Matematyka finansowa - zestaw 2 - 2

Matematyka finansowa - zestaw 2 - 2-16 XI 2016
Zmienna stopa procentowa i inflacja.
Zadanie 1. Wyznaczyć przeciętną roczną stopę procentową, jeżeli w kolejnych latach
roczna stopa procentowa wynosiła: 4%, 6%, 7%, 3%, 4%.
Zadanie 2. W banku stosującym kapitalizację kwartalną roczna stopa procentowa ulegała zmianom i w kolejnych latach wynosiła: 6%, 8%, 6%. Wyznaczyć przeciętną stopę
kwartalną i przyszłą wartość kapitału 2500 jp.
Zadanie 3. Przeciętna miesięczna stopa procentowa dla okresu 4 lat i 8 miesięcy wynosi
1%. Wyznaczyć nominalną roczną stopę procentową obowiązującą w pierwszym roku,
jeśli w drugim roku roczna stopa procentowa wynosiła 10%, przez następne 1,5 roku 11%, a potem już do końca trwania lokaty - 14%.
Zadanie 4. W banku, stosującym kapitalizację miesięczną przy zmiennej stopie procentowej, wartość lokaty 3500 PLN po upływie 2,5 lat wzrosła do kwoty 4720 PLN. W
tym okresie miesięczna stopa procentowa zmieniała się 3 razy. Przez pierwsze pół roku
wynosiła 0, 9%, a w ostatnich pięciu kwartałach 1, 1%. Wyznaczyć przeciętną miesięczną
stopę procentową oraz roczną stopę procentową obowiązującą w drugim okresie.
Zadanie 5. W pewnym banku w ciągu 5 lat roczna stopa procentowa zmieniała się 3
razy i wynosiła: w pierwszym półroczu 20%, a przez następne 2,5 roku 24%. W tym
czasie wartość pewnego kapitału potroiła się przy kapitalizacji półrocznej.
a) Wyznaczyć przeciętną stopę procentową oraz roczną stopę procentową obowiązującą
w trzecim okresie trwania lokaty.
b) Po jakim czasie wartość nominalna kapitału wzrośnie o połowę przy kapitalizacji ciągłej
i rocznej stopie procentowej równej tyle, ile przeciętna kwartalna stopa procentowa w
pierwszej części zadania.
Zadanie 6. Kapitał 1000 PLN umieszczono na lokacie o kapitalizacji półrocznej ze
stopą procentową roczną 20%. Inflacja roczna wynosiła 10%. Czy poniższe rozumowania,
mające na celu obliczenie realnej wartości kapitału po roku są poprawne? Dlaczego? Jak
należy to poprawnie policzyć?
Rozumowanie 1: Efektywna roczna nominalna stopa procentowa na danej lokacie wynosi:
𝑟𝑛𝑜𝑚,𝑟 = (1, 1)2 − 1 = 0, 21. Korzystając ze wzoru Fishera otrzymujemy realną roczną
−𝑖
stopę procentową na lokacie 𝑟𝑟𝑒,𝑟 = 𝑟𝑛𝑜𝑚,𝑟
= 0,11
= 0, 1. Wobec tego liczymy już
1+𝑖
1,1
teraz tylko na wartościach realnych: jako, że kapitalizacja na koncie była półroczna, więc
musimy uzgodnić stopy: 0, 1 rocznie to 0, 05 półrocznie. Ostatecznie po roku realna
wartość kapitału wyniesie: 1000(1, 05)2 = 1102, 5 PLN.
Rozumowanie 2: Ze wzoru Fishera na realną roczną stopę procentową otrzymujemy:
−𝑖
𝑟𝑟𝑒 = 𝑟𝑛𝑜𝑚,𝑟
= 0,1
= 0, 0909. Odtąd, na wartościach realnych: realna względna
1+𝑖
1,1
półroczna stopa procentowa wynosi: 𝑟𝑝,𝑟𝑒 = 𝑟2𝑟𝑒 = 0, 0455. Zatem po roku realna wartość
kapitału wyniesie: 𝐾1 = 1000(1, 0455)2 = 1093, 0703.
Zadanie 7. Płaca pracownika w pierwszym półroczu roku 2040 wynosiła 800 jp miesięcznie
i była indeksowana co kwartał wskaźnikiem wzrostu płac równym 0, 75 stopy inflacji z
poprzedniego półrocza. W kolejnych półroczach półroczna stopa inflacji była równa
odpowiednio: 10%, 7%, 6%, 7%. Wyznaczyć:
a) miesięczną nominalną płacę pracownika w pierwszym półroczu 2042 roku, b) dwuletnią
stopę inflacji w latach 2040-2041, c) przeciętną kwartalną stopę inflacji w tym samym
czasie, d) realną stopę wzrostu płacy pracownika w ciągu dwóch lat.
