Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

Metody statystyczne. Lista 1.
1
Lista 1.
Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
(a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa?
(b) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo króla kier?
(c) w rzucie symetryczną kostką wypadnie 6?
(d) liczba wybrana losowo spośród liczb 1, . . . , 100 jest parzysta?
(e) liczba wybrana losowo spośród liczb 1, . . . , 100 jest podzielna przez 3?
(f) wybrany losowo dzień roku przestępnego jest w kwietniu?
(g) suma oczek w rzucie dwoma symetrycznymi kostkami jest nieparzysta?
(h) w każdym z sześciu rzutów symetryczną monetą wypadnie orzeł?
2. Siedem opon samochodowych zostało ponumerowanych liczbami od 1 do 7 w zależności od ich jakości (1 to najlepsza opona, a 7 najgorsza). Klient wybrał losowo bez
zwracania cztery opony. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze najlepsza z wybranych
opon ma jakość 3.
3. Hasło potrzebne do uzyskania połączenia w sieci komputerowej składa się z dwóch
cyfr i następnie czterech dużych liter alfabetu angielskiego. Znaleźć prawdopodobieństwo, że osoba postronna odgadnie hasło, jeśli wiadomo, ze pierwsza cyfra jest
nieparzysta, a wsród liter są dokładnie dwie litery A.
4. Z pudełka zawierającego 90 śrub dobrych i 10 wadliwych wyjęto 10 śrub. Jakie jest
prawdopodobienstwo, że wszystkie one są dobre? W rozwiązaniu okreslić precyzyjnie przestrzeń probabilistyczną, modelującą podaną sytuację.
5. Z talii kart wyciągnięto cztery karty. Znaleźć prawdopodobieństwo, że będą wśród
nich dokładnie dwa asy.
6. W skrzynce znajduje się 47 żarówek dobrych i 3 przepalone. Wyciągamy losowo
pięć żarówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą wśród nich najwyżej dwie
przepalone?
7. Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucenie sumy oczek równej 8 w dwóch czy też
w trzech rzutach symetryczną kostką?
8. Winda rusza z siedmioma pasażerami i zatrzymuje się na dziesięciu piętrach. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że każdy z pasażerów wysiądzie na innym piętrze?
9. Wśród 40 książek stojących na półce w losowej kolejności jest słownik trzytomowy.
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że tomy słownika stoją obok siebie w rosnącej
kolejności od lewej do prawej.
10. Zakładając, że urodzenia chłopca i dziewczynki są jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w rodzinie z dwójką dzieci jest co najmniej jeden
chłopiec.
Metody statystyczne. Lista 1.
2
11. Rzucamy raz trzema kostkami do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że:
a) dwa oczka wypadną tylko na jednej kostce,
b) trzy oczka wypadną przynajmniej na jednej kostce.
12. Na odcinku [0, 1] umieszczono losowo punkty L i M . Jaka jest szansa, że
a) środek odcinka łączącego te punkty należy do [0, 1/3]?
b) z L jest bliżej do M niż do zera?
13. Patyk został złamany w dwóch losowych miejscach. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że z powstałych trzech kawałków można zbudować trójka̧t.
14. Dwie osoby umawiają się na spotkanie. Każda z nich przychodzi w losowej chwili
między godzina 16 a 17 i czeka 15 min. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają ? Ile czasu powinna czekać każda z osób, aby prawdopodobieństwo spotkania
było większe niż 0.75 ?
Metody statystyczne. Lista 2.
3
Lista 2.
Prawdopodobieństwo warunkowe
1. Załóżmy, że E i F są zdarzeniami takimi, że Pr(E) = 1/3, Pr(F ) = 1/2, a
Pr(E|F ) = 2/5. Znaleźć Pr(F |E).
2. Jakie jest prawdopodobieństwo warunkowe, że w w pięciu rzutach symetryczną monetą pojawią się cztery reszki, jesli wiadomo, że w pierwszym rzucie wypadła reszka?
3. Pierwsze pudełko zawiera dwie białe piłki i trzy niebieskie, a w drugim są cztery białe
piłki i jedna niebieska. Frida najpierw losuje jedno z dwóch pudełek, a następnie
wybiera z niego piłkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Frida wybrała piłkę z
pierwszego pudełka, jeśli wiadomo, że ta piłka jest niebieska?
4. Załóżmy, że 8% kolarzy używa sterydów. Pozytywny wynik testu na doping ma
96% kolarzy zażywających sterydy oraz 9% kolarzy, którzy tego nie robią. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany kolarz, który ma pozytywny wynik
testu na obecność sterydów, jest na dopingu?
