Zadania do wykładu ”Matematyka bankowa 1”

Zadania do wykładu ”Matematyka bankowa 1”
Dorota Klim
Instytut Matematyki i Informatyki,
Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Płocku
E-mail address: [email protected]
http://math.uni.lodz.pl/ ˜ klimdr/
LITERATURA:
[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN
[2 ] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN
[3 ] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet
[4 ] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej, Elipsa
[5 ] S. G. Kellison, The Theory of Interest, McGraw-Hill Int. Ed.
[6 ] M. Capinski, T. Zastawniak, Mathematics for Finance: An Introduction to
Financial Engineering, Springer
1
Oprocentowanie proste zgodne
Zadanie 1 Jaką kwotę utworzy po czterech okresach kapitał 400 jp w modelu oprocentowania prostego przy stopie procentowej 1, 5%?
Zadanie 2 Jaka kwota utworzy po pięciu okresach kapitał o wartości 200 jp przy
prostym naliczaniu odsetek, jeśli stopa procentowa wynosi 5%?
Zadanie 3 Po podwyżce o 5% cena samochodu wynosi 58 tys. jp. Jaka była cena
samochodu przed podwyżką?
Zadanie 4 Po ilu okresach kapitał 17 jp podwoi swoją wartość w modelu oprocentowania prostego przy stopie procentowej 10%?
Zadanie 5 An investment of $ 10000 is made into a fund at time t=0. The fund
develops the following balances over the next 4 years: F0 = 10000, F1 = 10600,
F2 = 11130, F3 = 11575, 20, F4 = 12153, 96. If $5000 is invested at time t=2, under
the same interest environment, find the accumulated value of the $5000 at time t=4.
Zadanie 6 Jakiej wielkości stopa oprocentowania prostego rocznego r pozwoli kapitałowi 58 jp na wygenerowanie odsetek w wysokości 5 jp w ciągu dwóch lat?
Zadanie 7 Wyznaczyć wielkość rocznego współczynnika akumulacji w modelu oprocentowania miesięcznego przy stopie 1, 5% w skali miesiąca.
Zadanie 8 Jeżeli roczny współczynnik akumulacji wynosi 1, 06, to jakiej wielkości
odsetki zostaną wygenerowane przez kapitał 100 jp po pół roku w modelu kapitalizacji
miesięcznej.
Zadanie 9 Hurtownia udziela nabywcom towarów kredytu kupieckiego w postaci odroczonego o miesiąc terminu płatności faktury. Jeżeli zapłata nastąpi natychmiast,
to nabywcy towaru przysługuje prawo skorzystania ze skonta 10%. Wartość zakupionego towaru wynosi 12 tys. jp. Czy opłaca się zaciągnać kredyt bankowy i skorzystać
ze skonta, jeżeli miesięczna stopa kredytu bankowego wynosi 4% i bank stosuje kapitalizację miesięczną prostą?
Zadanie 10 Ustalić stan książeczki oszczędnościowej po 10 latach w modelu kapitalizacji prostej przy rocznej stopie procentowej 12%, jeśli dokonano w niej następujących operacji finansowych: na początku wpłacono 10 jp, po pięciu latach wpłacono
20 jp, po następnym roku wypłacono 15 jp.
Zadanie 11 Przy jakiej rocznej stopie procentowej r i kapitalizacji rocznej prostej
kapitał 58 jp wygeneruje odsetki w wysokości 5 jp w ciągu dwóch lat?
Zadanie 12 Po 30% podwyższce cen telewizor kosztuje 1200 zł. Ustalić poprzednią
cenę telewizora oraz kwotę podwyższki.
Zadanie 13 Wydawnictwo przyznało księgarni rabat w wysokości 15%. Jaka jest
cena katalogowa książki i kwota wartości rabatu, jeśli za książkę księgarnia zapłaciła
9 zł.
2
Zadanie 14 Pierwotna należność za dostarczony towar w kwocie 23800 zł została
podwyższona o 12, 5%, a następnie zmniejszona o 2, 5%. Ile wynosi ostateczna należność w stosunku procentowym do pierwotnej należności oraz w kwocie pieniężnej?
Zadanie 15 Dysponujemy kapitałem w wysokości 1000 zł. Za dwa miesiące chcemy
uzyskać 1200 zł. Na jaki procent prosty musimy ulokować kapitał?
Zadanie 16 Jaki był kapitał początkowy, jeśli po 4 latach przy rocznej stopie procentowej równej 34% i rocznej kapitalizacji odsetek wzrósł on do kwoty 22500 zł?
Zadanie 17 Kapitał w wysokości 600 zł zdeponowano w banku na okres 4 lat. Lokata
ta przynosi dochód w wysokości 20% w skali roku przy prostej kapitalizacji odsetek.
Oblicz kwotę należnych odsetek.
Zadanie 18 Obliczyć roczny wspólczynnik akumulacji, jeśli kapitał 300 jp po roku
wygenerował odsetki w wysokości 50 jp.
Zadanie 19 A deposit of $1000 is invested at simple interest at time t = 0. The
rate of simple interest during year t is equal to .01t for t = 1, 2, 3, 4, 5. Find the total
accumulated value of this investment at time t = 5.
Zadanie 20 Find the accumulated value of $2000 invested for four years, if the rate
of simple interest is 8% per annum.
Zadanie 21 For the $5000 investment given in Ex. 5, find the amount of interest
earned during the second year of investment, i.e. between times t = 3 and t = 4.
Zadanie 22 Rozważmy funkcję akumulacji daną wzorem at2 + b. Jeśli $100 zainwestowane w momencie t = 0 osiąga wartość $172 w momencie t = 3, to jaką wartość
osiągnie w momencie t = 10 kapitał $100 zainwestowany w momencie t = 5.
3
Oprocentowanie składane zgodne
Zadanie 23 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 300 jp po 5 latach w modelu oprocentowania rocznego przy rocznej stopie 7%.
Zadanie 24 Przy jakiej rocznej stopie procentowej r i kapitalizacji rocznej złożonej
kapitał P podwoi swoją wartość po 8 latach?
