ = (2 − 2i) − 4i (−1 − 2) = 4 − 8i − 4 − 4 + 8i = −4.
Postacią trygonometryczną ∆ jest
∆ = 4 (cos π + i sin π)
√
Stąd wartościami ∆ są
π
π
3π
3π
δ1 = 2 cos + i sin
= 2i , δ2 = 2 cos
+ i sin
= −2i.
2
2
2
2
Stąd pierwiastkami danego równania są
z1 =
6
−2 + 2i + 2i
−2 + 2i − 2i
= 2 + i , z2 =
= i.
2i
2i
Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej
Definicja 6.1. Funkcję zmiennej zespolonej f (z) = ez , gdzie dla z = x + yi,
ez = ex (cos y + i sin y) ,
nazywamy funkcją wykładniczą zmiennej zespolonej.
8
(11)
Wykazuje się, że dla dowolnych liczb zespolonych z, z1 , z2 zachodzą warunki:
ez1 ez2 = ez1 +z2 ,
ez1
= ez1 −z2 , ez 6= 0 , ez+2πi = ez .
ez2
Ostatni z tych warunków oznacza, że funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej
jest funkcją okresową o okresie zespolonym 2πi.
Łatwo widać, że wykorzystując definicję funkcji wykładniczej, możemy wzór
(5) zapisać w postaci
z = |z| eiϕ .
(12)
Postać (12) liczby zespolonej z nazywamy postacią wykładniczą.
9