Ćwiczenia 4 / 5 - Matematyka dla ciekawych świata
Transkrypt
Ćwiczenia 4 / 5 - Matematyka dla ciekawych świata
Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 – rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura jako funkcję s(t) i oblicz pochodną s0 (t). 1. Eksperyment Galileusza (a) Galileusz badając ruch ciała na równi pochyłej doświadczalnie stwierdził, że jeśli oznaczymy położenia ciała w równo oddalonych chwilach czasu, to ciąg otrzymanych długości ma się do siebie jak 1 : 3 : 5 : ... (kolejne liczby nieparzyste). Podaj wzór na położenie ciała w n-tej chwili. (b) Rozszerzając ten wzór dla dowolnej liczby rzeczywistej, policz prędkość i przyspieszenie ciała. Przypomnijmy, że jeśli s(t) to położenie w chwili t, to prędkość v(t) równa jest pochodnej s0 (t), zaś przyspieszenie to pochodna v 0 (t). a 3a 5a 7a 2. Ruch prostoliniowy Prostoliniowy ruch punktu opisany jest równaniem s(t) = 10 + 20t − 5t2 . Wyznacz prędkość oraz przyspieszenie jako funkcje od czasu. Ile wynosi prędkość i przyspieszenie w momencie t = 2? 3. Domowy ruch prostoliniowy (*) Prostoliniowy ruch punktu opisany jest równaniem s(t) = A + Bt + Ct2 . Wyznacz prędkość oraz przyspieszenie jako funkcje od czasu. Dla jakich wartości parametrów A, B i C funkcja s(t) opisuje ruch taki, że dla t = 0 ciało znajduje się w położeniu s = 1, ma prędkość 2, zaś przyspieszenie równe 4? 4. Ruch po okręgu (a) Funkcja p : R → R2 zadana jest wzorem: p(t) = (cos t, sin t). Pokaż, że jest to krzywa parametryczna opisująca okrąg oraz, że jeśli t potraktujemy jako czas to opisuje ona ruch ze stałą prędkością kątową o okresie 2π. (b) Wektor styczny do krzywej r(t) = (x(t), y(t)) w punkcie t0 definiujemy jako r0 (t0 ) = [x0 (t), y 0 (t)]. Narysuj wektory styczne do krzywej p(t) w t = 0, t = π, t = π/2, t = π/4 oraz dla dowolnego t. Wyjaśnij nazwę „wektor styczny”. najpierw oznaczamy miejsce, w którym ciało zaczęło swój ruch 5. Rzut kamieniem (***) Napisz równanie funkcji p : R → R2 opisującej ruch punktu materialnego rzuconego w pionowej płaszczyźnie OXY pod kątem α do poziomu (opór powietrza zaniedbaj). Wyznaczyć prędkość v : R → R2 , v = p0 i przyspieszenie a : R → R2 , a = v 0 . Ile wynosi maksymalna prędkość i zasięg rzutu? 6. Ulubione twierdzenie studentów Podaj przykład funkcji f (x) i punktu x0 , dla których f 0 (x0 ) = 0, ale funkcja f nie ma w punkcie x0 ekstremum. Czy często spotykane w pracach studentów twierdzenie: „ponieważ f 0 (x0 ) = 0, to w x0 funkcja f ma ekstremum” jest prawdziwe, czy fałszywe? 6’. Ekstrema (a) Wyraź pole prostokąta S o obwodzie O jako funkcję długości jednego z jego boków a. (b) Naszkicuj wykres funkcji S(a). (c) Jaki prostokąt o obwodzie O ma największe pole? 1. Miasto Novigrad leży 100km na północ od Oxenfurtu. Z Novigradu na południe wypływa statek z prędkością 20km/h, zaś z Oxenfurtu na zachód barka z prędkością 10km/h. Jaka jest najmniejsza odległość między tymi jednostkami? 2. Dobowe koszty pływania statku składając się z dwóch części: stałej, równej a złotych i zmiennej, wprost proporcjonalnej do sześcianu szybkości. Jaka szybkość statku jest najbardziej ekonomiczna? 3. Znaleźć stożek o tworzącej 1, który ma największą objętość. 4. Dla ustalonego p znaleźć odległość punktu P = (p, p) od paraboli y 2 = 2px (to znaczy najmniejszą wartość wyrażenia d(P, A), gdzie A jest dowolnym punktem paraboli, zaś d(P, A) to odległość między P oraz A). 