Zadanie 25 Ile wynosi
1. półroczny
2. roczny
czynnik akumulacji, jeżeli po pół roku kapitał 300 jp wygenerował odsetki 50 jp przy
miesięcznej kapitalizacji odsetek?
Zadanie 26 Ustalić stan konta po 15 miesiącach, jeżeli dokonano następujących
operacji: na początku wpłacono 100 jp, następnie po trzech miesiącach wpłacono 80
jp, po kolejnych pięciu miesiącach wypłacono 30 jp. Bank stosuje model oprocentowania miesięcznego przy stopie 0, 5%.
Zadanie 27 Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało w spadku kwotę 500 jp, złożoną w banku według rocznej stopy 12%. Jak należy podzielić spadek, aby w momencie
osiągnięcia przez każde z dzieci 21 lat wartości przyszłe części spadku każdego dziecka
były takie same?
Zadanie 28 Obliczyć dochód banku uzyskany w ciągu 5 lat, który przyjął w depozyt
kwotę 10000 jp według rocznej stopy 5% i wypożyczył tę kwotę według rocznej stopy
20%.
Zadanie 29 Jaką wartość osiągnie kapitał 1800 jp po 4 latach oprocentowania rocznego przy rocznej stopie 6%? Jaką wartość mają odsetki naliczone za każdy rok? Przy
jakiej stopie łączna wartość 4-letnich odsetek byłaby większa o 58 jp?
Zadanie 30 Po ilu latach oprocentowania rocznego złożonego przy stopie 5, 52%
wartość kapitału 1600 jp przekroczy 1900 jp? Ile wyniosą odsetki należne za kolejne
2 lata?
Zadanie 31 Ile wynosi wartość końcowa kapitału 1000 jp po 5 latach, jeśli bank
stosuje
1. model kapitalizacji rocznej przy rocznej stopie 12%?
2. model kapitalizacji półrocznej przy półrocznej stopie 6%?
3. model kapitalizacji miesięcznej przy miesięcznej stopie 1%?
Zadanie 32 Na początku każdego z czterech kolejnych lat wpłacano na konto kwoty
odpowiednio: 20 jp, 40 jp, 15 jp, 10 jp. Roczna stopa procentowa wynosi 10%. Ustalić
stan oszczędności na koniec 6 roku, jeżeli bank stosuje model kapitalizacji rocznej.
4
Zadanie 33 Według reguły 70 obliczyć przybliżony czas podwojenia wartości kapitału przy oprocentowaniu rocznym o stopie: a) r = 2, 5%, b) r = 7, 5%.
Zadanie 34 Według reguły 70 obliczyć przybliżoną wartość stopy oprocentowania
rocznego, przy której kapitał podwoi swoją wartość w czasie: a) 7 lat, b) 10 lat.
Zadanie 35 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 7800 zł po 10 miesiącach według
stopy miesięcznej 2, 3%.
Zadanie 36 Przy jakiej stopie r i miesięcznej kapitalizacji odsetek kapitał 200 jp
powiększy sie o 100 jp po 3 latach? Ile wynosi a(3).
Zadanie 37 Find the accumulated value of $2000 invested for four years, if the rate
of compound interest is 8% per annum.
Zadanie 38 Find the accumulated value of $1000 invested for five months, if the
rate of compound interest is .08% per month.
Zadanie 39 Ile wynosi
1. półroczny
2. roczny
czynnik akumulacji, jeżeli po roku roku kapitał 300 jp wygenerował odsetki 50 jp w
modelu kapitalizacji złożonej z góry
a) miesięcznej?
b) półrocznej?
Zadanie 40 It is known that $600 invested for two years will earn $264 in interest.
Find the accumulated value of $2000 invested at the same rate of compound interest
for three years.
Zadanie 41 An investor age 35 deposits $10, 000 in a fund earning 7% compound
interest until retirement at age 65. Find the amount of interest earned between ages
35 and 45, between ages 45 and 55, and between ages 55 and 65.
Zadanie 42 Obliczyć wartość 2-letnich odsetek od kwoty 790 jp, jeśli roczna stopa
wynosi 8, 88% i kapitalizacja jest roczna.
Zadanie 43 Co jest korzystniejsze dla właściciela kapitału: roczne oprocentowanie
składane przy rocznej stopie procentowej 6%, czy roczne oprocentowanie proste przy
rocznaj stopie 6%?
Zadanie 44 W banku A obowiązuje miesięczna kapitalizacja odsetek przy miesięcznej stopie procentowej 3, 5%. W banku B obowiązuje roczne oprocentowanie proste
przy stopie r w skali roku. Ile musi wynosić r aby wartości przyszłe kapitału P , otrzymane odpowiednio w banku A i B, po pięciu latach były identyczne? Czy wartości te
będą identyczne również po 10 latach?
5
Zadanie 45 Jaką wartość mają odsetki naliczone za 9 rok, jeśli kapitał 100 jp wygenerował odsetki w wysokości 15 jp po 5 latach rocznego oprocentowania składanego?
Zadanie 46 Do banku wpłacono 20 jp. Przez pierwsze trzy lata obowiązywała półroczna kapitalizacja złożona przy półrocznej stopie 5%, przez następne dwa lata obowiązywała kwartalna kapitalizacja złożona przy kwartalnej stopie 2%. Wyznaczyć
wartość przyszłą po pięciu latach.
Zadanie 47 Ile wynosi kwartalna stopa procentowa, jeżeli przy kwartalnej kapitalizacji odsetek odsetki za drugi kwartał od kwoty początkowej 20 jp wyniosły 2, 2 jp?
6
Kapitalizacja podokresowa
Zadanie 48 Odsetki od 2-letniej lokaty o stałym oprocentowaniu prostym są naliczane po terminie. Pani X, która wpłaciła na lokatę 2300 zł, odebrała przy jej
likwidacji 3047,50 zł. Obliczyć roczną stopę oprocentowania lokaty.
Zadanie 49 Przy jakiej rocznej stopie oprocentowania prostego wartość 2-letniej
lokaty z odsetkami naliczanymi po terminie zwiększy się:
a) o 15%,
b) 1,5-krotnie,
c) przynajmniej dwukrotnie?
