Funkcje dwóch zmiennych
Transkrypt
Funkcje dwóch zmiennych
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr¦cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni. Denicja Przestrzeni¡ dwuwymiarow¡ (pªaszczyzn¡) (oznaczan¡ przez uporz¡dkowanych (x, y), gdzie R2 ) nazywamy zbiór par x, y ∈ R. R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}. Przestrzeni¡ trójwymiarow¡ (przestrzeni¡) (oznaczan¡ przez nych trójek (x, y, z), gdzie R3 ) nazywamy zbiór uporz¡dkowa- x, y, z ∈ R. R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}. Elementy x, y i z (x, y) oraz nazywamy (x, y, z) nazywamy punktami, odpowiednio, pªaszczyzny i przestrzeni. Liczby wspóªrz¦dnymi kartezja«skimi punktów. Denicja Odlegªo±ci¡ punktów P1 = (x1 , y1 ) oraz P2 = (x2 , y2 ) na pªaszczy¹nie nazywamy liczb¦ |P1 P2 | okre±lon¡ wzorem |P1 P2 | = Odlegªo±ci¡ punktów P1 = (x1 , y1 , z1 ) p oraz (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 P2 = (x2 , y2 , z2 ) w przestrzeni nazywamy liczb¦ okre±lon¡ wzorem |P1 P2 | = p (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z1 − z2 )2 1 |P1 P2 | Denicja Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P0 na pªaszczy¹nie lub w przestrzeni nazywamy zbiór O(P0 , r) = {P : |P P0 | < r}. Otoczeniem punktu na pªaszczy¹nie jest koªo otwarte o ±rodku w punktu w przestrzeni jest kula otwarta o ±rodku w P0 i promieniu P0 i promieniu r. Otoczeniem r. Denicja S¡siedztwem o promieniu r > 0 punktu P0 na pªaszczy¹nie lub w przestrzeni nazywamy zbiór S(P0 , r) = O(P0 , r) \ {x0 }. S¡siedztwem punktu na pªaszczy¹nie jest koªo otwarte bez ±rodka. S¡siedztwem punktu w przestrzeni jest kula otwarta bez ±rodka. Uwaga Je±li promie« r nie b¦dzie istotny w rozwa»aniach, to b¦dziemy pisa¢ krótko O(P0 ) oraz S(P0 ). Denicja Mówimy, »e zbiór A jest ograniczony, gdy istnieje punkt P0 oraz r > 0 takie, »e A ⊂ O(P0 , r), tzn. »e zbiór A mo»na zawrze¢ w otoczeniu pewnego punktu z rozwa»anej przestrzeni. W przeciwnym przypadku zbiór Denicja Mówimy, »e P jest A nazywamy nieograniczonym. punktem wewn¦trznym zbioru zawarte w tym zbiorze, tzn. istnieje liczba r>0 A je±li istnieje otoczenie tego punktu taka, »e O(P, r) ⊂ A. Zbiór wszystkich punktów wewn¦trznych zbioru nazywamy jego wn¦trzem i oznaczamy przez IntA. Denicja Zbiór nazywamy otwartym, gdy ka»dy punkt tego zbioru jest jego punktem wewn¦trznym. 