Lista 1. e) x+2\x\ <1 \x\ / 1

Lista 1.
Zadanie 1.1
Zaznaczy na prostej zbiory tych punktw x, ktre speniaj ponisze warunki:
a) jx ; 1j =2 b) jx+1j = ;1 c) jx ; 3j < 2 d) jx+2j > 1
e) jx ; 3j 2 f) j2x+1j < 5 g) j2x+3j 2 h) j2 ; 4xj > 1:
Zadanie 1.2
Korzystajc z geometrycznej interpretacji wartoci bezwzgldnej, rozwiza nierwnoci:
a) jx ; 2j < 3 b) j2x+4j 6 c) jx ; 5j jx+2j d) jx ; 1j jx+2j:
Zadanie 1.3
Rozwiza rwnania i nierwnoci:
a) jx ; 2j + jxj = j2x ; 7j b) jx ; 1j; 2jxj +x+7=0 c) 3jx ; 1j;j2x ; 1j = 1:
e) x+2jxj 1
f) jxj;xj2j > 1.
d) jx1 j < 2
Zadanie 1.4
Napisa wzr funkcji liniowej, ktrej wykres:
(a) przechodzi przez punkty A(2 1) B(1;1),
(b) przechodzi przez punkt A(1 0) i tworzy z osi Ox kt 30 ,
(c) przechodzi przez punkt A(1 0) i tworzy z osi Oy kt 30 .
Zadanie 1.5
Narysowa wykresy funkcji:
a) f(x) = 3 ; 2x
b) f(x) = j3 ; 2xj
c) f(x) = 3 ; 2jxj
d) f(x) = p
jx ; 2j + jx+2j e) f(x) = 2 ; 3pjx ; 3j
f) f(x) = jj2x+1j ; 2j
p
2
2
g) f(x) = x +6x+9 h) f(x) = 2x ; x ; 6x+9. i) f(x) = jx ; 2j; x2 ; 6x+9.
Zadanie 1.6
Sprowadzi nastpujce wyraenia do prostszej postaci, zakadajc, e x y przyjmuj wartoci, dla ktrych dane wyraenie jest okrelone:
1 ;px x;4 y p
b)
c)
a) p3 xx ;
p
3
; y
1; x
x;2
Zadanie 1.7
Wykona dziaania:
3x ; 2 ; 6x b) p 3 + p1 ; x : p 3 +1
a) x ;8x9x3 + x+3x
2 (1 ; 3x)2
1+x
1 ; x2
Zadanie 1.8
p 2 12
Znale ten wyraz rozwinicia dwumianu 3 x+ x , w ktrym nie wystpuje x.
1
Zadanie 1.9
p p 24
Znale wyrazy rozwinicia dwumianu 5 3+ 7 2 , ktre s liczbami naturalnymi.
Zadanie 1.10
Wykorzystujc wzr Newtona obliczy:
n n n
n n
a) 0 + 1 + 2 + + n ; 1 + n n n
n
n n
n
n
;1
n
;2
b) 0 2 + 1 2 + 2 2 + + n ; 1 2+ n c) n0 ; n1 + n2 ; + n ;n 1 +(;1)n nn n n n :
d) n0 2n ; n1 2n;1 + n2 2n;2 ; +(;1)n;1 n ;
2+(
;
1)
1
n
Zadanie 1.11
Znale trjmian kwadratowy y = ax2+bx+c , wiedzc, e do jego wykresu naley
punkt A(3 0) i e dla x=1 przyjmuje on warto maksymaln rwn 12.
Zadanie 1.12
Dla jakiej wartoci parametru m kade z rwna:
(i) mx2 ; 3x+m = 0 ,
(ii) (4m+1)x2 ; (4m ; 1)x+m ; 1 = 0 ,
(iii) x2 +mx ; m2 ; m ; 2 = 0
ma:
a) tylko jedno rozwizanie,
b) dwa rozwizania rnych znakw,
c) dwa rozwizania dodatnie,
d) dwa rozwizania, ktre s sinusem i kosinusem tego samego kta?
Zadanie 1.13
Okreli ilo rozwiza rwnania w zalenoci od parametru m:
a) jx2 ; x ; 6j = m b) j3x2 ; 1j +2x ; m = 0 c) jx2 +2x ; 3j =m+1:
Lista 2.
Zadanie 2.1
a) Wyznaczy wspczynniki a i b wielomianu W(x) = x4 ; 3x3 +x2 +ax+b
tak, aby przy dzieleniu go przez wielomian Q(x) = x2 ; 2x+2 reszta bya
rwna: 0 1 x.
b) Nie wykonujc dzielenia, wyznaczy reszt z dzielenia:
(i) wielomianu W(x) = 2x2001 ; 3x117 +5x+2 przez wielomian Q(x) = x2 ; 1
(ii) wielomianu W(x) = 2x21 ;32x11 ;8x;2 przez wielomian Q(x) = x2 ;x;2:
2
Zadanie 2.2
Rozwiza rwnania i nierwnoci:
a) x4 ; 1=0
b) x3 ; 2x2 +2x ; 1=0 c) 9x4 ; 10x2 +1=0
4
2
d) x ; 12x +32 < 0 e) x4 ; 12x2 +36 0 f) jx4 ; 1j < 3x2 +3.
Zadanie 2.3
Rozwiza rwnania i nierwnoci:
p
p
p
p
a) x+ 10x+6=9 b) 2x+1+ x ; 3=2 x c) p2 2 = x1 x+ px ; x
p
p
1
d) x < x e) x ; 6 ; 10 ; x 1
f) x < x2 +x ; 2.
Zadanie 2.4
Naszkicowa wykresy funkcji:
a) f(x)=2 ; 3x b) f(x)=2 ; 3jxj c) f(x)= j2 ; 3x j d) f(x)=2 ; 3x;1 .
Zadanie 2.5
Rozwiza rwnania i nierwnoci:
p
a) x; 34 = 81 b) x; 23 = 42 e) x;1 x;2 f) x2 x;2 .
Zadanie 2.6
Rozwiza rwnania i nierwnoci:
q p
q p
x
3x
x
;2
x
+1
x
x
x
a) 2 7 = 4 b) 8 +18 ; 2 27 = 0 c) ( 2 ; 3) +( 2+ 3)x = 4.
d) 22x+4 ; 4x > 15 e) 0 < 3x2;x;6 1
f) 2x1; 1 > 1 ;12x;1 :
Zadanie 2.7
Obliczy:
a) log2p2 18 b) log9 tg 3 c) log2 3 log3 4 log127 128 d) 22 logp2 3 .
Zadanie 2.8
Nie korzystajc z tablic logarytmw, uporzdkowa wedug wielkoci podane liczby:
log3 6 log4 8 log3 5.
Zadanie 2.9
Sporzdzi wykresy funkcji:
a) f(x) = log (x ; 3) b) f(x) = 2 ; log (x ; 3) c) f(x) = j log(x ; 3) ; 2j
Zadanie 2.10
Rozwiza
p rwnania
p i nierwnoci:
a) log x ; 5+log 2x+3+1 = log 30 b) log4 (log2 x)+log2 (log4 x) = 2
d) log 51 (log4 (x2 ; 5)) > 0
c) log 12 jx ; 1j < 2
3
Lista 3.