5. Jedna osoba na 10000 ludzi ma rzadkie genetyczne uszkodzenie. Test, wykrywający
tę chorobę, daje wynik pozytywny u 99.9% pacjentów mających to uszkodzenie i u
0.02 % osób zdrowych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
(a) osoba mająca dodatni wynik testu, jest chora?
(b) osoba mająca ujemny wynik testu, jest zdrowa?
6. Przypuśćmy, że 5 wiadomości na 7 zawiera spam. Załóżmy ponadto, że prawdopodobieństwo wystąpienia słowa “ekscytujący” jest równe 0.08, gdy wiadomość jest
spamem i 0.125 w przeciwnym razie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wiadomość
zawierająca słowo “ekscytujący”, zostanie uznana za spam?
Metody statystyczne. Lista 3.
4
Lista 3.
Niezależność zdarzeń. Schemat Bernoulliego.
1. Załóżmy, że prawdopodobieństwo, że dziecko jest chłopcem wynosi 0.51 i że płcie
dzieci urodzonych w rodzinie są niezależne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w
rodzinie z pięciorgiem dzieci
(a) są dokładnie trzej chłopcy?
(b) jest co najmniej jeden chłopiec?
(c) jest co najmniej jedna dziewczyna?
(d) wszystkie dzieci tej samej płci?
2. Prawdopodobieństwo, że 4 pojawia na pierwszej kostce wynosi 2/7, a prawdopodobieństwo, że 3 pojawia na drugiej kostce to 2/7. Inne wyniki dla każdej z obu
kostek pojawiają się z prawdopodobieństwem 1/7. Jakie jest prawdopodobieństwo
uzyskania sumy 7 w rzucie tymi dwoma kostkami?
3. Znajdź prawdopodobieństwo, że w rodzinie z pięciorgiem dzieci nie ma chłopca, jeśli
płcie dzieci są niezależne i jeśli
(a) prawdopodobieństwo, że urodzi się chłopiec jest równe 0.5,
(b) prawdopodobieństwo, że urodzi się chłopiec jest równe p, gdzie p jest ustaloną
liczbą z przedziału (0, 1).
(c) prawdopodobieństwo, że i-te dziecko jest chłopcem jest równe pi = 0.5 −
(i/100).
4. Test składa się z 25 pytań. Odpowiadając na każde z nich można wybrać jedną z
4 możliwych odpowiedzi, przy czym trzy z nich są błędne. Zakładając, że student
zgaduje odpowiedzi obliczyć prawdopodobieństwo, że odpowie on poprawnie na:
(a) co najmniej 20 pytań,
(b) mniej niż 5 pytań.
5. Pewne lekarstwo leczy 90% przypadków pewnej choroby. Poddajemy kuracji 20
losowo wybranych chorych. Znajdź prawdopodobieństwo tego, że wyleczymy
(a) wszystkich chorych w naszej próbie,
(b) wszystkich oprócz jednego,
(c) dokładnie 18 chorych,
(d) dokładnie 90% chorych w naszej próbie.
6. Pewne lekarstwo uszkadza wątrobę u 1% pacjentów. Testujemy lekarstwo na 50
pacjentach. Oblicz prawdopodobieństwo, że
(a) żaden pacjent nie dozna uszkodzenia choroby,
(b) co najmniej jeden pacjent dozna uszkodzenia wątroby.
7. Wyznacz prawdopodobieństwo każdego z poniższych zdarzeń w n doświadczeniach
ze schematu Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p:
Metody statystyczne. Lista 3.
5
(a) nie pojawi się żadna porażka,
(b) pojawi się co najmniej jedna porażka,
(c) pojawi się co najwyżej jedna porażka,
(d) pojawią się dokładnie dwie porażki.
8. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wygenerowany ciąg bitów długości 10 zaczyna się od 1 i kończy się na 00, jeśli bity są generowane niezależnie i jeśli
(a) bity 0 i 1 są równie prawdopodobne,
(b) prawdopodobieństwo, że bit jest równy 1 wynosi 0.6.
(c) prawdopodobieństwo tego, że jest i-ty bit równy 1 wynosi
1
, dla i = 1, . . . , 10.
2i
1
1
9. W meczu piłki nożnej z prawdopodobieństwem wygrywają goście, z gospodarze,
6
2
1
a z prawdopodobieństwem będzie remis. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w 14
3
meczach będzie 7 zwycięstw gospodarzy i 3 remisy.