2 Denicja Mówimy, »e punkt P jest punktem brzegowym zbioru A, gdy w ka»dym otoczeniu tego punktu istniej¡ punkty nale»¡ce do zbioru A i punkty do niego nienale»¡ce, tzn. gdy dla ka»dej liczby r>0 zachodzi warunek O(P, r) ∩ A 6= ∅ ∧ O(P, r) ∩ A0 6= ∅. Brzegiem zbioru nazywamy zbiór jego punktów brzegowych. Brzeg zbioru A oznaczamy przez ∂A. Denicja Mówimy, »e niepusty podzbiór pªaszczyzny jest obszarem, gdy jest otwarty i gdy ka»de dwa punkty tego zbioru mo»na poª¡czy¢ ªaman¡. (Przykªadowo, poni»szy zbiór nie jest obszarem, mimo, »e jest zbiorem otwartym.) Denicja Obszar wraz z jego brzegiem nazywamy obszarem domkni¦tym. Funkcje wielu zmiennych Denicje podane w poprzedniej sekcji mo»na przenie±¢ bez istotnych zmian do przestrzeni o wi¦kszej liczbie wymiarów ni» dwa (pªaszczyzna), czy te» trzy (przestrze«). Zdeniujmy wi¦c przestrze« n-wymiarow¡ jako zbiór ci¡gów n-elementowych liczb rzeczywistych (x1 , x2 , . . . , xn ), tzn. Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : x1 , x2 , . . . , xn ∈ R}. Denicja Funkcj¡ n-zmiennych okre±lon¡ na zbiorze D ⊆ Rn o warto±ciach w R nazywamy przyporz¡dkowanie ka»demu punktowi ze zbioru wamy D dokªadnie jednej liczby rzeczywistej. Zbiór D nazy- dziedzin¡ funkcji. Funkcj¦ tak¡ oznaczamy przez Warto±¢ funkcji f w punkcie f :D→R lub (x1 , x2 , . . . , xn ) w = f (x1 , x2 , . . . , xn ) oznaczamy przez 3 , gdzie (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ D. f (x1 , x2 , . . . , xn ). Dla n=2 mamy funkcj¦ dwóch zmiennych z = f (x, y). Dla n=3 mamy funkcj¦ trzech zmiennych w = f (x, y, z). Denicja Niech f b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ na podzbiorze przestrzeni Rn . Je»eli dany jest tylko wzór okre±laj¡cy funkcj¦, to zbiór punktów przestrzeni, dla których wzór ten ma sens nazywamy dziedzin¡ naturaln¡ funkcji f. Funkcje dwóch zmiennych. Dla funkcji dwóch zmiennych zdeniujmy poj¦cie wykresu i poziomicy wykresu funkcji. Denicja Wykresem funkcji f dwóch zmiennych nazywamy podzbiór przestrzeni R3 zdeniowany wzorem {(x, y, z) ∈ R3 : z = f (x, y)}. Denicja Poziomic¡ wykresu funkcji pªaszczyzny R 2 f odpowiadaj¡c¡ poziomowi zdeniowany wzorem {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) = h}. 4 h ∈ R nazywamy podzbiór Wykresy wa»niejszych funkcji dwóch zmiennych (f : R 2 → R) 1. Wykresem funkcji z = Ax + By + C jest pªaszczyzna o wektorze normalnym ~n = [−A, −B, 1 ], przechodz¡ca przez punkt (0, 0, C). 2. Wykresem funkcji z = a(x2 + y 2 ), jest (lub gdzie a 6= 0, paraboloida obrotowa, czyli powierzchnia obrotowa powstaªa z obrotu paraboli z = ay 2 ) wokóª osi z = ax2 Oz . 3. Wykresem funkcji p z = ± R 2 − x2 − y 2 jest górna lub dolna póªsfera o ±rodku w pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych i promieniu R > 0. 4. Wykresem funkcji z=k jest osi p x2 + y 2 , gdzie k 6= 0, sto»ek, czyli powierzchnia powstaªa z obrotu póªprostej Oz . 5 z = kx, y = 0 dla x≥0 wokóª 5. Wykresem funkcji p z = h( x2 + y 2 ), jest powierzchnia obrotowa powstaªa z obrotu wykresu funkcji wokóª osi , dla x≥0 Oz . 