Zadanie 3.1
Wyznaczy okres podstawowy funkcji:
f(x) = sin x3 f(x) = sin x f(x) = cos 23x f(x) = tg x3 f(x) = sin x f(x) =
ctg x3 :
Zadanie 3.2
Narysowa wykresy i okreli zbir wartoci funkcji:
c) f(x) = 2 sin x2 ; 1
a) f(x) = cos (x+ 3 ) b) f(x) = sin 2x
d) f(x)=sin jxj
e) f(x)= j sin x+cos xj f) f(x)= j sin xj + j cos xj
g) f(x)=sin x ;j sin xj.
Zadanie 3.3
Obliczy bez uycia tablic:
a) sin 12 cos 18 +sin 18 cos 12 b) (sin 15 +sin 75)(cos 75 ; cos 15 )
Zadanie 3.4
Udowodni tosamoci:
a) sin 2x ; tg x=cos2x tg x b) 4 sin4 x+sin2 2x=4 sin2 x
x+ctg x =1+sin x d)
1
c) cos ctg
x
1+tg x tg 2x =cos 2x:
Zadanie 3.5
Rozwiza rwnania:
p 2
3(x)=ctg(x)
a) 2 cos2(x)=3
cos(x)+2
b)
ctg
c)
2
p
p
p
p 3 sin (x)=cos x
d) sin(x)+ 3 cos(x)= 3 e) sin(x)+ 3cos(x)=0 f) 3 sin(x) ; cos(x)=2.
Zadanie 3.6
Rozwiza
nierwnoci:
p
p
a) 3tg x ; 1 < 0 b) j cos x ; 12 j < 1 c) sin x ; 3 cos x > 1
p
2
d) j sin xj > 22 e) 1 ; tg3 x 0 f) sin xj sin xj 12 .
Zadanie 3.7
Obliczy:
p !
p
1
3
a) arcsin ; 2 b) arcsin 2 c) arccos ; 23 d) arccos sin 5
3
p
e) arc tg ; p1 f) arc tg ; 3
g) sin(arcsin 1)
h) sin(arccos 1)
3
17 i) sin(arccos 0) j) arcsin sin 3 k) arccos sin 3 l) arc tg ctg 3 .
4
Zadanie 3.8
Okreli dziedziny naturalne i zbiory wartoci podanych funkcji:
p
p
a) f(x) = sin x b) g(x) = 1 + 1cos x c) h(x) = 1 + cos x
3
d) f(x) = xx ;;11 e) q(x) = (log3 (1 + jxj)) f) q(x) = (log3(1 ; x));1 .
Lista 4.
Zadanie 4.1
Uzasadni, e:
(i) rodki bokw dowolnego czworokta s wierzchokami rwnolegoboku
(ii) ze rodkowych trjkta mona utworzy trjkt.
Zadanie 4.2
Sprawdzi, e punkty A(-2,1)B(-1,-4)C(2,-1)D(1,4) s wierzchokami rwnolegoboku. Znale wsprzdne punktu przecicia przektnych.
Zadanie 4.3 ;!
Wektory ;!
a b ;!
c o dugoci 1 speniaj warunek ;!
a + ;!
b + ;!
c = ;!
0 . Obliczy
;
!
;
!
;!
;
!
;
!
;
!
a b + b c + a c.
Zadanie 4.4 ;!
Wektory ;!
a b tworz kt 23 oraz j;!
b j = j2;!
a j. Dla jakiej staej c wektory ;!
a +c;!
b
;
!
;
!
oraz a ; b s prostopade.
Zadanie 4.5 ;!
Wektory ;!
a b s prostopade i maj dugo 1. Znale kt midzy wektorami
;!
;
!
u = 6 a + 4;!
b i;!
w = 2;!
a + 10;!
b.
Zadanie 4.6
Znale kt midzy wektorami:
(i);!
a = 2 ;2] oraz;!
b = 3 3]
;
!
(ii) a = ;4 3] oraz ;!
b = 1 3]
;
!
;
!
;
!
(iii) c = 4 a + b oraz ;!
d = ;0:25;!
a + 0:75;!
b , gdzie ;!
a = ;4 2], ;!
b = 2 1].
Zadanie 4.7
Dane s wektory ;!
a = 1 3] oraz ;!
b = ;2 1].Znale wektor ;!
u prostopady do
;
!
;!
;
!
a i taki, e b u = 7.
5
Zadanie* 4.8
Znale rzut prostopady :
(i) wektora ;!
a = 2 3] na wektor ;!
b = 4 3]
;
!
;
!
(ii)wektora b na wektor a .
Zadanie 4.9
;!
;! p
Obliczy
p pole rwnolegoboku wyznaczonego przez wektory a = 3 1], b =
; 3 1].
Zadanie* 4.10
Uzasadni, e rwnanie prostej prostopadej do wektora A ,B], gdzie A2 +B 2 > 0
ma posta Ax + By + c = 0.
Zadanie* 4.11
Napisa rwnanie symetralnej odcinka AB, gdzie A(1,2), B(-1,3)
oraz prostopadej do tej symetralnej przechodzcej przez punkt M(4,1).
Zadanie* 4.12
Dla jakich wartoci parametru a proste (3a + 2)x + (1 ; 4a)y + 8 = 0 i (5a ; 2)x +
(a + 4)y ; 7 = 0 s
(i) rwnolege
(ii) prostopade.
Zadanie* 4.13
Wyznaczy kt midzy prostymi
2x + 5y ; 15 = 0 oraz ;3x + 7y + 8 = 0.
Napisa rwnanie dwusiecznej kta midzy prostymi.
Zadanie 4.14
Obliczy odlego punktu A(3,-5) od prostej 2x ; 3y + 2 = 0:
Zadanie* 4.15
Wyznaczy rwnanie stycznej do okrgu x2 ; 6x+y2 +8y = 0 przechodzcej przez
punkt M(7,-1).
Zadanie* 4.16
p
Okrg o promieniu 2 2 jest styczny do prostych x ; y = 3 oraz x + y = 5. Wyznaczy wsprzdne rodka tego okrgu. Ile rozwiza ma zadanie ?.
6
Zadanie* 4.17
Okrg przechodzi przez punkt M(-3,1) i jest styczny do obu osi ukadu wsprzdnych. Znale rwnanie okrgu.
Lista 5.
Zadanie 5.1
Obliczy dugoci podanych wektorw:
;p p p a) ~a = (3 ;4 12) b) ~b = 3 ; 5 2 2 c) ~c = (% cos ' % sin ' h), gdzie % 0 oraz ' h 2 R
d) ~d = (% cos ' cos % sin ' cos % sin ), gdzie % 0 oraz ' 2 R.
Zadanie 5.2
Wektory ~a, ~b tworz dwa ssiednie boki trjkta. Wyrazi rodkowe tego trjkta
przez wektory ~a, ~b .
Zadanie 5.3
Znale wersor ~u , ktry:
a) ley w paszczynie xOy i tworzy kt z dodatni czci osi Ox
b) tworzy z dodatnimi czciami osi Ox, Oy, Oz odpowiednio kty , , c) tworzy jednakowe kty z wektorami ~a = (0 3 ;4), ~b = (8 6 0) i jest pooony
w paszczynie wyznaczonej przez te wektory.
