Analiza Matematyczna 1 dla WPPT FT/IB, lista 4 Definicja: Funkcja f

Analiza Matematyczna 1 dla WPPT FT/IB, lista 4
Definicja: Funkcja f : Df → R jest
rosnąca na zbiorze A ⊂ Df ⇔ ∀x1 , x2 ∈ A ( x1 < x2 ) ⇒ f (x1 ) < f (x2 );
malejąca na zbiorze A ⊂ Df ⇔ ∀x1 , x2 ∈ A ( x1 < x2 ) ⇒ f (x1 ) > f (x2 );
Jeżeli powyższe nierówności pomiędzy wartościami funkcji nie są ostre, to f jest:
niemalejąca na zbiorze A ⊂ Df ⇔ ∀x1 , x2 ∈ A ( x1 < x2 ) ⇒ f (x1 ) ¬ f (x2 );
nierosnąca na zbiorze A ⊂ Df ⇔ ∀x1 , x2 ∈ A ( x1 < x2 ) ⇒ f (x1 ) ­ f (x2 ).
O funkcji, mającej jedną z 4 powyższych własności, mówimy krótko, że jest monotoniczna na
zbiorze A.
Funkcja jest rosnąca, jeżeli jest rosnąca na całej swojej dziedzinie, analogicznie definujemy funkcję
malejącą, niemalejącą oraz nierosnącą.
Zadanie 0.1 Rozwiązując odpowiednie nierówności, zbadaj monotoniczność (na całej dziedzinie lub
na przedziałach) podanych funkcji:
1
a) f (x) = x2 , b) f (x) = 2x , c) f (x) = ex , d) f (x) =
x
b) Czy suma (odpowiednio: różnica, iloczyn, iloraz) funkcji rosnących musi być funkcją rosnącą? To
samo pytanie dla funkcji malejących.
c) Wykaż, że funkcja monotoniczna jest różnowartościowa.
d) Wykaż, że funkcja odwrotna do rosnącej jest rosnąca, a odwrotna do malejącej — malejąca.
Zadanie 0.2 Przypomnij sobie definicję funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta: dla punktu
(x, y) na okręgu jednostkowym określamy skierowany kąt α jako kąt od dodatniej półosi Ox do
y
półprostej łączącej punkty (0, 0) i (x, y). Wówczas sin α = √ 2
; podaj analogiczne definicje
x + y2
cosinusa, tangensa i cotangensa.
Korzystając z tych definicji, podaj przykładowe przedziały zawarte w zbiorze [−2π, 2π], na których
funkcje trygonometryczne są rosnące.
Zadanie 1. Znajdź asymptoty pionowe i ukośne funkcji:
x3 + x2
x3
1 − x2
,
c)
f
(x)
=
,
a) f (x) = 2
, b) f (x) =
x −4
(x + 1)2
x+1
√
x−3
1
1 + x2
, e) f (x) =
d) f (x) = √ 2
, f) f (x) = x
;
x
e −1
x −9
sin x
sin2 x
g) f (x) =
,
h) f (x) =
,
i) f (x) = x − arctg x.
x−π
x3
Zadanie 2. Naszkicuj wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki:
a) lim f (x) = ∞, lim− f (x) = 1, f (2) = 0, x→∞
lim f (x) = −1;
x→−∞
x→0
b) x→∞
lim f (x) = e, lim f (x) = 0, funkcja f jest parzysta;
x→2
c) prosta y = x + 1 jest asymptotą ukośną funkcji f w −∞, prosta y = x − 1 asymptotą ukośną
w ∞, a prosta x = 0 jest jej asymptotą pionową obustronną;
d) lim f (x) = 0, lim f (x) = 3, x→∞
lim f (x) = −∞;
x→−∞
e)
f)
x→1
lim f (x) = ∞, lim− f (x) = −∞, lim+ f (x) = 1, x→∞
lim f (x) = 5;
x→−∞
x→0
x→0
lim f (x) = −4, lim f (x) = ∞, x→∞
lim f (x) = 4;
x→−∞
x→−1
g) lim f (x) = ∞, lim f (x) = 0, funkcja f jest okresowa i ma okres T = 3;
x→1
x→2
h) lim f (x) = 4, lim f (x) = ∞, funkcja f jest nieparzysta.
x→−∞
x→1
Na rysunkach wskaż fragmenty wykresów spełniające poszczególne warunki.
Zadanie 3. Dobierz parametry a, b ∈ R tak, aby podane funkcje były ciągłe we wskazanych punktach:
(
sin x dla |x| ­ π2 ,
a) f (x) =
ax + b dla |x| < π2 ,
punkty x1 = − π2 , x2 = π2 ,
( 2
x +ax+b dla |x| < 2,
√
b) f (x) =
x x2 − 4 dla |x| ­ 2,
punkty x1 = −2, x2 = 2,
(
π
a sin x + b cos x dla |x| > 4 ,
c) f (x) =
1 + tg x
dla |x| ¬ π4 ,
punkty x1 = − π4 , x2 = π4 ,
(
bx dla x < π,
d) f (x) = sin x
dla x ­ π,
punkt x0 = π.
ax
Zadanie 4. Określ rodzaje nieciągłości podanych funkcji we wskazanych punktach:
( x2−1
√
dla x ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞),
x−1
a) f (x) =
3
dla x = 1,
punkt x0 = 1,
( |x|+x
dla x 6= 0,
0
dla x = 0,
c) f (x) = sgn [x(x − 1)] ,
x2
b) f (x) =
(
d) f (x) =
punkt x0 = 0,
punkt x0 = 1,
1 − cos x1 dla x 6= 0,
0
dla x = 0,
punkt x0 = 0.
x2 − 4
?
x+2
Czy można znaleźć taką funkcję ciągłą na całej prostej, która dla x 6= 0 równa jest f (x) =
Zadanie 5. Czym różni się funkcja f (x) = x − 2 od funkcji g(x) =
|x|
x
Zadanie 6. Dana jest funkcja
f (x) =


0
dla x niewymiernych,

x
dla x wymiernych.
a) Wykaż, że w punkcie x0 = 0 ta funkcja jest ciągła.
b)* Czy jest ciągła w jakimkolwiek innym punkcie?
Zadanie 7. Dana jest funkcja


f (x) = 
0,
gdy x niewymierne lub x = 0,
1
,
q
gdy x wymierne, x = pq , gdzie p ∈ Z, q ∈ N i ułamek
a) Czy f jest ciągła w punkcie x0 = 1?
b)* Czy f jest ciągła w punkcie x0 = √
0?
c)* Czy f jest ciągła w punkcie x0 = 2?
d)** W jakich punktach f jest ciągła?
p
q
jest nieskracalny.
?