Zadanie 8. Roczna stopa oprocentowania lokaty wynosi 24% i bank stosuje miesięczną
kapitalizację złożoną z dołu. Jaka jest realna roczna stopa procentowa zysku z tej lokaty,
jeżeli kwartalna stopa inflacji w poszczególnych kwartałach była równa odpowiednio:
7%, 7%, 6%, 7%.
Zadanie 9. W ciągu 3 lat półroczna stopa inflacji wynosiła w kolejnych półroczach:
4%, 2%, 4%, 3%, 3%, 4%. Wyznaczyć przeciętną roczną stopę inflacji. Wyznaczyć realną
1
2
roczną stopę procentową zysku z 3-letniej lokaty oraz wartość realną kapitału złożonego
na lokacie po 3 latach, jeśli wpłacono do banku 1500 jp i kapitalizacja jest złożona
kwartalna z roczną stopą procentową 0, 12.
Zadanie 10. W pewnym banku w ciągu 2,5 roku kapitalizacja zmieniała się następująco:
przez pierwsze pół roku była kwartalna ze stopą roczną 8%, następne pół roku - ciągła ze
stopą 9%, a przez następne półtora roku - miesięczna z roczną stopą 18%. W tym czasie
inflacja kształtowała się następująco: w pierwszym roku wynosiła 4% (rocznie), następnie następnie 1% miesięcznie przez pół roki, a przez kolejne cztery kwartały wynosiła
3%, 2%, 1% i 1% (kwartalnie). Jaką kwotę wpłacono do banku na początku, jeśli jej
wartość realna po 2,5 roku wynosiła 20000 PLN?
UWAGA! W kolejnych zadaniach przyjmujemy założenie, że stopa inflacji jest
równa stopie wzrostu ceny danego dobra.
Zadanie 11. Rok temu za kwotę K można było kupić 30 kg srebra. Gdyby wpłacono ją
do banku, w którym kapitalizacja jest złożona, miesięczna z dołu ze stopą 12% rocznie
to po wybraniu jej dziś, można byłoby kupić 32 kg srebra. Wyznaczyć roczną stopę
inflacji. Przyjmując, że inflacja za pierwszy kwartał wynosi 0, 5% (kwartalnie), a w
drugim kwartale 1% (kwartalnie), wyznaczyć stopę inflacji w drugim półroczu.
Zadanie 12. Restauracja na początku pewnego roku mogła za kwotę K kupić 120 nowych
krzeseł. Jednakże, wpłaciła tę kwotę do banku, w którym obowiązywała kapitalizacja
kwartalna z dołu z nominalną stopą procentową roczną 𝑟. Dzięki temu po roku mogła
kupić za kwotę wybraną z lokaty 132 nowe krzesła. Miesięczne stopy inflacji w tym roku
wyniosły kolejno: 1%, 1%, 1%, 1, 5%,
0, 5%, 0, 5%, 0, 5%, 0, 5%, 1%, 2%, 2%, 1, 5%. Obliczyć:
a) przeciętną półroczną stopę inflacji;
b) realną roczną stopę procentową;
c) nominalną roczną stopę 𝑟, obowiązującą na lokacie;
d) jak powinna się zmienić stopa nominalna w tym banku, aby przy przejściu na
kapitalizację ciągłą zachować tę samą atrakcyjność oprocentowania.
Zadanie 13. Realna wartość kapitału złożonego na lokacie po dwu latach wyniosła 2356
j.p. Lokatę założono w banku z roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją półroczną.
W tym czasie kwartalna stopa inflacji w kolejnych kwartałach wynosiła odpowiednio:
5%, 4, 5%, 5%, 4%, 5%, 4%, 5%, 4%. Jaką kwotę wpłacono do banku? Ile wynosiła
przeciętna roczna stopa inflacji?
Zadanie 14. W pewnym banku w ciągu 5 lat i 3 miesięcy wartość pewnego kapitału
podwoiła się przy kapitalizacji kwartalnej. Roczna stopa procentowa wynosiła: przez
pierwszy rok 10%, a przez ostatnie 2,5 roku 15%, a pomiędzy tymi przedziałami czasowymi była stała. Wyznaczyć przeciętną roczną stopę procentową oraz roczną stopę
procentową obowiązującą w drugim roku trwania lokaty.
Zadanie 15. W pewnym roku kwartalne stopy inflacji w 3 pierwszych kwartałach
wynosiły kolejno: 2%, 3%, 2%. W tym samym roku złożono kapitał na lokacie z kapitalizacją miesięczną i roczną stopą procentową 12%. Wiedząc, że wartość realna tego kapitału wzrosła w tym roku o 5%, obliczyć roczną stopę inflacji oraz przeciętną miesięczną
stopę inflacji w ostatnim kwartale roku.
Dobrej zabawy!
Grzesiek Kosiorowski