Zadanie 5.4
Obliczy iloczyny skalarne podanych par wektorw:
a) ~a = (1 ;2 5) ~b = (3 ;1 0)
b) ~u = 3~i ; 2~k ~v = ;~i + 3~j + 7~k c*) ~x = ~p + 2~q ; ~r , ~y = 3~p ; ~q + 2~r , gdzie ~p , ~q , ~r s wersorami parami prostopadymi.
Zadanie 5.5
Korzystajc z iloczynu skalarnego obliczy miary podanych ktw:
a) midzy wektorami ~a = (;3 0 4) ~b = (0 1 ;2)
b) midzy dwusiecznymi ktw utworzonych przez osie Ox, Oy oraz osie Oy, Oz
ukadu Oxyz
c) midzy przektnymi rwnolegocianu rozpitego na wektorach ~u = (1 2 3),
~v = (;1 0 2), w
~ = (3 1 5):
Zadanie 5.6
;p p p Obliczy
dugo
rzutu
prostoktnego
wektora
~a =
2 3 ; 5 na wektor
~b = ;;p8 0 p5.
7
Zadanie 5.7
Obliczy iloczyny wektorowe podanych par wektorw:
a) ~a = (;3 2 0) ~b = (1 5 ;2) b) ~u = 2~i ; 3~k ~v = ~i + ~j ; 4~k c*) ~x = 2~p + ~q + ~r , ~y = ~p + 3~q + 4~r , gdzie ~p , ~q , ~r s parami prostopadymi
wersorami o orientacji zgodnej z orientacj ukadu wsprzdnych.
Zadanie 5.8
Obliczy pola podanych powierzchni:
a) rwnolegobok rozpity na wektorach ~a = (1 2 3), ~b = (0 ;2 5)
b) trjkt o wierzchokach A = (1 ;1 3), B = (0 2 ;3), C = (2 2 1)
c) czworocian rozpity na wektorach ~u , ~v , w
~.
Zadanie 5.9
;!
;!
Trjkt ABC rozpity jest na wektorach AB= (1 5 ;3), AC= (;1 0 4): Obliczy
wysoko tego trjkta opuszczon z wierzchoka C:
Zadanie 5.10
Obliczy iloczyny mieszane podanych trjek wektorw:
a) ~a = (;3 2 1) ~b = (0 1 ;5) ~c = (2 3 ;4)
b) ~u = ~i + ~j ~v = 2~i ; 3~j + ~k w
~ = ;~i + 2~j ; 5~k :
Zadanie 5.11
Obliczy objtoci podanych wielocianw:
a) rwnolegocian rozpity na wektorach ~a = (0 0 1), ~b = (;1 2 3), ~c =
(2 5 ;1)
b) czworocian o wierzchokach A = (1 1 1), B = (1 2 3), C = (2 3 ;1), D =
(;1 3 5)
c*) rwnolegocian o przektnych ~u , ~v , ~w :
Lista 6.
Zadanie 6.1
Sprawdzi, czy
a) wektory ~a = (;1 3 ;5) ~b = (1 ;1 1) ~c = (4 ;2 0) s wsppaszczyznowe
b) punkty P = (0 0 0), Q = (;1 2 3), R = (2 3 ;4), S = (2 ;1 5) s wsppaszczyznowe.
Zadanie 6.2
Napisa rwnania oglne i parametryczne paszczyzn speniajcych podane warunki:
a) paszczyzna przechodzi przez punkt P = (1 ;2 0) i jest prostopada do wektora ~n = (0 ;3 2)
8
b) paszczyzna przechodzi przez punkty P1 = (0 0 0), P2 = (1 2 3), P3 =
(;1 ;3 5)
c) paszczyzna przechodzi przez punkty P1 = (1 ;3 4), P2 = (2 0 ;1) oraz jest
prostopada do paszczyzny xOz
d) paszczyzna przechodzi przez punkt P = (1 ;1 3) oraz jest rwnolega do
wektorw ~a = (1 1 0), ~b = (0 1 1)
e) paszczyzna przechodzi przez punkt P = (0 3 0) i jest rwnolega do paszczyzny : 3x ; y + 2 = 0
f) paszczyzna przechodzi przez punkt P = (2 1 ;3) i jest prostopada do paszczyzn 1 : x + y = 0, 2 : y ; z = 0:
Zadanie 6.3
Napisa rwnania parametryczne i kierunkowe prostych speniajcych podane warunki:
a) prosta przechodzi przez punkt P = (;3 5 2) i jest rwnolega do wektora
~v = (2 ;1 3)
b) prosta przechodzi przez punkty P1 = (1 0 6), P2 = (;2 2 4)
c) prosta przechodzi przez punkt P = (0 ;2 3) i jest prostopada do paszczyzny
: 3x ; y + 2z ; 6 = 0
d) prosta przechodzi punkt P = (7 2 0) i jest prostopada o wektorw ~v 1 =
(2 0 ;3), ~v 2 = (;1 2 0)
e) prosta jest dwusieczn kta ostrego utworzonego przez proste
l1 : x +3 2 = y;;14 = z5 , l2 : x +1 2 = y;;54 = 3z f*) prosta jest dwusieczn kta ostrego utworzonego przez proste
l1 : x ;2 1 = y;+11 = z ;2 2 , l2 : x +4 6 = y;;31 = z;+1229 :
Zadanie 6.4
Zbada, czy
a) punkty A = (1 2 3), B = 8
(;1 ;2 0) nale do prostej
< x = 1 + t
l : : y = 2 + 2t gdzie t 2 R
z = 3 ; t
+y ;z+3= 0
b) prosta m : 2x
x ; 2y + z ; 5 = 0 jest zawarta w paszczynie
: 5y ; 3z + 13 = 0
c) punkty A = (0 1 5), B8= (1 2 3) nale do paszczyzny
< x = ;1 + s + t
: : y = 2 + 3s ; t gdzie s t 2 R
z = 3 ; s + 2t
9
d) proste l1 : x;+21 = y ;1 3 = z;+84 , l2 : x1 = y ;1 1 = z ;2 2 maj punkt
wsplny 8
< x = t
e) prosta l : : y = 1 + 2t gdzie t 2 R jest rwnolega do paszczyzny
z = 2 + 3t
: x + y ; z + 3 = 0:
Zadanie 6.5
Znale punkty przecicia:
x
+
2y
;
z
+
4
=
0
2x ; y ; 2z + 8 = 0
a) prostych l1 :
y + z ; 3 = 0 l2 : x + 2y + 2z ; 5 = 0
b) prostej l : x ;0 1 = y +3 2 = z;;14 i paszczyzny
8
< x = s + t
: : y = 1 + s + 2t gdzie s t 2 R
z = 3 + 2s + 4t
c) paszczyzn 1 : 3x + y + z + 1 = 0, 2 : x + 2z + 6 = 0, 3 : 3y + 2z = 0:
Zadanie 6.6
Zbada, czy punkty P = (1 ;2 2) i Q = (;2 4 3) le po tej samej stronie
podanych paszczyzn:
a) : 2x + 3z ; 7 = 0 b) : x ; 2y + 3z + 13 = 0:
Zadanie 6.7
Obliczy odlego:
a) punktu P = (1 ;2 3) od paszczyzny : x + y ; 3z + 5 = 0
b) paszczyzn rwnolegych 1 : 2x + y ; 2z = 0, 2 : 2x + y ; 2z ; 3 = 0
c) paszczyzn 1 : x ; 2y + 2z + 5 = 0, 2 : 3x ; 6y + 6z ; 3 = 0
d) punktu P = (0 1 ;1) od prostej l : x2 = ;y1 = z3 e) prostych rwnolegych l1 : x ;1 1 = y +2 1 = ;z1 , l2 : ;x2 = y;;41 = z ;2 3 x
=
0
1
f) prostych skonych l1 : y = 0 l2 : xz == 1
g) prostych l1 : x ;4 9 = y;;32 = z1 , l2 : ;x2 = y +9 7 = z ;2 2 8
< x = 2 + t
h) prostej l : : y = ;3 + 2t gdzie t 2 R od paszczyzny : 2x + y + 4z = 0:
z = 2 ; t
10
Lista 7.
