Lista II. Równania różniczkowe rzędu pierwszego
Transkrypt
Lista II. Równania różniczkowe rzędu pierwszego
MATEMATYKA 2 Katedra Matematyki rok ak. 2011/2012 Lista II. Równania różniczkowe rzędu pierwszego Określić rząd danego równania różniczkowego oraz stwierdzić, czy jest to równanie liniowe, czy nieliniowe: 2.1. d2 y dx2 dy = x2 + exy dx 2.2. d3 y dx3 d y dy + 4 dx 2 + (sin x) dx = xy + tg x 2.3. d2 y dx2 dy 3 + 3x( dx ) − y = 1 + 3x 2.4. dy dx 2.5. d4 y dx4 2 d2 y + (sin x)e dx2 − tg y = cos x 2 d y + 3 dx 2 = x 2.6. 2y 000 − sin xy 0 + y 2 = 13ex 3 )2 + 7 ddt3x = 2 ln t 2.7. ( dx dt 2.8. cos y 000 + ay 00 = 0 Sprawdzić, czy dana funkcja jest rozwiązaniem danego równania różniczkowego (C1 , C2 stałe). 2.9. y = C1 ex + C2 e−2x , y 00 + y 0 − 2y = 0 2.10. y = 1 , x+4 y 0 = −y 2 2.11. y = C1 x2 + C2 x3 − x2 sin x, x2 y 00 − 4xy 0 + 6y = x4 sin x 2.12. y = C1 eax + C2 ebx , d2 y dx2 dy − (a + b) dx + aby = 0 , gdzie a, b-stałe i a 6= b Wykazać, że dana relacja definiuje rozwiązanie równania różniczkowego (C-stała): 2.13. x sin y − ex = C, dy dx = ex −sin y x cos y 2.14. xy 2 + 2y − x = C, y 0 = 1−y 2 2(1+xy) Rozwiązać następujące zagadnienie początkowe: 2.15. dy dx 2.16. d2 y dx2 = cos x, y(0) = 2, y 0 (0) = 1 2.17. d3 y dx3 = 6x, y(0) = 1, y 0 (0) = −1, y 00 (0) = 4 = ln x, y(1) = 2 1 MATEMATYKA 2 Katedra Matematyki rok ak. 2011/2012 Rozwiązać następujące zagadnienie brzegowe: 2.18. d2 y dx2 = e−x , y(0) = 1, y(1) = 0 2.19. d2 y dx2 = −2(3 + ln x), y(1) = y(e) = 0 Rozwiązać następujące zagadnienie mieszane: 2.20. d2 x dt2 = 1t , x(1) = 0, x0 (e) = 0 2.21. d3 y dx3 = cos x, y(0) = 0, y( π2 ) = −1, y 0 (0) = 0 2.22. Czy zagadnienie początkowe: sadnić odpowiedź. dy dx √ = x y, y(0) = 0 ma jednoznaczne rozwiązanie? Uza- Rozwiązać następujące równanie różniczkowe: 2.23. dy dx = 2xy 2.24. ex+y dy − dx = 0 2.25. dy dx = y x ln x 2.26. dy dx = y2 x2 +1 2.27. ydx − (x − 2)dy = 0 dy dy 2.28. y − x dx = 3 − 2x2 dx 2.29. dy dx = 2x(y−1) x2 +3 2.30. dy dx = x(y 2 −1) 2(x−2)(x−1) Rozwiązać następujące zagadnienie początkowe: 2.31. dy dx = y 3 sin x , y(0) = 1 2.32. (1 − x2 ) y 0 + xy = ax , y(0) = 2a, gdzie a - stała. Sprawdzić, czy dane funkcje są funkcjami jednorodnymi: 2.33. f (x, y) = y x−1 √ 2.34. f (x, y) = x2 +y 2 , x−y x<0 2 MATEMATYKA 2 Katedra Matematyki rok ak. 2011/2012 Rozwiązać następujące równanie różniczkowe: dy = 3y 2.35. (3x − 2y) dx dy 2.36. sin( xy )(x dx − y) = x cos( xy ) 2.37. (2x − y)dy − (x + 2y)dx = 0 dy 2.38. x dx + y ln x = y ln y 2.39. dy dx = (x+y)2 2x2 2.40. y (x2 − y 2 ) dx − x (x2 + y 2 ) = 0 Rozwiązać następujące zagadnienie początkowe: 2.41. 2.42. dy dx = dy dx = 2x−y , x+4y y(1) = 1 √ y− x2 +y 2 , x y(3) = 4 2.43. Obiekt o masie m spada z pewnej wysokości (blisko Ziemi). Zakładając, że opór powietrza jest proporcjonalny do kwadratu prędkości, otrzymujemy z II prawa Newtona następujące zagadnienie początkowe dla prędkości, v = v(t): dv = mg − kv 2 , v(0) = 0 , dt gdzie k, m, g to dodatnie stałe. a) Rozwiązać to zagadnienie początkowe dla v . b) Wyznaczyć położenie obiektu w czasie t. 2.44. Prąd i(t) w obwodzie RL jest określony równaniem różniczkowym: L di + Ri = E(t) dt gdzie R i L są stałymi a E(t) jest znaną funkcją t. a) Rozwiązać podane równanie różniczkowe, gdy E(t) = E0 cos ωt, t > 0, gdzie E0 i ω są stałymi. b) Pokazać, że rozwiązanie może być zapisane w postaci: E0 i(t) = Ae−at + √ 2 cos(ωt − ϕ) L a + ω2 gdzie ϕ = arc tg(ω/a), a = R/L, i A jest stałą . 3 Katedra Matematyki MATEMATYKA 2 rok ak. 2011/2012 2.45. W obwodzie RL: R = 4Ω, L = 0.1H, i E(t) = 20V . Wyznaczyć prąd w obwodzie dla t 0. 2.46. Rozważmy obwód RC, w którym R = 5Ω, C = w obwodzie dla t 0. 1 F 50 oraz E(t) = 100V . Wyznaczyć prąd 2.47. W obwodzie RL E(t) = 10 sin 4t V . Jeżeli R = 2Ω, L = 2/3H, wyznaczyć prąd dla t 0. 2.48. W obwodzie RC: R = 2Ω, C = 81 F oraz E(t) = 10 cos 3tV . Jeżeli q(0) = 1C, wyznaczyć prąd w obwodzie dla t 0. 2.49. Rozważmy ogólny obwód RC z E(t) = 0. Załóżmy, że q(0) = 5C. Wyznaczyć ładunek na kondensatorze dla (t > 0). Co się stanie gdy t → ∞ ? Uzasadnić. 2.50. Wyznaczyć prąd w obwodzie RL, jeżeli SEM jest E(t) = E0 sin ωt, gdzie E0 i ω są stałe. Wyznaczyć część ustaloną i przejściową rozwiązania. 2.51. Wyznaczyć prąd w obwodzie RC, jeżeli kondensator jest początkowo nienaładowany i SEM jest dane przez E(t) = E0 e−at , gdzie E0 i a są stałymi. 4