Zadanie 50 Przedsiębiorca otrzymał półroczną pożyczkę w kwocie 15000 zł, zobowiązując się spłacać co miesiąc bieżące odsetki naliczane przy rocznej stopie 18%.
Obliczyć wysokość rat spłacanych na koniec kolejnych miesięcy
Zadanie 51 Po jakim czasie oprocentowania prostego przy rocznej stopie 12, 5%
wartość depozytu 4800 zł:
a) podwoi się.
b) zwiększy się o 25%.
c) zwiększy się o 3000 zł.
Zadanie 52 Wyznaczyć wartość przyszłą 700 jp po dwóch latach w modelu oprocentowania składanego przy
1. dwuletniej
2. rocznej
3. dziennej
kapitalizacji odsetek i stopie nominalnej 7%.
Zadanie 53 Wyznaczyć wartość przyszłą kwoty 1000 jp po dwóch latach w modelu
oprocentowania
1. przy rocznej kapitalizacji odsetek
2. przy miesięcznej kapitalizacji odsetek
3. przy tygodniowej kapitalizacji odsetek
i stopie nominalnej 7%.
Zadanie 54 Ile wynosi nominalna stopa procentowa, jeżeli przy kwartalnej kapitalizacji z dołu odsetki za drugi kwartał od kwoty początkowej 20 jp wyniosły 2, 2
jp?
7
Zadanie 55 Ile musi wynosić nominalna stopa r, aby wartość 5-letnich odsetek od
kwoty 1000 jp wyniosła przynajmniej 500 jp w modelu oprocentowania
1. prostego.
2. składanego rocznego.
Zadanie 56 Wyznaczyć roczny czynnik akumulacji w modelu kapitalizacji
1. czteroletniej
2. rocznej
3. miesięcznej
przy nominalnej stopie 12%.
Zadanie 57 Wyznaczyć roczny czynnik akumulacji w modelu kapitalizacji
1. dwuletniej
2. rocznej
3. kwartalnej
złożonej z góry przy nominalnej stopie 10%.
Zadanie 58 Po ilu latach oprocentowania składanego przy nominalnej stopie 15%
kapitał P = 2500 jp wygeneruje odsetki
a) I = 2500 jp.
b) I = 3000 jp.
Zadanie 59 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy 500 jp po roku przy
1. rocznej
2. miesięcznej
3. dziennej
kapitalizacji odsetek i nominalnej stopie 7%?
Zadanie 60 Obliczyć wartość 2, 5-letnich odsetek od kwoty 790 jp, jeśli nominalna
stopa wynosi 8, 88%, odsetki kapitalizują się
1. po każdym półroczu.
2. po każdym miesiącu.
Zadanie 61 W banku A stosowana jest kapitalizacja półroczna przy nominalnej
stopie r0 = 2, 7%, zaś w banku B oprocentowanie proste przy nominalnej stopie r00 . Ile
musi wynosić r00 , aby roczne czynniki akumulacji w obu modelach były identyczne?
8
Kapitalizacja ciągła
Zadanie 62 Oblicz przyszłą wartość kapitału 100 jp po 3 latach w kapitalizacji ciągłej przy stopie nominalnej r = 3%.
Zadanie 63 Jaki kapitał wygeneruje odsetki 43 zł po 18 miesiącach przy ciągłej
kapitalizacji odsetek i stopie rocznej 2%.
Zadanie 64 Oblicz odsetki przypadające za drugi rok w kapitalizacji ciągłej przy
stopie nominalnej r = 9% od kapitału początkowego 100 jp.
Zadanie 65 Jaka będzie przyszła wartość kapitału 5000 jp po 6 latach, jeśli bank
przez pierwsze 2 lata stosował nominalną stopę 2% a następnie nominalną stopę
1, 5% w modelu kapitalizacji ciągłej?
Zadanie 66 Po jakim czasie nastąpi wzrost kapitału początkowego 480 jp do kwoty
800 jp, przy założeniu ciągłej kapitalizacji odsetek przy nominalnej stopie procentowej r = 6%?
Zadanie 67 Jakiej wielkości kapitał początkowy po 9 latach wygeneruje odsetki I =
348 jp w modelu kapitalizacji ciągłej przy nominalnej stopie r = 6%?
Zadanie 68 Po ilu latach kapitał 600 zł wygeneruje zysk 200 zł, przy założeniu
ciągłej kapitalizacji odsetek i nominalnej stopie procentowej 1, 2%?
Zadanie 69 Po ilu miesiącach kapitał 580 jp wygeneruje odsetki 200 jp w modelu
kapitalizacji ciągłej przy nominalnej stopie procentowej r = 4%?
Zadanie 70 Oblicz przyszłą wartość kapitału 300 jp po 5 miesiącach w kapitalizacji
ciągłej przy stopie nominalnej 5%.
Zadanie 71 Oblicz odsetki po 3 latach w kapitalizacji ciągłej przy stopie nominalnej
r = 9% od kapitału początkowego 50 jp.
Zadanie 72 Oblicz odsetki za drugi rok w kapitalizacji ciągłej przy stopie rocznej
2, 3% od kapitału początkowego 50 jp.
Zadanie 73 Po ilu latach kapitał podwoi swoją wartość przy rocznej stopie procentowej 12% i ciągłej kapitalizacji odsetek?
9
Porównanie oprocentowania prostego, składanego
i ciągłego
Zadanie 74 Co jest korzystniejsze: ciągła kapitalizacja przy nominalnej stopie 12%,
czy miesięczna kapitalizacja przy
1. nominalnej stopie 12%?
2. nominalnej stopie 15%?
Zadanie 75 Obliczyć największą i najmniejszą wartość odsetek wygenerowanych w
ciągu 4 lat przez kapitał 4000 jp przy nominalnej stopie 14, 5%.
Zadanie 76 Bez użycia kalkulatora sprawdzić, która z ofert jest korzystniejsza w
ciągu roku:
a) kapitalizacja dzienna przy stopie nominalnej 12%,
b) kapitalizacja ciągła przy stopie 12%,
c) kapitalizacja prosta godzinna przy stopie nominalnej 12%.