Zadania
Zadanie 7.1
Obliczy miar kta midzy:
a) prost l : x ;2 3 = y ;0 1 = z;+32 i paszczyzn : x ; z = 0
b) paszczyznami81 : x ; 2y + 3z ; 5 = 0, 2 : 2x +8y ; z + 3 = 0
< x = 1 ; t
< x = 3 ; 2t
c) prostymi l1 : : y = ;2 + t gdzie t 2 R, l2 : : y = 4 ; t gdzie t 2 R:
z = 3t
z = 1 + 3t
Zadanie 7.2
Znale rzut prostoktny:
a) punktu P = (;3 2 0) na paszczyzn : x + y + z = 0
b) punktu P = (;1 2 0) na prost l : x = y = z
c) prostej l : x ;1 3 = y ;2 5 = z +0 1 na paszczyzn : x + 3y ; 2z ; 6 = 0:
Zadanie 7.3
Znale punkt symetryczny do punktu P = (2 3 ;1) wzgldem:
a) punktu S =(1 ;1 2)
+ y = 0
b) prostej l : xy +
z = 0
c) paszczyzny : 2x ; y + z ; 6 = 0:
Zadanie 7.4
Znale rzut ukony w kierunku wektora ~v = (2 3 ;1):
a) punktu O = (0 0 0) na paszczyzn : x ; 2z + 8 = 0
b) prostej l : x ; 1 = y + 1 = z ; 2 na paszczyzn : x ; y + z ; 1 = 0:
Zadanie 7.5
Obliczy objtoci i pola powierzchni bry ograniczonych podanymi paszczyznami:
a) x = 1, y = ;1, z = 3, x + y + z = 5
b) x ; y = 1, x ; y = 5, x + 2z = 0, x + 2z = 3, z = ;1, z = 4:
Zadanie 7.6
Obliczy
przez proste:8
8 pole trjkta utworzonego
8
< x = ;2 + 2t
< x = 0
< x = ;2p
l1 : : y = 0
l2 : : y = 3 + 3s l3 : : y = 3 ; 3p gdzie t s p 2 R:
z = 4t
z = ;4s
z = 0
11
Zadanie* 7.7
Niech A = (1 ;1 3), B = (0 2 5): Na prostej l : x ;1 1 = y ;2 4 = z ;3 3 znale
punkt C taki, e pole trjkta ABC bdzie najmniejsze.
Zadanie 7.8
Trzy stacje radiolokacyjne S1 , S2 , S3 umieszczone s w wierzchokach trjkta
prostoktnego o przyprostoktnych l1 = 300 km, l2 = 400 km (rysunek). Pomiary
odlegoci rakiety R od tych stacji day nastpujce wyniki d1 = 300 km, d2 =
400 km, d3 = 400 km. Obliczy, na jakiej wysokoci h leciaa rakieta.
6z eR
e d
h e
d d
e
eS -y
l
S
;
l
;
;S
;;x
r
2
3
1
r
1
r
3
r
2
r
2
1
Zadanie 7.9
W wierzchokach szecianu o krawdzi a = 10 umieszczone s punkty materialne o
masach odpowiednio: m1 = 1, m2 = 2, m3 = 3, m4 = 4, m5 = 5, m6 = 6, m7 = 7,
m8 = 8 (rysunek).
a) Okreli pooenie rodka masy tego ukadu
b) Obliczyc moment bezwadnoci podanego ukadu mas wzgldem osi Oz
c) Obliczy moment bezwadnoci podanego ukadu mas wzgldem osi czcej
masy m3 i m7 ;;
m5
m6
6z
r
r
m1
2
r
r
C
;O
m ;
x
;
r
m
;
;m
y
m;m ;
r
a
7
r
r
8
4
3
d) Obliczy si przycigania grawitacyjnego masy m8 przez ukad pozostaych
siedmiu mas.
Zadanie 7.10
Nad Wrocawiem przebiegaj dwa prostoliniowe korytarze powietrzne dla samolotw. Pierwszy z nich przebiega poziomo na wysokoci h1 = 1000 m ze wschodu na
12
zachd. Natomiast drugi przebiega z poudniowego-wschodu na pnocny-zachd
i wznosi si pod ktem = 10 Samoloty poruszajce si tym korytarzem przelatuj nad Wrocawiem na wysokoci h2 = 3000 m: Obliczy najmniejsz moliw
odlego midzy samolotami leccymi tymi korytarzami.
Lista 8.
Zadanie 8.1
a) Zaproponowa opis, w formie macierzy zoonej z liczb cakowitych, pooenia
!gur w grze w szachy. W jaki sposb mona by sprawdzi, czy dana macierz
odzwierciedla pozycj moliw do uzyskania w czasie gry?
b) Zaproponowa zapis, w postaci jednej macierzy, odlegoci drogowych i kolejowych w km midzy stolicami wszystkich wojewdztw w Polsce.
Zadanie 8.2
Obliczy:
2 3 2 3
0 3
00
0
4
1
;
1
a) 2 5 ;1 ; 3 ;2 b) 4 1 1 5 + 4 4 0 2 5 1 0
11
2 2 ;3 5 3
1
5
3
cos
;
sin
cos
;
sin
4
5
c) 2 ;3 1 ;1 4 ;2 d) sin cos sin cos 3 ;1 1
2
3
2
1 0
5
66 0 1 77 6
64
e) 66 1 0 77 12 34 56 f) 1 2 3 4 5 66 3
40 15
42
1 0
1
3
77
77 :
5
Zadanie 8.3
Ukadajc odpowiednie ukady rwna rozwiza podane rwnania macierzowe i
ukad rwna macierzowych:
T
a) X + 10 02 00 = 12 X ; 00 04 20 b) 10 11 00 01 21 10 X = 21 22 c) 10 11 21 X = 74 31 d) 30 11 X = X 43 ;10 e) X 2 = 10 ;11 f) X 2 = 00 00 g) X = X T ;21 ;23 13
2
8
20
>
>
4
X
+
Y
=
02
>
>
<
20 0
h) >
00
>
>
4
>
02
X
;
Y
=
:
20
3
0
0 5
23
2
0 5
0
8
1 ;1 Y = 1 0 >
>
X
+
<
;1 3
0 1
i) > 3
1
2 1
>
:
1 1 X +Y = 1 1 :
Zadanie 8.4
Obliczy kilka pocztkowych potg macierzy A nastpnie wysun hipotez o postaci macierzy An , gdzie n 2 N i uzasadni j za pomoc indukcji matematycznej,
jeeli: 1
1
2
;
1
a) A = 0 1 b) A = 3 ;2 sin , gdzie 2 R d) A = ch x sh x gdzie x 2 R
c) A = ; cos
2 sin cos
3 2 sh x ch x 3
0 0 1
a 1 0
e) A = 4 0 1 0 5
f*) A = 4 0 a 1 5, gdzie a 2 R
1 0 0
0 0 a
g*) A = aij ], gdzie aij = 0 dla i j, i j = 1 2 : : : k:
Zadanie 8.5
Korzystajc z wasnoci dziaa z macierzami oraz wasnoci operacji transponowania macierzy uzasadni podane tosamoci:
a) (ABC)T = C T B T AT , gdzie A B C s macierzami o wymiarach odpowiednio
n m, m k, k l
b) (A B)2 = A2 2AB + B 2 , gdzie A i B s przemiennymi macierzami kwadratowymi tych samych stopni.
