Matematyka finansowa - zestaw 2 - 26 X

Matematyka finansowa - zestaw 2 - 26 X-9 XI 2016
Zmienna stopa procentowa i inflacja.
Zadanie 1. Wyznaczyć przeciętną roczną stopę procentową, jeżeli w kolejnych latach
roczna stopa procentowa wynosiła: 7%, 8%, 9%, 9%, 8%.
Zadanie 2. W banku stosującym kapitalizację półroczną roczna stopa procentowa ulegała zmianom i w kolejnych latach wynosiła: 10%, 9%, 10%. Wyznaczyć przeciętną stopę
półroczną i przyszłą wartość kapitału 2000 jp.
Zadanie 3. Przeciętna kwartalna stopa procentowa dla okresu 3,5 roku wynosi 2, 5%.
Wyznaczyć nominalną roczną stopę procentową obowiązującą w pierwszym roku, jeśli w
drugim roku nominalna roczna stopa procentowa wynosiła 8%, przez następne 3 kwartały
- 9%, a w pozostałym okresie czasu - 11%.
Zadanie 4. W banku, stosującym kapitalizację miesięczną przy zmiennej stopie procentowej, wartość lokaty 3500 PLN po upływie 2,5 lat wzrosła do kwoty 4720 PLN. W
tym okresie miesięczna stopa procentowa zmieniała się 3 razy. Przez pierwsze pół roku
wynosiła 0, 9%, a w ostatnich pięciu kwartałach 1, 1%. Wyznaczyć przeciętną miesięczną
stopę procentową oraz roczną stopę procentową obowiązującą w drugim okresie.
Zadanie 5. W pewnym banku w ciągu 4,5 lat roczna stopa procentowa zmieniała się
3 razy i wynosiła: w pierwszym półroczu 16%, a przez następne 1,5 roku 14%. W tym
czasie wartość pewnego kapitału podwoiła się przy kapitalizacji kwartalnej.
a) Wyznaczyć przeciętną stopę procentową oraz roczną stopę procentową obowiązującą
w trzecim okresie trwania lokaty.
b) Po jakim czasie wartość kapitału wzrośnie o 32 przy kapitalizacji ciągłej i rocznej stopie
procentowej równej przeciętnej kwartalnej stopie procentowej z pierwszej części zadania.
Zadanie 6. Kapitał 1000 PLN umieszczono na lokacie o kapitalizacji półrocznej ze
stopą procentową roczną 20%. Inflacja roczna wynosiła 10%. Czy poniższe rozumowania,
mające na celu obliczenie realnej wartości kapitału po roku są poprawne? Dlaczego? Jak
należy to poprawnie policzyć?
Rozumowanie 1: Efektywna roczna nominalna stopa procentowa na danej lokacie wynosi:
𝑟𝑛𝑜𝑚,𝑟 = (1, 1)2 − 1 = 0, 21. Korzystając ze wzoru Fishera otrzymujemy realną roczną
−𝑖
stopę procentową na lokacie 𝑟𝑟𝑒,𝑟 = 𝑟𝑛𝑜𝑚,𝑟
= 0,11
= 0, 1. Wobec tego liczymy już
1+𝑖
1,1
teraz tylko na wartościach realnych: jako, że kapitalizacja na koncie była półroczna, więc
musimy uzgodnić stopy: 0, 1 rocznie to 0, 05 półrocznie. Ostatecznie po roku realna
wartość kapitału wyniesie: 1000(1, 05)2 = 1102, 5 PLN.
Rozumowanie 2: Ze wzoru Fishera na realną roczną stopę procentową otrzymujemy:
−𝑖
𝑟𝑟𝑒 = 𝑟𝑛𝑜𝑚,𝑟
= 0,1
= 0, 0909. Odtąd, na wartościach realnych: realna względna
1+𝑖
1,1
półroczna stopa procentowa wynosi: 𝑟𝑝,𝑟𝑒 = 𝑟2𝑟𝑒 = 0, 0455. Zatem po roku realna wartość
kapitału wyniesie: 𝐾1 = 1000(1, 0455)2 = 1093, 0703.
Zadanie 7. Płaca pracownika w I kwartale pewnego roku wynosiła 700 jp miesięcznie
i była indeksowana co kwartał wskaźnikiem wzrostu płac równym 0, 8 stopy inflacji z
poprzedniego kwartału. W kolejnych kwartałach roku kwartalna stopa inflacji była równa
odpowiednio: 5%, 7%, 6%, 4%. Wyznaczyć:
a) nominalną płacę pracownika w I kwartale następnego roku, b) roczną stopę inflacji,
c) przeciętną kwartalną stopę inflacji, d) realną stopę wzrostu płacy pracownika w ciągu
roku.