Zadanie 77 Ile zarobi bądź straci właściciel kapitału 200 jp, jeśli po 9 miesiącach
od dnia wpłaty bank z kapitalizacji dziennej przeszedł na kapitalizację ciągłą przy
nominalnej stopie procentowej 4%?
Zadanie 78 Co jest korzystniejsze: ciągła kapitalizacja przy nominalnej stopie 10%,
czy półroczna kapitalizacja złożona z dołu przy
1. nominalnej stopie 12%?
2. nominalnej stopie 10%?
3. nominalnej stopie 8%?
Zadanie 79 Jaka będzie przyszła wartość kapitału 1000 jp po 5 latach, jeśli bank
przez pierwsze 3 lata stosował nominalną stopę 3% a następnie nominalną stopę
2, 5% w modelu kapitalizacji ciągłej?
10
Równoważność warunków oprocentowania. Równoważne stopy procentowe
Zadanie 80 Mając roczną stopę oprocentowania prostego 18% wyznaczyć równoważną stopę:
1. miesięczną.
2. tygodniową.
3. 2-letnią.
Uzasadnić wyniki. Czy czas oprocentowania miał wpływ na wynik?
Zadanie 81 Bank A stosuje oprocentowanie półroczne składane przy stopie nominalnej 12%, zaś bank B oprocentowanie kwartalne składane przy stopie nominalnej
12%. Bez użycia kalkulatora zbadać, czy warunki oprocentowania proponowane przez
te banki są równoważnepo.
Zadanie 82 Bank A stosuje oprocentowanie półroczne składane przy stopie nominalnej rA = 8%, zaś bank B oprocentowanie kwartalne składane przy stopie nominalnej rB = 6%. Czy warunki oprocentowania proponowane przez te banki są
równoważne?
Zadanie 83 W banku A obowiązuje półroczna kapitalizacja odsetek przy stopie nominalnej 18%, w banku B obowiązuje kwartalna kapitalizacji odsetek przy stopie
nominalnej r. Ile musi wynosić stopa r, aby warunki oprocentowania w banku A i B
były równoważne?
Zadanie 84 Mając roczną stopę oprocentowania składanego rocznego 11% wyznaczyć równoważną stopę:
1. miesięczną.
2. tygodniową.
3. 2-letnią.
Wyznaczyć stopy nominalne w każdym z trzech podpunktów i omówić zależność.
Zadanie 85 Mając półroczną stopę 6% wyznaczyć równoważną stopę kwartalną w
modelu oprocentowania składanego.
Zadanie 86 Przy użyciu rocznego czynnika akumulacji wykazać nierównoważność
stóp oprocentowania składanego i4 = 3, 3% oraz i12 = 1, 3%, a następnie obliczyć:
1. stopę i12 równoważną stopie i4 = 3, 3%.
2. stopę i4 równoważną stopie i12 = 1, 3%
Zadanie 87 Model oprocentowania półrocznego składanego ze stopą nominalną 23%
zamienić na model oprocentowania
11
1. kwartalnego skłądanego
2. rocznego składanego
zachowując równoważność warunków oprocentowania.
Zadanie 88 Mając nominalną stopę 19% w modelu oprocentowania składanego z
dzienną kapitalizacją odsetek wyznaczyć nominalną stopę oprocentowania składanego
rocznego z zachowaniem równoważności warunków oprocentowania.
Zadanie 89 Obliczyć
1. tygodniową
2. miesięczną
3. roczną
stopę równoważną stopie kwartalnej 3% w modelu oprocentowania składanego.
Zadanie 90 Sprawdzić, czy równoważne są następujący stopy oprocentowania składanego: kwartalna stopa 3% oraz półroczna stopa 6%.
Zadanie 91 Zbadać bez użycia kalkulatora równoważność warunków oprocentowania przy stopach rocznych 12% w kapitalizacji rocznej i 12% w kapitalizacji ciągłej.
Zadanie 92 Zbadać bez użycia kalkulatora równoważność warunków oprocentowania przy stopach rocznych 12% i 12, 5% w kapitalizacji ciągłej.
Zadanie 93 Dla stopy rocznej 24% oprocentowania rocznego obliczyć równoważną
stopę podokresową oprocentowania
1. półrocznego,
2. kwartalnego,
3. miesięcznego,
4. ciągłego,
a następnie przy użyciu stopy podokresowej obliczyć dwuletnie odsetki od kapitału
1000 zł.
Zadanie 94 Jeśli roczna stopa procentowa w modelu kaptalizacji ciągłej wynosi
10%, to jakie powinny być równoważne stopy nominalne oraz roczne dla kapitalizacji
1. miesięcznej?
2. półrocznej?
12
Stopa efektywna
Zadanie 95 For the $10000 investment given in Example 5 find the effective rate
of interest for each of the fours years.
Zadanie 96 Wyznaczyć stopę efektywną w modelu oprocentowania składanego przy
kwartalnej kapitalizacji odsetek i stopie nominalnej 9%.
Zadanie 97 Zamierzamy wpłacić na rachunek bankowy kwotę 100000 zł. Bank A
oferuje nominalną stopę rA = 3% przy półrocznej kapitalizacji odsetek, bank B oferuje nominalną stopę rB = 2, 8% przy dziennej kapitalizacji odsetek, zaś bank C oferuje nominalną stopę rC = 2, 4% przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Wyznaczając
stopę efektywną sprawdzić, który bank oferuje najkorzystniejsze warunki oprocentowania?
Zadanie 98 Pewien kapitał ulokowano na procent składany. Kapitalizacja odsetek
następuje pod koniec każdego kwartału, a efektywna stopa procentowa jest równa
13%. Ile wynosi równoważna kwartalna stopa procentowa a ile nominalna?
Zadanie 99 Efektywna stopa procentowa wynosi 14%. Obliczyć równoważną okresową i nominalną stopę oprocentowania składanego przy kapitalizacji
a) co kwartał.
b) co 4 miesiące.
c) co 1,5 miesiąca.
d) ciągłej.
Zadanie 100 Dla każdej stopy oprocentowania składanego: i4 = 5%, i1 = 20%,
i2 = 10, 5%, ref = 19%, rc = 19% obliczyć stopę efektywną.