Mwimy,
gdy speniaj
warunek
AB
= BA:
n e macierze
n A i B sprzemienne,
n A + n I
c*) (A + I)n = 0 An + 1 An;1 + n2 An;2 + : : : + n ;
1
n
gdzie A i I s macierzami kwadratowymi tych samych stopni, przy czym I jest
macierz jednostkow.
Zadanie 8.6
Obliczy podane wyznaczniki drugiego i trzeciego stopnia:
1 i 1 + i 1 1 1 sin
cos
;
3
2
a) 8 ;5 b) sin cos c) 1 2 3 d) ;i 1 0 :
1;i 0 1 1 3 6
Zadanie 8.7
Stosujc rozwinicie Laplace'a obliczy podane wyznaczniki. Wyznaczniki rozwin wzgldem wiersza lub kolumny z najwiksz liczb zer.
Uwaga.
14
a) 3 ;2 0 5
1 ;2 2
0 ;2 5 0
5 0 3 4
;2
3
0
b) 0
0
2
2
3
0
0
0
0
2
3
0
0
0
0
2
3
0
0
0
0
2
3
2 7 ;1 3 2 0 0 1 0 1 c)
;2 0 7 0 2 :
;3 ;2 4 5 3 1 0 0 0 1
Zadanie 8.8
Niech ai bi ci 2R, gdzie 1 i 3: Uzasadni
rwno:
b1 + c1 c1 + a1 a1 + b1 a1 b1 c1 b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 = 2 a2 b2 c2 :
b3 + c3 c3 + a3 a3 + b3 a3 b3 c3 Lista 9.
Zadanie 9.1
Obliczy podane wyznaczniki wykorzystujc wystpujce
w nich regularnoci:
1
1
1 3 3 3 1 1 1 1 1 1 2 3 4 1 2 2 2 2 0 1 1 3 3 0 4
3
2
1
a) 5 6 7 8 b) 1 2 3 3 3 c) 00 00 13 31 00 00 :
1 2 3 4 4 8 7 6 5
1 2 3 4 5
0 3 3 1 1 0 3 3 3 1 1 1
Zadanie* 9.2
Obliczy podane wyznaczniki stopnia n 2 wykorzystujc wystpujce w nich
regularnoci:
4 4 : : : 4 4 1 2 3 : : : n 1 1 12 : : : n1;1 1. 4. : : : 4. 4. 2 2 3 : : : n 1 2 22 : : : 2n;1 .
3
3
3
:
:
:
n
a) .. .. . . .. .. b) c*) 1. 3. 3. : : : 3 . :
.
.
.
.
.
1 1 : : : 4 4 .. .. .. . . .. .. .. .. . . . .. 1 1 ::: 1 4 n n n ::: n 1 n n2 : : : nn;1 Zadanie 9.3
Stosujc operacje elementarne na wierszach lub kolumnach podanych wyznacznikw (powodujce obnienie ich stopni) obliczy:
4
2
1
1
1 ;1 0 ;1 4 0 1 ;1 0 2 a) 2 3 5 b) 2 5 ;2 c) 3 0 1 3 ;4 0 6 ;3 0 3 2 2 0 3
1
2
;
1
0
3
2
7
;
1
3
2
1 0 1 ;1 2 4 5 1 ;6 0 2 1 3 1 d) ;21 12 ;11 23 e) ;1 ;2 3 0 ;2 f) ;2 4 7 2 2 :
;2 ;2 1 ;1 1 ;3 ;2 4 5 3 3 ;1 4 0 2 4 ;2 0 3 1 2 0 1 1
15
Zadanie 9.4
Korzystajc z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej znale macierze odwrotne
do podanych:
2
3
2 7 3
3
;
5
cos
;
sin
a) 6 2 b) sin cos , gdzie 2 R c) 4 3 9 4 5 :
1 5 3
Zadanie 9.5
Korzystajc z metody bezwyznacznikowej wyznaczy macierze odwrotne do podanych:
2
3
2
3
2
3
1 0 0 1
1 2 3 4
1 2 2
6
7
6
7
a) 4 2 1 ;2 5 b) 64 00 01 21 11 75 c) 64 21 31 11 ;21 75 :
2 ;2 1
2 1 1 2
1 0 ;2 ;6
Zadanie 9.6
Rozwiza
macierzowe:
podane
rwnania
a) X ;13 ;14 = ;23 ;14 b) 32 11 X 11 32 = 32 32 ;1 0
3
1
2
1
3
c) 5 ;2 + 4 X = 3 4 d) 3 X + ;2 1 = 57 68 X:
Zadanie 9.7
Jakie s moliwe wartoci wyznacznika macierzy rzeczywistej A stopnia n, jeeli:
a) A2 = 8A;1 b) A3 ; A = 0 c) AT = 4A;1 ?
Zadanie* 9.8
Wyprowadzi
wzory na podane wyznaczniki stopnia n: b a a : : : a a b b : : : b ;a b a : : : a b a b : : : b a) b b a : : : b b) ;a ;a b : : : a ... ... ... . . . ... ... ... ... . . . ... b b b ::: a ;a ;a ;a : : : b 1 n n ; 1 : : : 3 2 a1 ; b a2 : : : an 2
1
n
:
:
:
4
3
a1 a2 ; b : : : an 1 : : : 5 4 c) 3 2
d)
..
..
.. ...
.. . . . .. .. .
.
. ... ...
.
. . a
a
:
:
:
a
1
2
n;b n n; 1 n; 2 ::: 2 1 a1 a2 : : : an;1 an a3 : : : an 1 a2
a2 a2 : : : an;1 an 1 a2 + b2 a3 : : : an .. . . . ..
.. :
1
a
a
+
b
:
:
:
a
2
3
3
n
e) .
f) ...
.
.
.
.
.
.
.
..
..
..