2 2 5. W elipsę x22 + y32 = 1 wpisz prostokąt o największym polu, którego boki są równoległe do osi elipsy. ostatnie zadanie wymaga(?) umiejętności różniczkowania pierwiastków 7. Wzór stycznej Styczna do wykresu funkcji f przechodząca przez punkt (x0 , f (x0 )) (x0 ) zadana jest wzorem: y−f = f 0 (x0 ) x−x0 (a) Podaj wzór stycznej w postaci y = ax + b do wykresu funkcji f przechodzącej przez punkt (x0 , f (x0 )) dla poniższych f i x0 : √ (i) f (x) = 3 x, x0 = 1 (ii) f (x) = sin x, x0 = π6 (iii) f (x) = ln x, x0 = 1 √ (b) Oblicz przybliżoną wartość 3 1, 02, sin 29o , ln 1, 1. 2 gdybyśmy chcieli poprawić przybliżenie, powinniśmy skorzystać z tzw. wzoru Taylora Całkowanie 8. Znowu pole (**) (a) Oblicz całkę oznaczoną R 2π 0 sin2 x. (może przydać się wzór sin2 x + cos2 x = 1) (b) W polskich kontaktach płynie prąd zmienny, którego napięcie jest zadane wzorem U (t) = Umax sin(ωt), gdzie Umax to natężenie maksymalne, q zaś ω/(2π) to RT U 2 (t) dt, częstotliwość. Napięcie skuteczne wyraża się wzorem Usk = T1 0 gdzie T to odwrotność częstotliwości, czyli okres. Wiedząc, że napięcie skuteczne wynosi 230V , oblicz napięcie maksymalne. 9. Funkcja pierwotna Definicja Funkcja pierwotna funkcji f (x) to taka funkcja F (x), że F 0 (x) = f (x). Twierdzenie Jeśli F 0 (x) ≡ 0 (czyli F 0 to funkcja tożsamościowo równa zero), to F (x) jest funkcją stałą. Wywnioskuj z twierdzenia powyżej, że jeśli F (x) i G(x) są funkcjami pierwotnymi funkcji f (x), to istnieje liczba rzeczywista C taka, że G(x) = F (x) + C. Pokaż, że zbiór funkcji pierwotnych funkcji x to { 21 x2 + C : C ∈ R}. 10. Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego Twierdzenie Jeśli F (x) = Rx f (t) dt, to F jest funkcją pierwotną funkcji f (czyli F 0 (x) = f (x)). 0 Rb f (x) dx = b a F (b) − F (a) (to ostatnie wyrażenie zapisujemy czasem jako F (x) ). (a) Pokaż, że dla dowolnej F (x) funkcji pierwotnej f (x) zachodzi: a 11. Całka nieoznaczona Zbiór funkcji pierwotnych f , to znaczy funkcji F , które speł0 Rniają równanie F (x) = f (x) nazywamy całką nieoznaczoną f (x) i oznaczamy f (x) dx. R Przykład: x dx = 12 x2 + C (nawiasy klamrowe są zwyczajowo omijane). R (a) Oblicz całkę xn dx dla dowolnego n. (b) Oblicz pole obszaru zawartego pomiędzy krzywą y = x3 a prostą y = x. 12. Całki z wielomianów Oblicz: R (a) 2x + 1 dx R (b) x2 − 3x dx R (c) (5 − x)(2 − x) dx R (d) (3 − x2 )3 dx R (e) x2 (6 − x) dx R (f) (6 − x)2 x 3 13. Pochodne i całki (**) (a) Dla wielomianu P (x) obliczyć pochodną ex (P (x) − P 0 (x) + P 00 (x) − ...). (b) Podaj wzór na całkę z P (x)ex . R (c) Obliczyć całkę x3 ex dx. 4 Zadania ponadprogramowe Obliczanie pochodnych Pochodne funkcji elementarnych Wiedząc, że: • (xα )0 = αxα−1 dla dowolnej liczby rzeczywistej α • (sin x)0 = cos x i (cos x)0 = − sin x • (ex )0 = ex i (ln x)0 = 1 x oraz wykorzystując własności arytmetyczne pochodnych oblicz pochodne funkcji: (a) f (x) = (b) f (x) = 1 + 2x12 x sin x x 2 + 1 3x3 (c) f (x) = (2 − x ) cos x + 2x sin x (d) f (x) = sin 2x − 2 cos x (e) f (x) = ex (x2 − 2x + 2) (f) f (x) = x ln x (g) f (x) = ln x2 (h) f (x) = log2 x3 Pochodne funkcji złożonych (a) Ze wzoru na pochodną iloczynu oblicz pochodną funkcji (f (x))2 . Wyprowadź i udowodnij (indukcyjnie) wzór na pochodną (f (x))n dla dowolnego n naturalnego. (b) Jeśli f i g są różniczkowalne, zaś h(x) = f (g(x)), to h0 (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x). Dla 1 dowolnej funkcji f (x) podaj wzór na pochodną funkcji f (x) . Wyprowadź z tego wzór na pochodną ilorazu f (x) . g(x) (c) Oblicz pochodne: (i) (ii) (iii) (iv) (v) y y