Zadanie 101 Jaka jest nominalna stopa procentowa w modelu kapitalizacji miesięcznej, jeśli stopa efektywna wynosi 27%?
Zadanie 102 Jaka jest nominalna stopa procentowa w modelu kapitalizacji ciągłej,
jeśli stopa efektywna wynosi 24%?
Zadanie 103 Wyznaczyć stopę efektywną dla nominalnej stopy procentowej 17%
przy prostej kapitalizacji odsetek?
Zadanie 104 Pewien kapitał złożono na procent składany. Kapitalizacja odsetek
następuje co kwartał, a efektywna stopa procentowa wynosi 13%. Ile wynosi równoważna stopa kwartalna a ile nominalna?
Zadanie 105 Assume that Fn = 100 + 5n. Find ref,5 , ref,10 .
Zadanie 106 Assume that Fn = 100(1, 1)n . Find ref,5 , ref,10 .
Zadanie 107 If F4 = 1000 and ref,n = .01n, where n is a positive integer, find F7 .
13
Zadanie 108 Pewien kapitał złożono na procent składany. Kapitalizacja odsetek
następuje co kwartał, a efektywna stopa procentowa jest równa 13%. Ile wynosi zgodna stopa procentowa odpowiadająca tej efektywnej a ile nominalna?
Zadanie 109 Wyznaczyć stopę efektywną dla rocznej stopy 11, 9% przy ciągłej kapitalizacji odsetek.
Zadanie 110 Dane są stopy oprocentowania składanego r4 , i1 , rc , i2 , przy czym
r4 = ln(1 + i1 ) = rc = i2 = 12%.
a) Co oznacza każda z tych stóp?
b) Dla każdej stopy podać (obliczyć) stopę nominalną, roczny czynnik akumulacji,
stopę efektywną oraz równoważną stopę oprocentowania ciągłego.
Zadanie 111 Find the accumulated value of $500 invested for five years at 8% per
annum convertible quarterly. Find ref,1 , ref,5
Zadanie 112 Wyznaczyć stopę efektywną dla każdego z czterech lat inwestycji przy
rocznej stopie procentowej 12% i odsetkach prostych?
Zadanie 113 Kwotę 10000 zł ulokowano na rachunku na okres 2 lat. Nominalna
stopa procentowa wynosiła 9%. Jaki będzie stan konta po tym okresie, jeśli kapitalizacja odsetek miała miejsce na początku każdego kwartału. Wyznacz efektywną stopę
dla każdego roku.
Zadanie 114 Firma zamierza sprzedać nieruchomość drogą przetargu. Otrzymała
oferty od trzech nabywców. Pierwszy z nich chciałby ją kupić natychmiast regulując
należność gotówką w wysokości 25000 zł, drugi proponuje sume 26000 zł przy uregulowaniu należności za rok, trzeci zaś gotów jest zapłacić 28000 zł, ale po upływie 3
lat. Którą ofertę powinna wybrać firma, jeśli istnieje możliwość ulokowania gotówki
w banku na procent składany 12% w skali roku?
Zadanie 115 Złożono w banku kapitał w wysokości 400.000, 00 zł. Po upływie 10
lat kwota kapitału wzrosła do 500.000, 00 jp. Jaka będzie kwota kapitału po upływie
dalszych 4 lat?
Zadanie 116 Ulokowano w banku depozyt w wysokości 12000 zł na 14% w skali roku przy kwartalnej kapitalizacji odsetek. Czy warunki oprocentowania się pogorszą,
jeśli stopa procentowa będzie obniżona o 1, 4 pkt procentowego i kapitalizacja kwartalna zostanie zastąpiona kapitalizacją miesięczną? Oblicz zysk bądź stratę właściciela
depozytu.
Zadanie 117 Bank A oferuje rachunek oszczędnościowy oprocentowany 5, 25% w
skali roku przy dziennej kapitalizacji odsetek. Bank B oferuje lokatę terminową 3miesięczną oprocentowaną 6% w skali roku. Która z ofert bankowych jest korzystniejsza, jeśli w ciągu roku nie planujemy żadnej wypłaty?
14
Wartość przyszła kapitału po czasie t > 0
Zadanie 118 Wyznacz wartość kapitału 11900 zł po 13 miesiącach przy oprocentowaniu prostym i stopie procentowej 11, 3% w skali roku.
Zadanie 119 Jaka jest obecna wartość kapitału, który po 28 dniach wygenerował
zysk 300 zł przy ciągłej kapitalizacji odsetek i stopie procentowej 3% w skali roku.
Zadanie 120 Wyznacz wartość kapitału 457000 zł po 1, 5 roku przy kwartalnej kapitalizacji odsetek i nominalnej stopie procentowej 6, 7%.
Zadanie 121 Po jakim czasie kapitał 23300 zł wygeneruje odsetki 288 zł przy ciągłej
kapitalizacji odsetek i stopie procentowej 8% w skali roku?
Zadanie 122 Wyznacz wartość przyszłą kapitału 500 zł po 5 tygodniach w modelu
kapitalizacji miesięcznej przy stopie nominalnej 14%.
Zadanie 123 Jaka jest wartość kapitału 3000 zł po roku i 2 miesiącach przy półrocznej kapitalizacji odsetek i stopie nominalnej 11%?
Zadanie 124 Jaka jest wartość kapitału 13400 zł po 82 dniach w modelu kapitalizacji miesięcznej przy stopie nominalnej 6, 7%?
Zadanie 125 Find the accumulated value of $5000 at the end of 5 years and 4
months invested at 9% per annum:
1) Assuming compound interest throughout.
2) Assuming simple interest during the final fractional period
15
Oprocentowanie przy zmiennej stopie procentowej.
Stopa przeciętna
Zadanie 126 Find the accumulated value of $1000 at the end of 15 years if the
effective rate of iterest is 5% for the first 5 years, 4, 5% for the second 5 years, and
4% for the fird 5 years.
Zadanie 127 The investor earns 15% during the first year, −5% during the second
year, and 8% during the third year. Find the equivalent level effective rate of return
over the three-year period.