.. an;1 an;1 : : : an;1 an ..
an an : : : an an 1 a2
a3 : : : an + bn 16
Zadanie 9.9
Dla jakich wartoci parametru p 2 R podane
8 ukady rwna s ukadami Cramera:
2px + 4y ; pz = 4
<
(p
+
1)x
;
py
=
1
2x + y + pz = 1 a)
2x + (p ; 1)y = 3p b) : (4 + 2p)x
+ 6y + pz = 3
8
8
; y ; z ; t = px
>
< px + 3y + pz = 0
< ;xx +
z ; t = py ?
c) : ;px
+ 2z = 3 d) > ;x ; yy ;
+
t = pz
>
x + 2y + pz = p
: ;x ; y ; zz ;
+ t = pt
Zadanie 9.10
Korzystajc ze wzoru Cramera
znale rozwizania8podanych ukadw rwna:
8
x
+
2y + 3z = 1
< x + 2y + 3z = 14
; 2y = 6 b) < 2x + 3y
a) 5x
+
z
=
3
c)
3y ; z = 7 :
3x + y = 4
: 3x + y + 2z = 2
: 4xx +
; y+ z= 2
Zadanie 9.11
Stosujc
y z podanych ukadw rwna:
8 wzr Cramera obliczy niewiadom
8
+ 2z + 4t = 0
3y + 3z + 3t = 1
>
>
< 3x + 7y
< 3xx +
2y
+
z
=
0
+
3z + 3t = 1 a) > x + 4y + z
b) > 3x + 3yy +
=
1
+
3t = 1
>
>
: 5x + 3y + 2z
: 3x + 3y + 3zz +
=0
+ t=1
c) x + 2y ; 4 = 3y + 4z ; 6 = 5z + 6s = 7s + 8t = x + y + z + s + t ; 2 = 0:
Lista 10.
Zadanie 10.1
Rozwiza podane ukady rwna 8stosujc metod macierzy odwrotnej:
< x+ y+z=5
;y=3
+ 2y + z = 3 a) 2x
b)
3x + y = 2
: 2x
3x + 2y + z = 1
8
8
y+z+t= 4
>
>
< x+ y+ z= 4
<
x
t = ;1 :
c) : 2x ; 3y + 5z = ;5 d) > x + y + z +
+
2
;x + 2y ; z = 2
:x + y + z t =
= ;2
Zadanie 10.2
Rozwiza podane ukady rwna metod eliminacji Gaussa:
17
8
= 1
< x+ y
+ 3y = 1 a) 2x
b)
x
+
2y
;
3z
= ;3 3x + y = 0
: 2x + 4y + z =
1
8
8
< 3x + y + z = ;1
< 2x + 3y + 2z = 1
c) : x
+ 2z = ;6 d) : 3x + 4y + 2z = 2 3y + 2z = 0
8 4x + 2y + 3z = 3
8
x ; 2y
+ 3s + t = 1
>
y+ z+ t=1
>
>
2x
;
3y
+
z
+ 8s + 2t = 3
< 2xx +
<
2y + z + t = 0 f) x ; 2y + z +
e) > 3x +
3s ; t = 1 :
2y + 3z + 2t = 3
>
>
>
y
+
3s + 5t = 0
: 6x +
>
+ 4y + 3z + 2t = 2
: x ; 2y
+ 5s + 8t = ;1
Zadanie 10.3
Stosujc #metod kolumn jednostkowych"
8 rozwiza podane ukady Cramera:
8
2y + z ; t = ;4
>
>
< 5x + 2y ; 2z = 5
< 2xx ;
;
z+t= 1
a) : 3x + y + 2z = 1 b) > x + yy ;
+
2z
t= 5
2x + 3y + 2z = 5
: x+ y; z;
+
t= 4
8
8
2x + y + z
+t=0
2x + 3y + 2z
; t=3
>
>
>
>
>
>
y+z
=0
<
< 2x + y + z + 2s + 3t = 6
= 0 d) > 3x
; z+ s+ t=3:
c) > 2x + y + z + s
y
+
z
+
s
+
t
=
4
y
4s + t = 1
>
>
: x
: 2x + y + z +
+z
+t=0
; 2s + 5t = 8
Zadanie 10.4
Stosujc
podane ukady rwna:
8 metod eliminacji Gaussa rozwiza
8
x
;
2y
+
z
=
4
>
<
< x + 2y + z + t = 7
y+ z= 1 ; y ; z + 4t = 2 a) > 2xx +
b)
3y + 5z = 10
: 2x
5x
+ 5y + 2z + 7t = 1
: 5x ;
8 ; 6y + 8z = 19
8
2y + 3z + t = 1
>
y + z ; 2s + t = 0
< 2xx +
4y ; z + 2t = 2 d) < 3xx ;
c) > 3x +
+
4y
z + s + 3t = 1 :
6y + 10z + 3t = 3
: x ; 8y ;
>
+
5z
; 9s + t = ;1
: x+
+ y+ z+ t=0
Zadanie 10.5
Rozwiza podane ukady rwna #metod kolumn jednostkowych":
18
8
8
3x
+
2y
+
z
;
t
=
0
+ 3y + z ; 2s ; t = 6
>
>
>
>
< 5x ; y + z + 2t = ;4
< 2x
4x
7y + 2z ; 5s + t = 17 a) > 7x + 8y + z ; 7t = 6 b) > 6x +
+
+ 3z ; 2s ; 9t = 1
: x ; y + z + 2t = 4
: 2x + 5y
6y
+ z ; 5s ; 10t = 12
8
8
3x + y
; 2t = 1
x ; 3y + z ; 2s + t = ;5
>
>
>
>
5x
+
2y
+
2z
;
t
=
5
2x
; 6y
; 4s + t = ;10
>
>
< x; y
<
;
2t
=
;
5
2z
0:
c) > 5x + y + z ; 3t = 0 d) > ;2x + 6y + 2z + 4s + t =
=
10
>
>
>
>
;
7x
;
3y
+
z
+
5t
=
;
4
6y + 4z + 4s + t = 10
>
>
: 4x + y ; 2z ; 5t = ;2
: ;;2xx +
+ 3y + z + 2s
= 5
Zadanie 10.6
Dla jakich wartoci parametru p podane ukady rwna maj dokadnie jedno
rozwizanie, okreli liczby rozwiza tych ukadw w pozostaych przypadkach:
8
8
< x + py ; z = 1
< x + 4y ; 2z = ;p
x
+
10y
;
6z
=
p
a) :
b) : 3x + 5y ; pz = 3 :
2x ; y + pz = 0
px + 3py + z = p
Zadanie 10.7
Wykonanie pewnego pojemnika wymaga czterech czynnoci: narysowania formy,
wycicia, zoenia modelu i jego pomalowania. Liczby poszczeglnych czynnoci w
kolejnych dniach pracy pewnego pracownika podaje tabela:
rysowanie wycinanie skadanie malowanie
poniedziaek
30
20
10
5
wtorek
20
15
15
10
roda
40
25
20
20
czwartek
30
20
20
20
Obliczy czas wykonywania poszczeglnych czynnoci, jeeli w kolejnych dniach
czny czas pracy wynosi odpowiednio 2 h 10 min, 2 h 15 min, 3 h 55 min, 3 h
30 min.
Lista 11.
Zadanie 11.1
Wykona podane dziaania:
; p ;p
a) (1 ; 3i) + (4 ; 5i)
b) 1 + 2i ; 3 ; 6i ;p p ;p p c) 7 ; 3i 7 + 3i d) 21++3ii 2
; w , Re z + i Im w dla z = 5 ; 2i, w = 3 + 4i:
e) z w, zw , zz +
w
z +w
Zadanie 11.2
Znale liczby rzeczywiste x y speniajce podane rwnania:
19
a) x(2 + 3i) + y(5 ; 2i) = ;8 + 7i b) (2 + yi) (x ; 3i) = 7 ; i
yi = 3i ; 1
x + yi = 9 ; 2i .
c) x1 +
d)
; 2i
x ; yi 9 + 2i
Zadanie 11.3
W zbiorze liczb zespolonych rozwiza podane rwnania:
c) z 2 ; 4z + 13 = 0
b) 1 +z i = 2 ;z 3i a) z 2 = 4z
d) (z + 2)2 = (z + 2)2 e) 2z + z = 6 ; 5i
f*) z 3 ; 6iz 2 ; 12z + 8i = 0
g) (1+i)z+3(z ; i) = 0 h) z ;2 1++i 4i = 2z1 ;+ii :
Zadanie 11.4
Zbada, dla jakich wartoci parametrw a b 2 R rwnanie z ; i Imz = a + bi ma
rozwizanie.
Zadanie 11.5
Na paszczynie zespolonej narysowa zbiory liczb z speniajcych podane warunki:
a) Re (iz + 2) 0 b) Imz 2 < 0
c) z ; i = z ; 1
iz = 1:
4
d) z = z
e) zz + (5 + i)z + (5 ; i)z + 1 = 0 f) Im 11 +
; iz
Zadanie 11.6
Niech u = zz ;+2i4 , v = iz z+ 4 , gdzie z 2 C: Naszkicowa zbir wszystkich liczb
zespolonych z dla ktrych:
a) liczba u jest rzeczywista b) liczba u jest czysto urojona
c) liczba v jest rzeczywista d) liczba v jest czysto urojona.
Zadanie 11.7
Punkty z1 , z2 , z3 paszczyzny zespolonej s wierzchokami trjkta. Wyznaczy
pooenie punktu przecicia rodkowych tego trjkta.
Wskazwka. Wykorzysta fakt, e rodkowe trjkta przecinaj si
w jednym punkcie i
dziel si
w stosunku 2 : 1 liczc od wierzchoka.
Zadanie* 11.8
Uzasadni, e pole trjkta, ktrego jeden wierzchoek jest w pocztku ukadu, a
pozostae dwa s w punktach z1 , z2 2 C, wyraa si wzorem 21 j Im (z1 z2 )j :
Zadanie 11.9
Obliczy moduy podanych liczb zespolonych:
p
p p
3i .
a) ; 3i b) 6 ; 8i c) 4 2 + 4 3i d) 1 + i tg , 2 ; 2 2 e) 13 +
; 4i
20
Zadanie 11.10
Poda interpretacj geometryczn moduu rnicy liczb zespolonych. Korzystajc
z tej interpretacji narysowa zbiory liczb zespolonych z speniajcych podane warunki:
z
;
2i
a) jz ; 3 + 4ij = 1
b) z + 1 = 1 c) 2 jiz ; 5j < 3
d) jz + 1 ; 2ij 3 oraz jz ; 3j < 4 e) zz2 ++ i1 1 f) sin (jz + 2ij) > 0
g*) 3jz + ij z 2 + 1 < 5jz ; ij:
Zadanie 11.11
Korzystajc z interpretacji geometrycznej moduu liczby zespolonej obliczy, dla
jakich liczb zespolonych z speniajcych warunek jz j 1 wyraenie j2i ; 3 ; z j
jest najmniejsze, najwiksze.
Lista 12
Zadania
Zadanie 12.1
Podane liczby zespolonepzapisa w postaci trygonometrycznej:
p
c) ;5 + 5 3i
a) 7 + 7i
b) 3 ; i
d) sin + i cos e) ; cos + i sin f) 1 + i tg :
Uwaga. W wiczeniach d), e), f) kt spenia nierwnoci 0 < < 2 .
Zadanie 12.2
Narysowa zbiory liczb zespolonych z speniajcych podane warunki:
a) arg z = 5
4 b) 6 < arg (z + 3i) < 3 c) arg(iz) < 2
; d) arg z 6 = e) 3 arg (;z) 2 f*) arg (z ; 1 ; 2i) = 3
2:
Zadanie 12.3
Obliczy wartoci podanych wyrae (wynik poda w postaci algebraicznej):
; p ;p
a) (1 ; i)12
b) 1 + 3i 8 c) 2 3 ; 2i 30
10
24
22
d) cos 4 ; i sin 4 e) ; (1 + pi) 6 f) sin 6 + i cos 6 :
1;i 3
Zadanie 12.4
Korzystajc ze wzoru de Moivre'a wyrazi:
a) sin 3x przez funkcj sin x b) cos 4x przez funkcje sin x i cos x
c*) tg 6x przez funkcj tg x d*) ctg 5x przez funkcj ctg x:
21
Zadanie 12.5
Narysowa zbiory liczb zespolonych z speniajcych podane warunki:
h i
; ; ; + i)z 0:
a) Im z 3 < 0 b) Re z 4 0 c) Im z 2 Re (z)2 d) Im (1
(1 ; i)z
Zadanie* 12.6
Wykorzystujc wzr na sum wyrazw zespolonego cigu geometrycznego obliczy:
a) sin x + sin 2x + : : : + sinnx
b) cos x + cos 2x + : : : + cos nx
1
c) 2 + cos x + cos 2x + : : : + cos nx d) sin x + sin 3x + : : : + sin(2n ; 1)x
e) 1 +(1 ;i)+ (1; i)2 + : : : + (1 ; i)n n , m = E n , gdzie n 2 N:
f) n0 ; n2 + n4 ; : : : + (;1)n 2m
2
Zadanie 12.7
Stosujc posta wykadnicz liczby zespolonej rozwiza podane rwnania:
a) z 7 = z
b) (z 4 ) = z 2 z 2 c) (z)2 z 2 = z42 d) jz j3 = iz 3 e) z 6 = (z)6
f) z 8 = z 4 :
Zadanie 12.8
Stosujc wzory Eulera wyrazi podane funkcje w postaci sum sinusw i cosinusw
wielokrotnoci kta x:
a) sin3 x b) cos2 x c) sin5 x d) sin4 x + cos4 x:
Lista 13
Zadania
Zadanie 13.1
Korzystajc
z de!nicji
p
p pierwiastki:
p obliczy podane
p
a) 5 ; 12i b) ;11 + 60i c) 3 i d) 4 16:
Zadanie 13.2
Obliczy
na paszczynie zespolonej podane pierwiastki:
p i narysowa
p
p3
p
p
a) ;1 + 3i b) ;27i c) 4 ;4 d) 6 ;64
p
p
p
p
e) 5 32i
f) 3 ;1 + i g*) 4 i h*) 3 2 + 2i:
Zadanie 13.3
Odgadujc jeden z elementw podanych pierwiastkw obliczy ich pozostae elementy:
p
p
p
p
a) (5 ; 4i)4 b) 4 (;2 + 3i)4 c) 3 (2 ; i)6 d) 3 (2 ; 2i)9 .
22
Zadanie 13.4
Jednym z wierzchokw kwadratu jest punkt z1 = 4 ; i. Wyznaczy pozostae
wierzchoki tego kwadratu, jeeli jego rodkiem jest:
a) pocztek ukadu wsprzdnych b) punkt u = 1 p
c) punkt u = 3 + i
d) punkt u = 7 + 2i:
Zadanie 13.5
Znale rozwizania podanych rwna:
a) z 4 = (1 ; i)4 b) (z ; 1)6 = (i ; z)6 c) z 3 = (iz + 1)3 :
Zadanie 13.6
Punkty z1 = 1 ; 3i, z3 = ;1 + 5i s przeciwlegymi wierzchokami kwadratu.
Wyznaczy pooenia pozostaych wierzchokw tego kwadratu.
Zadanie 13.7
Obliczy iloczyny podanych par wielomianw rzeczywistych lub zespolonych:
a) P (x) = x4 ; 3x3 + x ; 1 Q(x) = x2 ; x + 4
b) W(z) = z 3 + 5z 2 ; iz + 3 V (z) = (1 + i)z ; 2:
Zadanie 13.8
Obliczy ilorazy oraz reszty z dziele wielomianw P przez wielomiany Q, jeeli:
a) P (x) = 2x4 ; 3x3 + 4x2 ; 5x + 6 Q(x) = x2 ; 3x + 1
b) P (x) = x16 ; 16 Q(x) = x4 + 2
c) P(z) = z 5 ; z 3 + 1 Q(z) = (z ; i)3 :
Zadanie 13.9
Znale wszystkie pierwiastki cakowite podanych wielomianw:
a) x3 + x2 ; 4x ; 4
b) 3x3 ; 7x2 + 4x ; 4
c) x5 ; 2x4 ; 4x3 + 4x2 ; 5x + 6 d) x4 + 3x3 ; x2 + 17x + 99:
Zadanie 13.10
Znale wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianw:
a) x3 ; 67 x2 ; 32 x ; 31 b) 4x4 + 4x3 + 3x2 ; x ; 1
c) 4x3 + x ; 1
d) x5 + 43 x3 ; x2 + 31 x ; 13 :
Lista 14.
Zadanie 14.1
Znale pierwiastki podanych rwna kwadratowych i dwukwadratowych:
a) z 2 ; 4z + 13 = 0 b) z 2 ; (3 ; 2i)z + (5 ; 5i) = 0
c) z 4 + 8z 2 + 15 = 0 d) z 4 ; 3iz 2 + 4 = 0.
23
Zadanie 14.2
Znajc niektre pierwiastki podanych wielomianw rzeczywistych, znale ich pozostae pierwiastki:p
p
p
a) W(x) = x3 ; 3 2x2 + 7x ; 3 2 x1 = 2 + i
b) W (x) = x4 ; 2x3 + 7x2 + 6x ; 30 x1 = 1 ; 3i
c) W(x) = x4 ; 6x3 + 18x2 ; 30x + 25 x1 = 2 + i
p
d) W (x) = x6 ; 2x5 + 5x4 ; 6x3 + 8x2 ; 4x + 4 x1 = i x2 = ; 2i
p
e) W(x) = x6 ; 6x5 + 18x4 ; 28x3 + 31x2 ; 22x + 14 x1 = 1 ; i x2 = 2 ; 3i:
Zadanie 14.3
Nie wykonujc dziele znale reszty z dziele wielomianw P przez wielomiany
Q, jeeli:
a) P (x) = x8 ; 3x3 + 5x
Q(x) = x2 ; x ; 2
p
b) P (x) = x14 ; 4x10 + x2 + 2x Q(x) = x2 + 2
c) P(x) = x30 + 3x14 + 2
Q(x) = x3 + 1
d) P (x) = x100 + 2x51 ; 3x2 + 1 Q(x) = x2 ; 1
e) P(x) = x5 + x ; 2
Q(x) = x2 ; 2x + 5
f) P(x) = x6 + x ; 50
Q(x) = x3 + 8.
Zadanie* 14.4
Liczby zespolone z z 2 z 3 s pierwiastkami wielomianu stopnia 3 o wspczynnikach rzeczywistych. Wyznaczy wszystkie moliwe wartoci liczby z:
Zadanie 14.5
Poda przykady wielomianw zespolonych najniszego stopnia, ktre speniaj
podane warunki:
a) liczby 0 1 ; 5i s pierwiastkami pojedynczymi, a liczby ;1 ;3+i s pierwiastkami podwjnymi tego wielomianu
b) liczba ;4i jest pierwiastkiem podwjnym, a liczby 3 ;5 pierwiastkami potrjnymi tego wielomianu.
Zadanie 14.6
Poda przykady wielomianw rzeczywistych najniszego stopnia, ktre speniaj
podane warunki: p
a) liczby 1 ;5 ; 2 oraz 1 ; 3i s pierwiastkami pojedynczymi tego wielomianu
b) liczba 1 + i jest pierwiastkiem pojedynczym, liczby ;i oraz 3 s pierwiastkami
podwjnymi, a liczba ;4 + 3i jest pierwiastkiem potrjnym tego wielomianu.
Zadanie 14.7
Podane wielomiany zespolone przedstawi w postaci iloczynu dwumianw:
a) z 2 ; 2iz ; 10 b) z 4 + 5z 2 + 6 c) z 3 ; 6z ; 9.
24
Zadanie 14.8
Podane funkcje wymierne (rzeczywiste lub zespolone) rozoy na sumy wielomianw oraz funkcji wymiernych waciwych:
5
3z 2 + z b) x5 + 3 c) x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 :
a) zz 3 ;
+ 4z 2 + 1
x5 + 4
x3 + 2x2 + 3x + 4
Zadanie 14.9
Zaproponowa rozkady podanych zespolonych funkcji wymiernych waciwych na
zespolone uamki proste (nie oblicza nieznanych wspczynnikw):
3
z2 + z + 5
a) 2 z + i 3 b)
c) iz4 + 7 2 :
z (z ; 2i)
(z + 1)(z + i)2 z ; (1 + i)]3
(z ; 4)
Zadanie 14.10
Zaproponowa rozkady podanych rzeczywistych funkcji wymiernych waciwych
na rzeczywiste uamki proste (nie oblicza nieznanych wspczynnikw):
2
x3 ; 8x ; 4
x4 + x3
2x ; 7 b)
c)
:
a) x3(xx ;+1)(x
3
2
+ 5)
(x2 + 4) (x2 + x + 3)
(x + 3)2 (x2 ; 4x + 5)2
Zadanie 14.11
Podane zespolone funkcje wymierne waciwe rozoy na zespolone uamki proste:
2
z 2 + 2z :
a) (z ; 1)(z z+ 2)(z + 3) b) 2 z 2 c) z 416i
d)
2
+4
(z ; 1)
(z + 2z + 2)2
Zadanie 14.12
Podane rzeczywiste funkcje wymierne waciwe rozoy na rzeczywiste uamki
proste:
12
x2 a) (x ; 1)(x ; 2)(x
b)
; 3)(x ; 4)
x4 ; 1
x2 + 2x :
4x
d)
c)
(x + 1) (x2 + 1)2
(x2 + 2x + 2)2
25