y y y 2 = e−x = cos 2x − 2 sin x = sin[sin(sin x)] = sin(cos2 x) · cos(sin2 x) √ = ln(x + x2 + 1) (d) Wykorzystując fakt, że x = eln x dla dowolnego x > 0 oraz własności logarytmu, udowodnij wzór na pochodną xα . Wzory na pochodną Obliczyć y 0 korzystając ze wzorów (w tablicach, Wikipedii...): 5 (a) y = 2x 1−x2 (b) y = 1+x−x2 1−x+x2 x 2 (c) y = e (x − 2x + 2) (d) y = log3 x2 (e) y = 12 ln(1 + x) − 41 ln(1 + x2 ) − 1 2(1+x) (f) y = arcsin x2 √ (g) y = arccos 1−x 2 2 (h) y = arctg xa √ √ (i) y = x − arctg x √ (j) y = x + 1 − x2 · arccos x Zastosowania pochodnych Badanie przebiegu zmienności funkcji Wyznacz przedziały monotoniczności i naszkicuj wykresy następujących funkcji: (a) y = 2 + x − x2 (b) y = 3x − x3 (c) y = 2x−1 x2 (d) y = x + sin x (e) y = x5 e−x Przy ostatnim punkcie odpowiedz na pytanie: dla jakich n naturalnych en > n5 ? 0 Twierdzenie Fermata Twierdzenie Jeśli pochodna f (x0 ) jest dodatnia (ujemna) to funkcja f w pewnym otoczeniu x0 jest rosnąca (malejąca). Wywnioskuj z tego twierdzenia, że jeśli w punkcie x0 funkcja ma ekstremum, to f 0 (x0 ) = 0. Podaj przykład, że zdanie odwrotne nie jest prawdziwe. Styczne 1. W jakich punktach krzywej y = 2 + x − x2 styczna jest: a) równoległa do osi OX; b) równoległa do dwusiecznej kąta utworzonego przez dodatnie półosie układu współrzędnych? 2. Udowodnij, że parabola y = a(x − x1 )(x − x2 )(a 6= 0, x1 < x2 ) przecina oś OX pod kątami α i βtakimi, że α = −β. 3. Na krzywej y = 2 sin x wskaż te jej części, których nachylenie jest większe od 1. 4. Pod jakimi kątami przecinają się krzywe y = x2 i x = y 2 ? 6 to nie jest to twierdzenie, o którym myślisz ;) 5. Pod jakimi kątami przecinają się krzywe y = sin x i y = cos x? 6. Pokaż, że styczna do spirali logarytmicznej r = aemφ i prosta zawierająca promień wodzący punktu styczności przecinają się pod stałym kątem. 7. Dowieść, że dla astroidy x2/3 + y 2/3 = a2/3 długość odcinka stycznej zawartego między osiami współrzędnych jest stała. 8. Pokaż, że rodziny hiperbol x2 − y 2 = a i xy = b tworzą ortogonalną siatkę, tj. krzywe tych rodzin przecinają się pod kątem prostym. Nierówności Udowodnij nierówności: (a) ex > 1 + x dla x 6= 0 (b) 2 x π < sin x < x dla 0 < x < π/2 (c) x − x2 2 < ln(1 + x) < x dla x > 0 (d) x − x3 < sin x < x dla x > 0 6 Podaj interpretację geometryczną w dwóch pierwszych punktach. Nierówności - c.d. (a) Udowodnij, że (xa + y a )1/a > (xb + y b )1/b dla x > 0, y > 0 i 0 < a < b. (b) nierówność Cauchy’ego (c) średnia arytmetyczna nie przekracza średniej kwadratowej s s −s jest funkcją rosnącą zmiennej s (d) średnia rzędu s: a +b 2 Definicja pochodnej Przypomnijmy formalną definicję pochodnej: f (x0 + h) − f (x0 ) . h→0 h f 0 (x0 ) = lim Definicja pochodnej Obliczyć (z definicji) (a) f 0 (1), f 0 (2) i f 0 (3), jeżeli f (x) = (x − 1)(x − 2)2 (x − 3)3 . (b) f 0 (2), jeżeli f (x) = x2 sin(x − 2) 12. (Nie)parzystość Udowodnij, że pochodna funkcji parzystej jest nieparzysta, a pochodna funkcji nieparzystej jest parzysta. 13. Okresowość Udowodnij, że pochodna funkcji okresowej jest funkcją okresową. Całki 7 Całka Riemanna Oblicz następujące całki Riemanna: R1 (a) 0 2 dx R1 (b) 0 x dx R1 (c) 0 2 + x dx Całkowanie przez podstawienie Jeśli g(x) = f (y(x)) to zachodzi równość: R f (y(x)) y 0 (x)dx. R g(y) dy = Przykład: dla y(x) = 2x + 1 (a zatem y 0 (x) = 2) mamy Z Z Z 1 1 2 2 2(2x + 1) dx = (2x + 1) 2dx = (y 2 ) dy = y 3 = (2x + 1)2 . 3 3 Oblicz: R R (a) sin 2x dx, cos 2x dx R R (b) e2x dx, 2x dx R√ (c) x + 1 dx 8