Zadanie 128 Bank zmienił oprocentowanie z 30% na 32%. Równocześnie bank wydłużył kapitalizację z kwartału na pół roku. Czy prawdziwa jest informacja banku,
że zmiana ta nie pogorszy sytuacji klientów banku?
Zadanie 129 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła:
11%, 9%, 5%, 8%. Wyznaczyć przeciętną kwartalną stopę procentową, jeśli bank
stosował kapitalizację kwartalną.
Zadanie 130 Przez pierwsze pół roku nominalna stopa procentowa wynosiła 4% a
przez kolejne pół roku była większa o 0, 5 punktu procentowego. Wyznaczyć roczną
efektywną stopę procentową równoważną przeciętnej półrocznej stopie procentowej,
jeśli bank stosował kapitalizację półroczną.
Zadanie 131 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła:
10%, 11%, 10%, 9%. Wyznaczyć roczną efektywną stopę procentową równoważną
przeciętnej kwartalnej stopie procentowej, jeśli bank stosował kapitalizację kwartalną.
Zadanie 132 Odsetki od 2-letniej lokaty 15000 zł obliczono według zmiennej stopy
procentowej. Stopa nominalna w pierwszym i drugim roku wynosiła, odpowiednio,
10% oraz 12%. W pierwszym roku odsetki były kapitalizowane co miesiąc, w drugim
na koniec roku. Obliczyć
1. dwuletni czynnik akumulacji oprocentowania lokaty.
2. przeciętną roczną stopę oprocentowania lokaty.
3. odsetki należne na koniec drugiego roku.
Zadanie 133 Bank A proponuje 3-letnią lokatę o oprocentowaniu ciągłym przy
zmiennej stopie procentowej. W pierwszym roku stopa rc wyniesie 3% i będzie się
zwiększać o 0, 3 punktu procentowego w każdym następnym roku. Bank B proponuje
lokatę 3-letnią o stałym oprocentowaniu kwartalnym przy stopie nominalnej 3, 5%.
Która z lokat jest korzystniejsza dla klienta.
Zadanie 134 Bank A proponował 5-letnią lokatę o oprocentowaniu ciągłym przy
zmiennej stopie procentowej. W pierwszym roku stopa procentowa wynosiła 4% i
była zmniejszana o 0, 1 punktu procentowego w każdym następnym roku. Bank B
proponował lokatę 5-letnią o stałym oprocentowaniu kwartalnym z dołu przy stopie
nominalnej 4%. Która z lokat była korzystniejsza dla klienta.
16
Zadanie 135 Pięcioletnia lokata o wartości początkowej 5000 zł podlega rocznemu oprocentowaniu o zmiennej rocznej stopie procentowej: 3%, 3%, 3, 02%, 3, 12%,
2, 9%. Wyznaczyć roczną stopę przeciętną i miesięczną stopę przeciętna równoważną
rocznej oraz wartość przyszłą kapitału po pięciu latach.
Zadanie 136 W ciągu dwóch lat oprocentowanie rachunku bankowego było zmieniane wielokrotnie. W pierwszym półroczu stopa nominalna wynosiła 7%, a odsetki
kapitalizowano pod koniec każdego kwartału. W trzecim kwartale odsetki były kapitalizowane pod koniec każdego miesiąca, a stopa nominalna wynosiła 6%. Następnie
przez kolejne dwa miesiące obowiązywała kapitalizacja dwumiesięczna z dołu przy
stopie nominalnej 6, 5%, przez kolejne pół roku odsetki były kapitalizowane pod koniec każdego kwartału przy stopie nominalnej 5, 75% a następnie do końca czasu
oprocentowania lokaty obowiązywała kapitalizacja miesięczna z dołu przy nominalnej stopie 6, 3%. Obliczyć
1. efektywną stopę procentową dla każdego roku.
2. przeciętną stopę kwartalną.
3. wartość kapitału 100000 zł po dwóch latach stosując zmienne stopy podokresowe, stopy efektywne, stopy przeciętne.
Zadanie 137 W banku A w kolejnych latach nominalna stopa procentowa wynosiła: 8%, 8, 2%, 8, 1%, 8%, zaś w banku B 7, 9%, 8, 4%, 8, 2%, 8, 1%. Wyznaczając
przeciętną roczną stopę procentową w czasie 4 lat sprawdzić, który bank oferował
korzystniejsze warunki oprocentowania w modelu oprocentowania
1. prostego.
2. miesięcznego skladanego.
3. kwartalnego składanego.
Zadanie 138 W banku A w kolejnych latach nominalna stopa procentowa wynosiła:
8, 1%, 8, 2%, 8%, 7, 8%, 7, 8%, zaś w banku B 7, 9%, 8, 4%, 8, 2%, 8, 1%, 7, 7%.
Wyznaczając przeciętną
1. roczną
2. podokresową
stopę procentową w czasie 5 lat sprawdzić, który bank oferował korzystniejsze warunki
oprocentowania w modelu oprocentowania
1. prostego.
2. półrocznego składanego.
3. miesięcznego składanego.
Zadanie 139 Nominalna stopa lokaty 3-miesięcznej zmieniała się co kwartał i wynosiła 6, 5%, 6, 4%, 6, 6%, 6, 7%. Wyznaczyć przeciętną kwartalną i roczną stopę w
czasie roku.
17
Zadanie 140 Przez pierwsze pół roku nominalna stopa procentowa wynosiła 6% a
przez kolejne pół roku była większa o 0, 2 punktu procentowego. Wyznaczyć roczną i
półroczną stopę przeciętną, jeśli bank stosował kapitalizację półroczną.
Zadanie 141 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła:
5, 5%, 5, 7%, 5, 4%, 5%. Wyznaczyć roczną efektywną stopę procentową równoważną
przeciętnej kwartalnej stopie procentowej, jeśli bank stosował kapitalizację kwartalną
złożoną z dołu.
Zadanie 142 Bank A oferuje lokatę 3-miesięczną przy stopie procentowej (nominalnej) 5, 8%, zaś bank B lokatę półroczną przy stopie procentowej (nominalnej)
5, 6%. W banku A w kolejnych kwartałach roku stop procentowa zmniejszała się o
0, 1 punktu procentowego, zaś w banku B po pół roku stopa procentowa zwiększyła się
o 0, 2 punku procentowego. Która z lokat jest korzystniejsza w ciągu roku?
