Wzór całkowy Fouriera

Wzór całkowy Fouriera
Warunki Dirichleta
Mówimy, że funkcja f spełnia na przedziale (a, b) pierwszy warunek Dirichleta, jeżeli jest ograniczona na tym przedziale i jeżeli można go podzielić
na skończoną liczbę podprzedziałów, na których funkcja f jest monotoniczna.
Mówimy, że funkcja f spełnia na przedziale (a, b) drugi warunek Dirichleta,
jeżeli jest ona ciągła na tym przedziale za wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzalu oraz w każdym punkcie
nieciągłości spełniony jest warunek
1
(f (x− ) + f (x+ )) .
2
f (x) =
Twierdzenie Fouriera - wzór całkowy Fouriera
Niech funkcja f określona na przedziale (−∞, ∞) będzie na tym przedziale
bezwzględnie całkowalna, czyli, że spełnia warunek
Z∞
|f (x)| dx < ∞∗
−∞
oraz niech ponadto spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta na każdym
ograniczonym przedziale [−l, l], gdzie l > 0. Wtedy funkcję f można dla
każdego x ∈ R przedstawić wzorem
(∗)
f (x) =
Z∞
[a(ω) cos ωx + b(ω) sin ωx] dω
0
gdzie funkcje a(ω) i b(ω) określone są wzorami
1
a(ω) =
π
Z∞
1
b(ω) =
π
f (u) cos ωu du,
−∞
Z∞
f (u) sin ωu du,
−∞
π
Całkę po prawej stronie równości we wzorze (ast) nazywamy
oraz ω =
l
całką Fouriera funkcji f.
∗
Z∞
−∞
Przy czym całkę niewłaściwą rozumiemy tu w sensie tzw. wartości głównej, tj.
f (x) dx = lim
ZT
T →∞
−T
f (x) dx
1
Uwaga. Szereg trygonometryczny Fouriera i całka Fouriera stanowią klasyczny aparat matematyczny, stosowany do analizy przebiegów elektrycznych. Wzór całkowy Fouriera spełnia taką samą rolę dla funkcji nieokresowej jak szereg Fouriera dla funkcji okresowej i ma również podobną budowę
z tym, że znak sumy zastąpiono znakiem całki. Zamiast współczynników
Fouriera an , bn mamy we wzorze całkowym funkcje ciągłe a(ω) i b(ω).
Współczynniki widma ciągłego
Funkcje a(ω) i b(ω) nazywamy współczynnikami widma ciągłego lub widmem rzeczywistym funkcji f.
Rozwinięcie funkcji f w szereg Fouriera można traktować jako przedstawienie ruchu okresowego w postaci sumy harmonicznych o częstotliwościach
całkowitych. Z kolei całkę Fouriera funkcji f można traktować jako rozkład procesu opisanego funkcją na drgania harmoniczne o częstotliwości ω
zmieniającej się w sposób ciągły.
Cosinusowy wzór całkowy Fouriera
Jeżeli funkcja f jest funkcją parzystą, to
b(ω) = 0,
2
a(ω) =
π
Z∞
f (u) cos ωu du
0
i wzór całkowy Fouriera ma postać
f (x) =
Z∞
a(ω) cosωx dω
0
Sinusowy wzór całkowy Fouriera
Podobnie, jeżeli funkcja f jest funkcją nieparzystą, to
a(ω) = 0,
2
b(ω) =
π
Z∞
f (u) sin ωu du
0
i wzór całkowy Fouriera ma postać
f (x) =
Z∞
b(ω) sinωx dω
0
2
Niekiedy zachodzi potrzeba przedstawienia za pomocą całki Fouriera takiej funkcji, która jest określona tylko dla dodatnich wartości argumentu.
Zakładając, że funkcja f jest bezwzględnie całkowalna na przedziale [0, ∞)
oraz, że spełnia ona warunki Dirichleta na każdym przedziale (a, b), gdzie
0 ¬ a < b, to można ją w dowolny sposób przedłużyć na przedział (−∞, 0),
a tym samym można ją przedstawić za pomocą różnych całek Fouriera.
Zwykle funkcję f przedstawiamy za pomocą całek zawierających same cosinusy lub same sinusy.
Postać zespolona wzoru całkowego Fouriera
Wykorzystując wzory Eulera oraz tożsamości trygonomertyczne możemy
wzór
∞
f (x) =
Z
[a(ω) cos ωx + b(ω) sin ωx] dω
0
przekształcić do postaci równoważnej
1
f (x) =
2π
Z∞
iωx
e
dω
−∞
Z∞
f (u)e−iωu du.
