Prof. P. Domanski Program wyk ladu Szeregi i Ca lki Fouriera w roku

Prof. P. Domański
Program wykÃladu Szeregi i CaÃlki Fouriera w roku 2012
1.
1.
2.
3.
4.
5.
Dystrybucje jako uogólnienie pojȩcia funkcji
Pojȩcie “funkcji punktowej” a rzeczywistość fizyczna;
Przestrzeń funkcji próbnych D(Ω);
Cia̧gÃlość dystrybucji i ich ścisÃla definicja;
PrzykÃlady dystrybucji;
Po co dystrybucje?
2. Rachunek dystrybucji
1. Zbieżność dystrybucji (sÃlaba) i twierdzenie o gȩstości;
2. Wprowadzanie operacji na dystrybucjach poprzez zgodność z operacjami na
funkcjach, przesuwanie dystrybucji;
3. Pojȩcie “równości sprzȩżonej”, różniczkowanie dystrybucji i ich mnożenie przez
funkcje;
4. Pochodna dystrybucji – wÃlasności i relacja do pochodnej funkcji;
5. PrzykÃlady (rozwia̧zanie dystrybucyjne równania struny drgaja̧cej i rozwia̧zanie
fundamentalne równania Laplace’a);
3.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Transformata Fouriera
Szereg Fouriera a transformata Fouriera;
Klasa funkcji Schwartza S(Rn );
WÃlasności transformaty Fouriera na klasie Schwartza;
Splot;
Transformata Fouriera funkcji Gaussa;
Twierdzenie o transformacie odwrotnej na S i tożsamość Plancherela;
1
4.
1.
2.
3.
4.
5.
Transformata Fouriera dystrybucji temperowanych
Potrzeba wprowadzenia dystrybucji temperowanych;
Cia̧gÃlość na przestrzeni S i ścisÃla definicja dystrybucji temperowanej;
Definicja transformaty Fouriera dystrybucji temperowanej;
PrzykÃlady transformat Fouriera dystrybucji, wÃlasności;
Splot dystrybucji temperowanej z funkcja̧, wÃlasności i przykÃlady;
5.
1.
2.
3.
4.
Zastosowania dystrybucji i transformaty Fouriera
Rozwia̧zanie fundamentalne równania Laplace’a;
Rozwia̧zanie fundamentalne równania przewodnictwa cieplnego;
Rozwia̧zanie fundamentalne równania falowego;
Rozwia̧zanie fundamentalne równania Schrödingera;
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Struktura dystrybucji i przestrzenie dystrybucji
Pojȩcia nośnika i nośnika singularnego;
Dystrybucje o zwartym nośniku;
Twierdzenie o postaci dystrybucji;
Dowód twierdzenia o gȩstości D w przestrzeni dystrybucji;
Rza̧d dystrybucji i dystrybucje dodatnie;
Teoria lokalna dystrybucji;
Dystrybucje na sferze;
7. Analiza Fourierowska
1. Lemat Riemanna-Lebesgue’a;
2. Twierdzenie Paleya-Wienera;
Literatura
1. R. Strichartz, A Guide to Distribution Theory
Znakomita, nowoczesna ksia̧żka da̧ża̧ca szybko do sedna sprawy i usiÃluja̧ca
2
pokazać, że da siȩ stosunkowo wcześnie w karierze studenckiej uczyć teorii dystrybucji. Napisana w stylu tzw. calculusa amerykańskiego. Nie jest to typowy
podrȩcznik akademicki bo np. ścisÃla definicja dystrybucji pojawia siȩ wiele rozdziaÃlów
po tym jak dystrybucje sa̧ używane. W dowodach raczej szkic idei. Zawiera wiele
ćwiczeń. Bȩdzie stanowić podstawȩ wykÃladu i ćwiczeń.
2. J. Musielak, Wstȩp do analizy funkcjonalnej, rozdziaÃl o dystrybucjach
Akademicki kurs teorii dystrybucji oparty o wykÃlad analizy funkcjonalnej. Dowody
bardzo szczegóÃlowe i staranne. Zawiera nieliczne ćwiczenia.
3. L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, tom I
Teoria dystrybucji razem z jej bardzo zaawansowanymi rozdziaÃlami napisana
z punktu widzenia teorii równań różniczkowych cza̧stkowych. Trudna ksia̧żka
(dowody wymagaja̧ rozpracowania), bez ćwiczeń.
4. W. Rudin, Functional Analysis, rozdziaÃl poświȩcony teorii dystrybucji (dostȩpne
jest także tÃlumaczenie rosyjskie)
Kurs oparty na wykÃladzie analizy funkcjonalnej. Zawiera ćwiczenia.
3