Nakładanie się i interferencja fal.

Nakładanie się i interferencja fal
15.
15-1
Nakładanie się i interferencja fal
Weźmy pod uwagę falę jednowymiarową biegnącą w kierunku osi x
ψ 1 ( x, t ) = A ⋅ sin(kx − ωt )
oraz taką samą falę biegnącą w kierunku przeciwnym
ψ 2 ( x, t ) = A ⋅ sin(kx + ωt ) .
W wyniku superpozycji (nałożenia się) fal otrzymujemy falę wypadkową
ψ = ψ 1 + ψ 2 = A ⋅ (sin( kx − ωt ) + sin(kx + ωt )) .
Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów
sin α + sin β = 2 sin
i ostatecznie
kx ) ⋅ cos(ωt )
ψ ( x, t ) = 2#A$sin(
"$! #"!
amplituda
drgan z
czestoscia ω
α+β
α−β
cos
2
2
Nakładanie się i interferencja fal
15-2
Amplituda drgań wypadkowych zależy od położenia x – inaczej niż dla
fali biegnącej – zmieniając się od zera do 2A.
Drgania odbywające się w różnych miejscach różnią się fazą o π lub
wcale.
Tego rodzaju ruch w ośrodku nazywa się falą stojącą.
Kwadrat amplitudy fali stojącej jest proporcjonalny do energii drgań
elementów ośrodka.
Miejsca zerowe sin(kx ) = 0 , o zerowej amplitudzie drgań, nazywają się
węzłami fali stojącej.
Miejsca ekstremów sin(kx ) = ±1 , o maksymalnej amplitudzie drgań,
nazywają się strzałkami fali stojącej.
Nakładanie się i interferencja fal
15-3
Sąsiednie strzałki (lub węzły) fali stojącej dzieli odległość
∆x =
λ
.
2
Dudnienia
Jeżeli nakładające się fale różnią się nieco długością
sin( k1 x + ω1t ) + sin( k2 x + ω 2t ) ,
to w yniku nałożenia otrzymujemy:
ω − ω2 
ω + ω2 
k +k
k −k
2 sin 1 2 x + 1
t  ⋅ cos 1 2 x + 1
t
2
2
 2
 2


2#sin(
k$
⋅"
x +$∆$
⋅!
t ) ⋅ cos(
k"
⋅ x$
+ω
t)
ω$
$$
#$∆$
$⋅!
wolnozmienna amplituda
drgan o czestosci ω
Kiedy ∆k = ∆ω = 0 to mamy do czynienia z interferencją.
Nakładanie się i interferencja fal
15-4
Interferencja fal na płaszczyźnie
Fala kolista ze źródła punktowego ma postać:
r
A ⋅ sin(kr − ωt ) = A ⋅ sin 2π ( − νt ) .
λ
W punktach (a,0) i (–a,0) są źródła punktowe fal kolistych z1 i z2:
r
z1 = A ⋅ sin 2π ( 1 − νt )
λ
z2 = A ⋅ sin 2π (
r2
− νt ) .
λ
Wypadkowy ruch w ośrodku jest sumą drgań wywołanych przez każdą
z fal z osobna
z = z1 + z2
r −r
r +r
z = 2 A ⋅ cos 2π ( 1 2 ) ⋅ sin 2π ( 1 2 − νt )
2λ$
2λ$$$
#$$
$"$$
! #$$
$"
!
amplituda wypadkowa
drgan o czestotliwosci ν
Jeżeli r1 − r2 = ( n + 12 ) λ , to amplituda drgań wypadkowych jest równa
zero.
Jeżeli r1 − r2 = nλ , to amplituda drgań wypadkowych jest maksymalna.
Nakładanie się i interferencja fal
15-5
Równanie r1 − r2 = const jest równaniem hiperboli o ogniskach w (a,0)
i (–a,0).
Równania hiperbol, wzdłuż których występują maksima amplitudy drgań
wypadkowych wyglądają następująco:
r1 − r2 = nλ
n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,...
( x + a ) 2 + y 2 − ( x − a ) 2 + y 2 = nλ
1 2 2 16a 2 x 2
y=±
n λ + 2 2 − 4( a 2 + x 2 )
2
n λ
Dla n = 0 otrzymujemy równanie osi y.
Nakładanie się i interferencja fal
15-6
W dużych odległościach od źródeł, tzn. dla r1 , r2 >> l , mamy
∆r = nλ ≈ l cosα albo lim cosα =
r→∞
nλ
l
π
kierunek głównego maksimum
2
λ 
cosα1 =
l 

2λ 
cosα 2 =
 maksima interferencyjne rzędu n
l 
3λ 
cosα 3 =
l 
α0 =
Kąty α n określają zarazem kierunki asymptot hiperbol.
W tych kierunkach, w wyniku interferencji, rozchodzi się fala o
maksymalnej amplitudzie.
Wprowadźmy różnicę faz między źródłami fal. Wtedy
ϕ
r1 − r2 ϕ 0
r +r
− ) ⋅ sin( 1 2 − νt + 0 )
2λ
2
2λ
2
r −r
Warunkim na maksimum amplitudy jest 1 2 − ϕ 0 = n , i dla n = 0
λ
λ
cosα 0 = ϕ 0 , czyli zmienia się kierunek, w którym występuje
l
z = z1 + z2 = 2 A ⋅ cos 2π (
maksimum interferencyjne amplitudy fali.