18
Dyskonto proste
Zadanie 143 Opłata za 3-miesięczną pożyczkę w wysokości 5000 zł ma postać dyskonta przy stopie dyskontowej d = 15%. Ile dłużnik otrzyma w momencie otrzymania
pożyczki?
Zadanie 144 Bank A proponuje 6-miesięczną lokatę z odsetkami płatnymi z dołu
naliczanymi wg. stopy nominalnej r = 5, 5%, zaś bank B 6-miesięczną lokatę z odsetkami płatnymi z góry naliczanymi wg. stopy rocznej d = 5%. Która z lokat jest
korzystniejsza?
Zadanie 145 Kwotę 2800 zł spłacono po 3 miesiącach kwotą 2950 zł. Przyjmując,
że opłatą za pożyczkę były:
a) odsetki płatne z dołu, obliczyć r;
b) odsetki płatne z góry, obliczyć d.
Zadanie 146 Opłata za 6-miesięczny kredyt w wysokości 10000 zł ma postać dyskonta przy (rocznej) stopie dyskontowej d równoważnej stopie r = 12, 75% w okresie
6 miesięcy. Ile wynosi ta opłata?
Zadanie 147 Mając (roczną) stopę dyskontową d = 2, 5% i (roczną) stopę procentową r = 1, 5% zbadać czy istnieje czas,w którym te stopy są równoważne.
Zadanie 148 W dniu 11.02.2007 pan Kowalski otrzymał kwotę 9300 zł, podpisując
weksel o nominale 10000 zł z terminem wykupu 9.06.2007. Obliczyć stopę d. Obliczyć
stopę r oprocentowania pożyczki płatnej z dołu w wysokości 9300 zł udzielonej na ten
sam czas, równoważną stopie d.
Zadanie 149 Przedsiębiorca uzyskał kredyt handlowy na okres 60 dni na zakup surowców o wartości 45600 zł. Jaka powinna być wartość nominalna weksla, zabezpieczającego tę transakcję, jeżeli strony zgodziły się na zastosowanie rocznej stopy
d = 11%?
Zadanie 150 Jaką kwotę otrzymała firma X za weksel o wartości nominalnej 10000
zł z terminem wykupu za 96 dni zdyskontowany w banku przy rocznej stopie d =
7, 5%? O ile wyższa byłaby ta kwota, gdyby stopa dyskontowa była niższa o 1 punkt
procentowy?
Zadanie 151 Bank A, który był w posiadaniu weksla o wartości nominalnej 90000
zł z terminem wykupu 17.05.2002, złożył ten weksel do redyskonta w banku centralnym 4.03.2002. Obliczyć wysokość kredytu redyskontowego udzielonego przez bank
centralny bankowi A, jeśli w tym dniu obowiązywała stopa redyskontowa d = 12% w
skali roku.
Zadanie 152 Firma C, przewidując trudności ze spłatą weksla o wartości nominalnej 22000 zł w wymaganym terminie 10.01.2003, zwraca się 22.12.2002 do banku,
który jest w posiadaniu weksla, o jego zamianę na weksel równoważny z terminem wykupu 10.04.2003. Jaka jest wartość nominalna odnowionego weksla, jeśli 22.12.2002
w banku obowiązywała roczna stopa dyskontowa 12%?
19
Zadanie 153 Weksel o wartości nominalnej 70 zł i terminie płatności za 9 miesięcy
zamienić na weksel równoważny z terminem płatności za 6 miesięcy. Bieżąca roczna
stopa dyskontowa wyosi 7%.
Zadanie 154 W dniu 1 maja zmienić dwa weksle: o wartości nominalnej 40 zł i
terminie płatności 15 września oraz o wartości nominalnej 10 zł i terminie płatności
30 października, na jeden weksel równoważny płatny 1 września. Bieżąca roczna stopa
dyskontowa wynosi 6, 5%.
Zadanie 155 Wyznaczyć stopę dyskontową, jeżeli dyskonto handlowe weksla o wartości nominalnej 100 zł zdyskontowanego na 30 dni przed terminem wykupu wynosi
2 zł.
Zadanie 156 Hurtownia przyjmuje zapłatę za towar w terminie nie przekraczającym 28 dni od daty zakupu. Jeśli klient reguluje należność w ciągu 7 dni od daty
zakupu, to przysługuje mu rabat w wysokości 3%.
a) Przy jakiej stopie d warto wziąć pożyczkę z odsetkami płatnymi z góry, w celu
skorzystania z rabatu, jeśli wartość zakupionego towaru wynosi 25000 jp?
b) Przy jakiej stopie r warto wziąć pożyczkę z odsetkami płatnymi z dołu, w celu
skorzystania z rabatu, jeśli wartość zakupionego towaru wynosi 25000 jp?
Zadanie 157 10 lutego 2000 r. firma zdyskontowała w banku weksel o terminie
wykupu 1 czerwca tego samego roku, otrzymując zań 28135, 76 PLN. Gdyby termin
wykupu weksla był późniejszy o 30 dni, ta kwota byłaby mniejsza o 204, 71 PLN.
a) Obliczyć stopę d, przy której zdyskontowano weksel.
b) Jaka była wartość nominalna weksla?
c) Jaki powinien być termin wykupu weksla, aby otrzymano za niego przynajmniej
28200 PLN?
Zadanie rozwiązać uwzględniając dokładną liczbę dni i fakt, że rok 2000 był rokiem
przestępnym.
Zadanie 158 Jaką cenę zakupu 26-tygodniowych bonów skarbowych powinien zgłosić bank B w swojej ofercie przetargowej, aby osiągnąć rentowność tej inwestycji w
skali roku na poziomie przynajmniej 10%?
Zadanie 159 Obliczyć roczną stopę dyskonta i rentowności dla 13-tygodniowych
bonów skarbowych sprzedawanych po 9.588, 50 zł.
Zadanie 160 Obliczyć cenę sprzedaży 13-tygodniowych bonów z dyskontem wynoszącym 364, 75 zł.