6. Wykresem funkcji wykresu funkcji x=0 z = h(x), y = 0 z = g(x) z = g(x) równolegle do osi lub dla z = k(y) y=0 jest powierzchnia walcowa powstaªa z przesuni¦cia równolegle do osi Oy lub wykresu funkcji Ox. Uwaga Wykres funkcji z = f (x − a, y − b) + c powstaje z wykresu funkcji z = f (x, y) przez przesuni¦cie o wektor 6 ~v = [a, b, c]. z = k(y) dla Wykres funkcji z = −f (x, y) powstaje z wykresu funkcji z = f (x, y) przez symetryczne odbicie wzgl¦dem pªaszczyzny 7 xOy . Granice i ci¡gªo±¢ funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy, »e ci¡g punktów {Pn }n∈N = {(xn , yn )}n∈N oznaczamy lim Pn = P0 lim (xn , yn ) = (x0 , y0 ), lub n→∞ n→∞ d¡»y do punktu P0 = (x0 , y0 ), co wtedy i tylko wtedy, gdy lim xn = x0 ∧ lim yn = y0 . n→∞ n→∞ (Oznacza to zbie»no±¢ dla ka»dej wspóªrz¦dnej.) Denicja (Heinego) Niech funkcja f b¦dzie okre±lona przynajmniej na s¡siedztwie punktu (x0 , y0 ). Mówimy, »e funkcja f ma w punkcie (x0 , y0 ) granic¦ wªa±ciw¡ g ∈ R, lim co zapisujemy f (x, y) = g, (x,y)→(x0 ,y0 ) {(xn , yn )}n∈N ⊂ S(x0 , y0 ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych ci¡gów punktów zachodzi wa- runek h i h i lim (xn , yn ) = (x0 , y0 ) =⇒ lim f (xn , yn ) = g . n→∞ n→∞ Uwaga Podobnie deniujemy granice niewªa±ciwe funkcji dwóch zmiennych. Przykªad Dla funkcji f (x, y) = nie istnieje granica w punkcie (0, 0). Je»eli rozwa»ymy ci¡g punktów punktu (0, 0) wzdªu» osi (xn , yn ) = 1 ,0 , n to lim (xn , yn ) = (0, 0) n→∞ i ci¡g ten d¡»y do Ox. Je»eli natomiast rozwa»ymy ci¡g punktów ten d¡»y do punktu x2 + 3y 2 x2 + y 2 (0, 0) wzdªu» osi (x0n , yn0 ) = 1 0, , n to lim (x0n , yn0 ) = (0, 0), n→∞ Oy . Otrzymujemy wtedy sprzeczno±¢ z denicj¡ Heinego, bo lim f (xn , yn ) = lim n→∞ lim n→∞ n→∞ f (x0n , yn0 ) = lim n→∞ 8 1 2 + 3 · 02 n 1 2 + 02 n = 1, 1 2 n 1 2 n = 3. 02 + 3 · 02 + ale ci¡g Twierdzenie (o arytmetyce granic) Je»eli funkcje 1. f i lim g maj¡ w punkcie (x0 , y0 ) [f (x, y) + g(x, y)] = (x,y)→(x0 ,y0 ) granice wªa±ciwe, to: lim f (x, y) + (x,y)→(x0 ,y0 ) 2. 3. [f (x, y) · g(x, y)] = lim (x,y)→(x0 ,y0 ) f (x, y) · lim (x,y)→(x0 ,y0 ) f (x, y) = (x,y)→(x0 ,y0 ) g(x, y) lim lim lim (x,y)→(x0 ,y0 ) g(x, y), lim g(x, y) (x,y)→(x0 ,y0 ) , f (x, y) (x,y)→(x0 ,y0 ) lim g(x, y) , lim o ile (x,y)→(x0 ,y0 ) g(x, y) 6= 0. (x,y)→(x0 ,y0 ) Denicja Niech funkcja f dwóch zmiennych b¦dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu O(x0 , y0 ). Mówimy, »e f jest ci¡gªa w punkcie (x0 , y0 ), lim (x,y)→(x0 ,y0 ) Twierdzenie Je»eli funkcje f i g wtedy i tylko wtedy, gdy f (x, y) = f (x0 , y0 ). s¡ ci¡gªe w punkcie f + g, f · g, f (o g równie» s¡ ci¡gªe w tym punkcie. 9 (x0 , y0 ), ile g 6= 0) to tak»e funkcje