−∞
Wzór ten nazywamy zespoloną całką Fouriera funkcji f . Wzór ten wyraża
związek między wartością funkcji f w dowolnie obranym punkcie x, a wartościami tej funkcji we wszystkich punktach przedziału (−∞, ∞).
Uwaga. Wzory całkowe Fouriera można z powodzeniem stosować do wyznaczania niektórych całek niewłaściwych.
Przekształcenie Fouriera
Transformata Fouriera
Niech funkcja f spełnia założenia twierdzenia Fouriera. Przekształcenie
dane wzorem
∞
fˆ(ω) =
Z
f (u)e−iωu du,
−∞
przyporządkowujące funkcji f zmiennej rzeczywsitej t funkcję zespoloną fˆ
zmiennej rzeczywistej ω nazywamy przekształceniem Fouriera funkcji f .
Funkcję fˆ związaaną z funkcją f transformatą nazywamy F-transformatą
Fouriera funkcji f i zapisujemy symbolicznie F {f (t)} = fˆ(ω).
3
Funkcjami F- transformowalnymi są wszystkie funkcji bwzwzględnie całkowalne na prostej. Funkcje okresowe np. sin czy cos nie mają transformat Fouriera, ponieważ ich całki niewłaściwe są rozbieżne. Również funkcje: 1, x,
et , e−t , wielomiany, funkcje hiperboliczne nie są F-transformowlane. Przekształcenie Fouriera można stosować do funkcji określonych w przedziałach
ograniczonych albo do funkcji, które w nieskończoności dążą dostatecznie
szybko do 0, tak aby całka we wzorze definicyjnym była zbieżna. W wielu
zagadnieniach praktycznych warunki te są spełnione.
Odwrotne przekształcenie Fouriera
Na podstawie zespolonej całki Fouriera
f (t) =
1
2π
Z∞
eiωt dω
−∞
Z∞
f (u)e−iωu du
−∞
mamy
1
f (t) =
2π
Z∞
eiωt fˆ(ω) dω
−∞
Zatem możemy wyznaczyć funkcję f , gdy znana jest jej transformata Fouriera. Przekształcenie to nazywamy odwrtoną transformatą Fouriera.
Własności przekształcenia Fouriera
W podanych poniżej własnościach transformaty Fouriera będzie zakładać,
że występujące tu funkcje spełniają założenia twierdzenia Fouriera. Funkcje
takie będziemy nazywali oryginałami.
Liniowość
F {f (t) + g(t)} = F {f (t)} + F {g(t)} ,
F {cf (t)} = cF {f (t)} , c ∈ R
Przesunięcie argumentów oryginału
F {f (t − t0 )} = e−iωt0 F {f (t)} .
Różniczkowanie obrazu
(−i)n F {tn f (t)} = fˆ(n) (ω), k = 1, 2, . . .
4
Transformata
n-tej pochodnej oryginału
Jeżeli funkcja f i jej pochodne f (k) dla k = 1, 2, . . . , n są oryginałami oraz
lim f (k) (t) = lim f (k) (t) = 0 dla k = 0, 1, 2, . . . , n,
t→−∞
t→∞
to
n
o
F f (n) (t) = (iω)n F {f (t)} .
W szczególności
n
′
o
F f (t) = iωF {f (t)} .
Całkowanie oryginału
Zt
Jeżeli funkcja f oraz jej całka ϕ(t) =
f (τ ) dτ , gdzie t0 ∈ R są bezwzględ-
t0
nie całkowalne na prostej oraz
lim ϕ(t) = lim ϕ(t) = 0,
t→−∞
to
F
 t
Z
t→∞
f (τ ) dτ,




t0
=
1
F {f (t)} .
iω
Splot funkcji
Splotem funkcji f , g na prostej R lub splotem dwustronnym nazwamy funkcję określoną wzorem
Z∞
f (τ )g(t − τ ) dτ
−∞
i oznaczamy symbolem f (t) ∗ g(t). Zatem
f (t) ∗ g(t) =
Z∞
f (τ )g(t − τ ) dτ.
−∞
5
Własności splotu
f (t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f (t);
f (t) ∗ [g(t) + h(t)] = f (t) ∗ g(t) + f (t) ∗ h(t);
[f (t) ∗ g(t)] ∗ h(t) = f (t) ∗ [g(t) ∗ h(t)]
[cf (t)] ∗ g(t) = c [f (t) ∗ g(t)] .
Transformata splotu
Jeżeli funkcje f , g są oryginałami, a ponadto ich splot jest bwzwzględnie
całkowalny, to
F {f (t) ∗ g(t)} = F {f (t)} · F {g(t)} .
6