20
Dyskonto składane
Zadanie 161 Wyznaczyć roczną (efektywną) stopę oprocentowania 2-letniej lokaty,
której 2-letni czynnik dyskontujący wynosi 0, 783.
Zadanie 162 Jakiej wielkości zysk został wygenerowany dzięki 3-letniej lokacie, jeśli lokata była oprocentowana 3, 5% w skali roku oraz inwestor po zamknięciu lokaty
otrzymał 10.000 zł.
Zadanie 163 Jaki kapitał po roku wygeneruje wartość przyszłą 1 jp przy stopie
efektywnej 5%
Zadanie 164 Wyznaczyć wartość początkową kapitału 1200 zł zdyskontowanego na
25 miesięcy przy stopie dyskontowej 5% w skali roku.
Zadanie 165 Wyznaczyć stopę dyskontową równoważną stopie procentowej 3, 8% w
skali roku.
Zadanie 166 Jeżeli 3, 5-roczny czynnik dyskontowania kapitału wynosi 0, 89, to ile
wynosi roczna stopa dyskontowa.
Zadanie 167 Mając roczną stopę dyskontową 8% wyznaczyć 18-miesięczny czynnik
dyskontujący.
Zadanie 168 Find the amount which must be invested at 9% per annum in order
to accumulate $1000 at the end of three years assuming compound discount.
Zadanie 169 For the $10, 000 investment given in Ex. 5, find the effective rate of
discount for the fourth year, i.e. d4 .
Zadanie 170 Find the present value of $1000 to be paid at the end of six years at
6% per annum payable in advance and convertible semiannually.
Zadanie 171 Find the nominal rate of interest convertible quarterly which is equivalent to nominal rate of discount of 6% per annum convertible monthly.
21
Inflacja. Stopa inflacji. Wartość realna kapitału w
czasie
Zadanie 172 W ciągu roku stopa inflacji zmieniała się co kwartał i przyjmowała
kolejno wartości: 2%, 2, 5%, 1, 5% i 2, 7%. Wyznaczyć roczną stopę inflacji oraz
przeciątną kwartalną stopę inflacji.
Zadanie 173 W ciągu kwartału miesięczna stopa inflacji wynosiła odpowiednio:
1, 2%, 1, 3%, 1, 4%. Wyznaczyć kwartalną stopę inflacji oraz przeciątną miesięczną
stopę inflacji.
Zadanie 174 Nominalne oprocentowanie rocznej lokaty wynosi 8% a roczna stopa
inflacj 3, 5%. Ile wynosi realna roczna stopa procentowa?
Zadanie 175 Płaca pracownika w I kwartale pewnego roku wynosiła 7000 zł miesięcznie i była indeksowana co kwartał wskaźnikiem wzrostu płac równym 0, 8 stopy
inflacji z poprzedniego kwartału. W kolejnych kwartałach roku stopa inflacji wynosiła
odpowiednio: 3%, 3, 5%, 3, 2%, 3, 1%. Wyznaczyć
a) płacę pracownika w I kwartale następnego roku,
b) roczną stopę inflacji,
c) przeciętną kwartalną stopę inflacji
d) realną stopę wzrostu płacy pracownika w ciągu roku.
Zadanie 176 Stopa oprocentowania lokaty 12-miesięcznej wynosi 10%. Jaka jest
realna roczna stopa procentowa, jeżeli stopa inflacji w poszczególnych kwartałach
wynosiła odpowiednio: 1, 1%, 1, 05%, 1, 15%, 1, 08%.
Zadanie 177 Jaki jest realny wzrost dotacji na badania naukowe w danym roku,
jeśli jest ona wyższa od ubiegłorocznej o 18% i stopa inflacji wyniosła 4%?
Zadanie 178 Przewidując roczną stopę inflacji na poziomie 5% ustalono, że spłata
pożyczki 6500 zł po dwóch latach wyniesie 8000 zł. Obliczyć realną roczną stopę
oprocentowania pożyczki, jeśli:
a) poziom inflacji będzie zgodny z przewidywaniami,
b) w pierwszym roku stopa inflacji wyniesie 6%, a w drugim 9%.
Zadanie 179 Oprocentowanie 6-miesięcznej lokaty bankowej o wartości 8000 zł wynosi 5, 05% w skali roku. Obliczyć nominalną i realną wartość lokaty oraz nominalną
i realną wartość odsetek na koniec lokaty, jeśli stopa inflacji wyniosła w tym półroczu
1, 7%.
Zadanie 180 Do danych z zadania 179 wyznaczyć realny przyrost kapitału oraz
zbadać zależność pomiędzy tym przyrostem a realnymi odsetkami.
22
Zadanie 181 Obliczyć nominalną i realną wartość kapitału 300 zł po pół roku oraz
nominalną i realną stopę jego wzrostu, jeśli kapitał ten został umieszczony na półrocznej lokacie przy półrocznej stopie 3, 5%. Półroczna stopa inflacji w tym czasie
wynosi 1, 5%.
Zadanie 182 W I, II i III kwartale przeciętna miesięczna stopa inflacji wyniosła,
odpowiednio, 1, 6%, 2%, 2, 3%. Obliczyć:
a) stopę inflacji w I kwartale,
b) roczną stopę inflacji, jeśli w każdym miesiącu IV kwartału stopa inflacji będzie
stała i wyniesie 2, 4%,
c) przeciętną kwartalną stopę inflacji, jeśli w IV kwartale stopa inflacji wyniesie
6, 9%,
d) przeciętna miesięczną stopę inflacji w IV kwartale, przy której roczna stopa
inflacji nie przekroczy 30%.
Zadanie 183 Ania wpłaciła dziś zaoszczędzone 300 zł na półroczną lokatę bankową,
na której odsetki są naliczane co pół roku przy półrocznej stopie 3, 5%. Zosia woli
swoje oszczędności trzymać ”w pończosze”, a ich wartość wynosi obecnie również
300 zł. Obliczyć nominalną i realną wartość oszczędności Ani i Zosi za pół roku oraz
nominalną i realną stopę ich wzrostu, jeśli półroczna stopa inflacji wyniesie:
a) 1, 5%,
b) −1, 5%.
23