Zadanie 8. Roczna stopa oprocentowania lokaty wynosi 20% i bank stosuje kwartalną
kapitalizację złożoną z dołu. Jaka jest realna roczna stopa procentowa zysku z tej lokaty,
jeżeli kwartalna stopa inflacji w poszczególnych kwartałach była równa odpowiednio:
7%, 5%, 4%, 5%.
Zadanie 9. W ciągu 2 lat kwartalna stopa inflacji wynosiła w kolejnych kwartałach:
4%, 2%, 4%, 3%, 3%, 4%, 4%, 3%. Wyznaczyć przeciętną roczną stopę inflacji. Wyznaczyć
realną roczną stopę procentową zysku z 2-letniej lokaty oraz wartość realną kapitału
1
2
złożonego na lokacie po 2 latach, jeśli wpłacono do banku 2000 jp i kapitalizacja jest
złożona półroczna z roczną stopą procentową 0,18.
Zadanie 10. W pewnym banku w ciągu 2 lat kapitalizacja zmieniała się następująco:
przez pierwszy rok była ciągła ze stopą 10%, przez następne pół roku - miesięczna z
roczną stopą 8%, a przez ostatnie pół roku - kwartalna ze stopą roczną 12%. W tym
czasie inflacja kształtowała się następująco: przez pierwsze dwa kwartały wynosiła 1%
i 2% (kwartalnie), przez następne półrocze 3, 5% (półrocznie), a w ostatnim roku 6%
(rocznie). Jaką kwotę wpłacono do banku na początku, jeśli jej wartość realna po 2
latach wynosiła 4531,20 PLN?
UWAGA! W kolejnych zadaniach przyjmujemy założenie, że stopa inflacji jest
równa stopie wzrostu ceny danego dobra.
Zadanie 11. Rok temu za kwotę K można było kupić 40 rowerów. Gdyby wpłacono ją
do banku, w którym kapitalizacja jest złożona, półroczna z dołu ze stopą 12% rocznie to
po wybraniu jej dziś, można byłoby kupić 42 rowery. Wyznaczyć roczną stopę inflacji.
Przyjmując, że inflacja za pierwsze półrocze wynosi 2%, podać inflację w drugim półroczu.
Zadanie 12. Miesięczne stopy inflacji w pewnym roku wyniosły kolejno: 1%, 1%, 1%, 0, 5%,
0, 5%, 0, 5%, 0, 5%, 0, 5%, 1%, 1, 5%, 1, 5%, 1, 5%. Firma budowlana na początku tego roku
mogła za kwotę K kupić 120 ton cementu. Jednakże, wpłaciła tę kwotę do banku,
w którym obowiązywała kapitalizacja kwartalna z dołu z nominalną stopą procentową
roczną 𝑟. Dzięki temu po roku mogła kupić za kwotę wybraną z lokaty 126 ton cementu.
Obliczyć:
a) przeciętną kwartalną stopę inflacji;
b) realną roczną stopę procentową;
c) nominalną roczną stopę 𝑟;
d) jak powinna się zmienić stopa nominalna w tym banku, aby przy przejściu na
kapitalizację ciągłą zachować tę samą atrakcyjność oprocentowania.
Zadanie 13. Realna wartość kapitału złożonego na lokacie po 3 latach wyniosła 2400
j.p. Lokatę założono w banku z roczną stopą procentową 10% i kapitalizacją kwartalną.
W tym czasie półroczna stopa inflacji w kolejnych półroczach wynosiła odpowiednio: 5%,
4, 5%, 5%, 4%, 3%, 4%. Jaką kwotę wpłacono do banku? Ile wynosiła przeciętna roczna
stopa inflacji?
Zadanie 14. Wartość realna kapitału wpłaconego na lokatę, na której obowiązywała kapitalizacja miesięczna z roczną stopą procentową 24% w ciągu 4 lat podwoiła się. W kolejnych siedmiu półroczach obowiązywania lokaty inflacja (półroczna) wynosiła odpowiednio: 3%, 3, 5%, 3%, 4%, 5%, 4%, 3%. Ile wyniosła inflacja w ostatnim półroczu? Ile
wynosiła przeciętna roczna stopa inflacji w trakcie trwania lokaty?
Zadanie 15. W pewnym roku, inflacja miesięczna w pierwszych trzech miesiącach
wynosiła 2% (na każdy miesiąc). W ciągu kolejnego półrocza, inflacja półroczna wyniosła
10%. Na początku tego roku złożono kapitał 10000 PLN na lokacie z kapitalizacją dwumiesięczną i roczną stopą procentową 42%. Wiedząc, że wartość realna kapitału na lokacie
na koniec roku wyniosła 1220 PLN, obliczyć roczną stopę inflacji i przeciętną miesięczną
stopę inflacji w ostatnim kwartale roku.
Dobrej zabawy!
Grzesiek Kosiorowski