docZestaw 09
download 
Reklamacja Transkrypt
Zestaw 09
Fizyka dla Informatyki Stosowanej Zestaw nr 9 ~ r) dla jednorodnego pola B ~ ma postać A ~ = 1. Pokazać, że potencjal wektorowy A(~ ~ , gdzie B ~ = const. Dodatkowo sprawdzić, czy ∇ · A ~ = 0. − 12 ~r × B 2. Spinowy (“wlasny”) dipolowy moment magnetyczny protonu wynosi mprot ≈ 1.4 ×10−26 Cm2 /s. Zakladajac, że proton jest jednorodnie objetościowo naladowanaι ι ι kulkaι o calkowitym ladunku Q i promieniu R, która obraca sieι wokól wlasnej osi symetrii z predkości aι katow aι ω i dlatego ma wypadkowy dipolowy moment magι ι liniowaι punktów na “równiku” kulki. netyczny m = 51 ω Q R2 , policzyć predkość ι Przyjać ace wartości: ι nastepuj ι ι R= 1.4 ×10−15 m (promień protonu), Q= 1.6 ×10−19 C (ladunek protonu). 3. Dwie metalowe, równolegle i pionowo ustawione szyny saι zwarte opornikiem R. Szyny polaczono także ruchomaι poprzeczka,ι która może sieι poruszać bez tarcia, nie ι tracac szynami wynosi l, masa poprzeczki ι kontaktu z szynami. Odleglość pomiedzy ι ~ skierowato m. Szyny znajdujaι sieι w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B nym prostopadle do plaszczyzny ukladu. Podać równanie różniczkowe na polożenie spadajacej poprzeczki. ι R g B l 4. Z równań Maxwella m ~ = 1 ρ ∇·E ǫ0 ~ =0 ∇·B ~ ~ = − ∂B ∇×E ∂t ~ ∂E ∂t wyprowadzić równanie ciag ι lości (prawo zachowania ladunku) ~ = µ0 J~ + µ0 ǫ0 ∇×B ∂ρ = 0. ∇ · J~ + ∂t 5. Pokazać, że rozwiazaniem jednowymiarowego równania falowego ι 1 ∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t) = ∂x2 v2 ∂t2 jest dowolna kombinacja liniowa c1 f1 (x − vt) + c2 f2 (x + vt), gdzie funkcje f1 (z) i f2 (z) saι dwukrotnie różniczkowalne. Jaki jest sens fizyczny obu skladników ? 6. Równanie falowe w trzech wymiarach ma postać: 1 ∂ 2 u(x, t) ∆u(~x, t) = 2 . v ∂t2 Jaki musi być zwiazek wielkościami ω, ~k i v, by u(~x, t) = f (~k · ~x − ωt) , (~k 6= 0) ι bylo rozwiazaniem tego równania ? Zakladamy, że funkcja jednej zmiennej f (z) jest ι ∂2 ∂2 ∂2 dwukrotnie różniczkowalna. Operator Laplace’a (laplasjan) ∆ = ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 . 7. Wyrażajac sferycznych ι laplasjan we wspólrzednych ι x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ , z = r cos θ gdzie r ≥ 0, 0 < θ < π, 0 < φ < 2π, dostajemy 1 ∂ ∆u = 2 r ∂r r 2 ∂u ∂r ! 1 ∂ + 2 r sin θ ∂θ ∂u sin θ ∂θ ! ∂ 2u 1 + 2 2 . r sin θ ∂φ2 Pokazać, że wstawiajac ι teι postać operatora Laplace’a do trójwymiarowego równania falowego, możemy zapisać rozwiazania niezależne od θ i φ w postaci c1 1r f1 (r − vt) + ι c2 1r f2 (r + vt), gdzie funkcje f1 (z) i f2 (z) saι dwukrotnie różniczkowalne. Jaki jest sens fizyczny obu skladników ? 8. Poczatek struny znajduje sieι w punkcie x = 0, a koniec w punkcie x = L. Struna jest ι unieruchomiona na obu końcach. Ogólna forma fali stojacej jest dana wyrażeniem ι u(x, t) = A(x) cos(ωt + φ ). (1) Wiedzac, że jest to rozwiazanie równania falowego z predkości fazowaι v, znaleźć ι ι ι ω . dopuszczalne przez warunki brzegowe czestotliwości drgań struny ν = 2π ι 9. Sila T0 napinajaca stalowaι struneι pianina w polożeniu równowagi wynosi 443.8 N. ι Struna ma dlugość L = 64 cm, średniceι d= 0.08 cm i jest zbudowana ze stali o gestości (objetościowej !) ρ = 7.85 cmg 3 . Znaleźć predkość rozchodzenia sieι fali w ι ι ι strunie oraz (korzystajac ι z wyników zadania poprzedniego) najniższaι czestotliwość ι drgań wlasnych struny. Jacek Golak
