Funkcje trygonometryczne

Inżynieria Środowiska
rok ak. 2009/2010
MATEMATYKA - kurs zamawiany
str. 1
Lista VI.
Funkcje trygonometryczne
6.1. Dla jakich α ∈ (0◦ , 360◦ ) prawdziwe są następujące nierówności:
(a) sin α cos α > 0;
√
(d) ctg α < 3;
(b) sin α cos α < 0;
(c) sin α > cos α;
1
(e) cos α < ;
2
(f ) tg α > ctg α ?
6.2. Zbadaj, która z liczb w każdej z podanych par jest większa. Wstaw w miejsce „ . . . ” znak
„=”, <” lub „>”:
(a) sin 1 . . . tg 1;
(b) cos 1 . . . ctg 1;
(c) sin 2 . . . cos 2;
6.3. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta α, jeżeli:
5
15
i 90◦ < α < 180◦ ;
(b) cos α =
i 270◦ < α < 360◦ ;
(a) sin α =
17
13
q
7
(d) sin α = − 0, 2 i 180◦ < α < 270◦ .
i 180◦ < α < 270◦ ;
(c) tg α =
24
6.4. Oblicz sin α, cos α i tg α, gdy ctg α = m i 90◦ < α < 180◦ .
6.5. Określ zbiór wartości funkcji:
(a) y = 1 + sin α;
(b) y = 3 − cos 2α;
(c) y = tg α · ctg α;
(d) y = 1 + tg2 α;
(e) y = 1 − sin2 α;
(f ) y = 2 − 3 cos2 α.
Narysować wykres funkcji:
6.1. y = sin 2x.
π
6.2. y = sin x +
.
4
6.4. y = cos x − 1.
6.5. y = 2 sin
x
− 1.
2
6.3. y = 2 − sin x.
1
π
6.6. y = 1 − cos 2x +
.
2
3
Zbadać, które z podanych funkcji są parzyste, a które nieparzyste:
6.7. y = sin 3x.
6.8. y = sin2 x.
6.10. y = sin x cos x.
6.11. y =
sin x
.
x
Wyznaczyć okres podstawowy funkcji:
x
x
6.13. y = cos .
6.14. y = tg .
2
3
6.9. y = x cos x.
6.12. y =
3 sin x
.
1 + 2 sin2 x
6.15. y = sin x +
π
.
2
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Inżynieria Środowiska
rok ak. 2009/2010
MATEMATYKA - kurs zamawiany
6.16. y = 1 + 2 sin
3
x .
2
Udowodnić, że:
√
6.19. 3 ctg 20◦ − 4 cos 20◦ = 1.
π
.
4
6.17. y = 1−sin 3x−
6.18. y = tg
str. 2
2πx
2πx
+ ctg
.
5
5
6.20. cos 20◦ − sin 50◦ = sin 10◦ .
6.21. sin 1◦ + sin 91◦ + 2 sin 203◦ · (sin 112◦ + sin 158◦ ) = 0.
Sprawdź następujące tożsamości:
6.22. tg2 x − sin2 x · ctg2 x = sin2 x.
6.23. (sin x + cos x)2 + (sin x − cos x)2 = 2.
6.24. (1 + cos x) · (1 − cos x) = sin2 x.
6.25. cos2 x − sin2 x = 1 − 2 · sin2 x.
6.26.
1
− cos x = sin x · tg x.
cos x
6.27. 1 + ctg x =
6.28. cos4 x − sin4 x = cos 2x.
sin x + cos x
.
sin x
6.29. cos4 x + sin4 x = 1 − 2 sin2 x · cos2 x.
Rozwiąż podane równania:
6.30. sin 2x = 1.
6.31. sin 3x = 0.
1
6.33. cos 3x = − .
2
6.34. tg
√
2
6.36. sin(2x − 1) = −
.
2
√
x
3
6.39. ctg =
.
3
3
6.32. tg 3x = −1
√
x
6.35. tg − − 1 = 3.
4
x
= −1.
2
x π
6.37. ctg
−
2
3
√
π
1
= − 3. 6.38. cos 2x +
=− .
3
2
1
6.40. 4 ctg(2x − π) = .
4
1
π
6.41. sin 2x −
3
5
Dla x ∈ h0; 2πi rozwiąż podane nierówności:
1
1
6.42. sin x − < 0.
6.43. sin 2x < .
2
2
√
x
3
6.44. cos > −
.
5
2
6.45. sin 2x · ctgx < 0.
6.46. tg 2x > 1.
6.47. tg2 x > 1.
6.48. 2 sin (π − 2x) > −1.
6.49.
√
3 tg x − 1 < 0.
1
=− .
6
6.50. 3 tg2 x ¬ 1.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego