2.WEKTORY I PRZESTRZENIE WEKTOROWE
Transkrypt
2.WEKTORY I PRZESTRZENIE WEKTOROWE
Materiały pomocnicze do laboratorium Podstaw Optymalizacji Część druga: WEKTORY i PRZESTRZENIE WEKTOROWE 2.WEKTORY I PRZESTRZENIE WEKTOROWE W dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej E2 punkty są utożsamiane z parami u=(u1,u2). u może być traktowane jako punkt o współrzędnych (u1,u2) względem stałego punktu odniesienia 0 =(0,0) albo jako wektor, tj. przesunięcie punktu odniesienia z (0,0) o wielkości u1 i u2 wzdłuż ustalonych kierunków współrzędnych (rys. 2.1). u2 (u*1,u*2) u u1 Rys. 2.1. Wektory Te dwie interpretacje będą używane wymiennie. Dalej przyjmiemy notację u= u*1 u*2 Najważniejsze własności wektorów w przestrzeni E2 2.1. Mnożenie wektorów przez skalary (rys. 2.2). Każdej parze α i u, gdzie α jest skalarem, a u wektorem, odpowiada wektor α*u = (α*u1 ,α*u2)T, zwany iloczynem wektora u przez skalar α. Mnożenie wektorów przez skalary ma następujące własności: a) α*(β*u) = (α*β)*u b) α*(u+v) = α*u+α*v (α+β)*u = α*u+β*u c) 1*u = u d) 0*u =0 = [0,0]T. 2.2. Dodawanie wektorów (rys. 2.3) u2 [αu*1, αu*2]T α>1 α*u [v*1, v*2] v T T [u*1,u*2] * u [α*v 1, α*v*2] T α*v α<1 u2 u+v u v u1 u1 Rys. 2.2. Mnożenie wektorów przez skalary Rys. 2.3. . Dodawanie wektorów Każdej parze wektorów u=[u1,u2]T i v=[v1,v2]T odpowiada wektor w=u+v = [u1+v1 , u2+v2]T, zwany sumą wektorów u i v , taki że: a) u+v = v+u, b) (u+v) +w = u+(v+w), 1 Materiały pomocnicze do laboratorium Podstaw Optymalizacji Część druga: WEKTORY i PRZESTRZENIE WEKTOROWE c) w przestrzeni istnieje tylko jeden wektor zerowy, zwany punktem odniesienia, taki, że: u+0 =u dla każdego u w E2, d) dla każdego u w E2 istnieje jeden i tylko jeden wektor przeciwny – u, taki, że: u +(-u) = 0. 2.3. Iloczyn skalarny wektorów Każdej parze wektorów u,v w E2 odpowiada liczba rzeczywista u○v = uTv = (u1*v1+u2*v2), zwana iloczynem skalarnym wektorów u i v . Iloczyn skalarny posiada następujące własności: a) u○v = v○u b) (α*u+β*v ) ○ w = α*(u○w)+β*(v○w ) dla dowolnych skalarów α, β i wektorów u, v i w wE2, c) u○u ≥ 0 i u○u = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy u = 0. 2.4. Długość wektora u2 u2* (u1* ) 2 + (u2* ) 2 u2 u1* u1 Rys. 2.4. Długość wektora Każdemu wektorowi u w E2 odpowiada liczba rzeczywista u = u 21 + u22 , zwana długością wektora u (rys. 2.4): a) || u || ≥ 0 i || u || = 0 ⇔ gdy u = 0, b) ||α*u ||= |α|*||u ||. Długość spełnia nierówność trójkąta c) || u+v || ≤ || u || + || v || dal każdego u i v w E2, u o u = uT u dx T 2.5. Pochodna wektora: = x& = [x&1 x& 2 L x& n ] . dt 2.6. Zbiór wektorów u1, u2 ,..., un nazywamy liniowo niezależnym, jeśli dla wszystkich liczb α1, α2, ... , αn równość α1 *u1 + α2*u2 + ... +αn*un = O pociąga α1 = α2 =...= αn= 0. W przeciwnym przypadku zbiór jest zależny . Na przykład zbiór dwóch wektorów d) || u || = u1 = [1 0 ]T i u2 = [1 1 ]T jest liniowo niezależny. 2 Materiały pomocnicze do laboratorium Podstaw Optymalizacji Część druga: WEKTORY i PRZESTRZENIE WEKTOROWE Aby to pokazać napiszemy α1u1 + α2u2 = α1 [1 0]T + α2 [1 1]T = [0 0]T stąd α1 + α2 = 0 i α2 = 0 , stąd jedynym rozwiązaniem jest para liczb: α1 = 0 ; α2 = 0. W podobny sposób można wykazać, że zbiór wektorów : u1 = [1 0 ]T , u2 = [0 1 ]T , u3 = [1 1]T jest liniowo zależny. W tym przypadku mamy (*) α1u1 + α2u2 +α3u3 = α1 [1 0]T + α2 [0 1]T +α3 [1 1]T = [0 0]T stąd α1 + α2 = 0 i α2 + α3 = 0, Otrzymujemy stąd, że α3 = -α1 i α3 = -α2 . W ten sposób dla α1 = α2 = α i α3 = -α , gdzie α może być dowolną liczbą, równanie (*) jest spełnione. Ostatni przykład pokazuje własność dwuwymiarowości E2 : istnieją dwa niezależne liniowo wektory, np. wektory jednostkowe [1,0]T i [0,1]T, podczas gdy każde trzy wektory są już liniowo zależne. 2.7. Ogólnie dla przestrzeni n-wymiarowej mamy następującą definicję: n-wymiarowa przestrzeń euklidesowa En jest zbiorem obiektów zwanych wektorami, które posiadają własności opisane poprzednio w punktach 1÷3 ; w przestrzeni En istnieje układ n niezależnych wektorów, ale każdy układ n+1 wektorów w En jest układem liniowo zależnym. W En mamy u= [u1, u2,..., un]T i zachodzi: α[u1, u2,..., un]T = [αu1, αu2,..., αun]T, [u1, u2,..., un]T + [v1, v2,..., vn]T = [u1+ v1, u2+ v2, ..., un+ vn]T , [u1, u2,..., un]T ○ [v1, v2,..., vn]T = u1v1 + u2v2 + ... +unvn . 2.8. Bazą w En jest zbór n niezależnych wektorów. Każdy wektor w En może być jednoznacznie wyznaczony jako kombinacja liniowa wektorów dane bazy. Zbiór n wektorów jednostkowych [1, 0, ..., 0]T, [0, 1, ... , 0]T, ... , [0, 0, ..., 0, 1]T jest bazą w En . 2.9. Jeden warunek liniowy w E2 (np. a1u1 + a2u2 = b, gdzie a1, a2, b są stałymi) określa prostą; jeden warunek liniowy w E3 określa płaszczyznę; obiekt określony jednym warunkiem liniowym w En określa hiperpłaszczyznę. Hiperpłaszczyzna H ( a,b ) w En jest zbiorem wszystkich wektorów u takich, że aTu = b dla danego a ≠ 0 i danej liczby rzeczywistej b (rys. 2.5). Hiperpłaszczyzna dzieli En na dwie półprzestrzenie, które oznaczamy H+(a,b) = (u: aTu ≥ b), H- (a,b) = (u: aTu ≤ b). H+(a,b) jest półprzestrzenią, tj., częścią En do której należą wszystkie wektory u, dla których aTu ≥ b, H-(a,b) jest półprzestrzenią, do której należą wszystkie wektory u, dla których aTu ≤ b. Dla a= [2,-1]T i b=1 mamy iloczyn skalarny aTu = 2u1 - u2 3 Materiały pomocnicze do laboratorium Podstaw Optymalizacji Część druga: WEKTORY i PRZESTRZENIE WEKTOROWE i dwie półprzestrzenie H+(a,b) = 2u1 - u2 ≥ 1, H-(a,b) = 2u1 - u2 ≤ 1, jak pokazano na rysunku 2.5. Punkty prostej 2u1 - u2 = 1 należą do obu półprzestrzeni. u2 2u1-u2=1 H - 1/2 -1 u1 H+ Rys. 2.5. Przykład hiperpłaszczyzny 4